因式分解難題解析

1、因式分解難題解析詹碼論壇站長(zhǎng)在因式分解時(shí)，有時(shí)會(huì)用到以下兩個(gè)公式： 下面精選了十個(gè)實(shí)例進(jìn)行講解。3222 小2201 x -xy +xz-xz -2xyz+y z+yz分析：一眼就可看出，這是3次的齊次多項(xiàng)式。一般選中一個(gè)未知數(shù)作為主元，統(tǒng)帥其他未知數(shù)，主元應(yīng)按降序排列并分組。322222x -xy +x z-xz -2xyz+y z+yz322222=x -xy -xz +yz +x z-2xyz+y z2 2 2 2 2=x(x -y )-z (x-y)+z(x -2xy+y )=x(x-y)(x+y)-z 2(x-y)+z(x-y)2=(x-y)(x 2+xy-z 2+zx-zy)此題若

2、不進(jìn)行科學(xué)分組會(huì)很困難。2 202 x 2xy 8y 2x 14y 3分析：此題一看就應(yīng)該知道用雙十字相乘法分解。解：x y常數(shù)項(xiàng)14 -11-23x2 2xy 8y2 2x 14y 3 =(x+4y-1)(x-2y+3)注意：先看前三項(xiàng)，是否與x、y兩列相配，再看常數(shù)項(xiàng)是否與數(shù)字相配，然后 再看x、常數(shù)項(xiàng)是否與x的系數(shù)相配，最后看y、常數(shù)項(xiàng)是否與y的系數(shù)相配。作業(yè): a3b ab3 a2 b2 1提示：先分組再變形最后用十字相乘法。難度較大。 xy y2 x y 2提示：x2的系數(shù)看成0,然后再用雙十字相乘法xy11 2011原式=(x + y 2) (y + 1)也可用分組法，以x為主元。

3、03 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)分析：這個(gè)題目一看，映入眼簾的就是 3個(gè)括號(hào)。項(xiàng)。部分配給瞧瞧括號(hào)里的b+c 、c-a 、a+b，看看這3項(xiàng)是否有某種聯(lián)系 前兩項(xiàng)相加得不出 第3項(xiàng)，但我們發(fā)現(xiàn)，后2項(xiàng)相加正好等于第1 所以，這個(gè)題目中的第1項(xiàng)如果分成兩部分，一部分配給第 2項(xiàng)，- 第3項(xiàng)會(huì)是不壞的注意。解: bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b )+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)作業(yè)： x3 35x

4、6 x4 51x21432 x 2x x 3提示：需要拆分分組04 2x47x3 2x213x6分析：拿到這道題，一-看便知，這是咼次，且包含多項(xiàng)的多項(xiàng)式另外，還看到7、-13、6有著某種關(guān)系，所以不妨把它們按此發(fā)現(xiàn)分組。這樣就有（2x4-2x2） +（ 7x3-13x+6）不難把13x分成7x和6x，配給7x3和6。這樣，接著 2x2（x2-1）+7x（x2-1）-6（x-1）至此對(duì)后的分解就不在話下了。對(duì)于這道題，細(xì)心的人也會(huì)發(fā)現(xiàn)，各項(xiàng)系數(shù)和為0，這意味著x=1是它的根，根據(jù)因式定理，就知道x-1是多項(xiàng)式的一個(gè)因子，然后，怎么分組都行，只要按照 x-1的思路。作業(yè)：x3 +2x 2 -5x

5、-6提示：當(dāng)偶次項(xiàng)的系數(shù)和（2+（-6） =-4）等于奇次項(xiàng)系數(shù)和（1+（-5） =-4）時(shí), 就有-1這個(gè)根。也就是說，x+1是多項(xiàng)式的一個(gè)因式。05 2x4x3 6x2 x 2分析：拿到這個(gè)題目，一看就覺得有某種對(duì)稱關(guān)系：2x4與2，-x3與-x，系數(shù)分別相等。顯然，應(yīng)該把它們分別結(jié)合，然后再考察。解：到了這里，似乎走進(jìn)了死胡同。不用急，你再仔細(xì)看看，就會(huì)發(fā)現(xiàn)x4+1與x2+1長(zhǎng)得挺像，一定有某種因緣。這里采用換元法，x2+1看成y。對(duì)于這種對(duì)稱式多項(xiàng)式,為了看起來更明顯，也可以用倒數(shù)換元法，即直接提取一個(gè)最高項(xiàng)的次方的一半1212c然后令xy，那么x2y2XX2/c2原式=x (2yy

6、io)=x2(2y5)(y 2)2i=x2(2x5)(x 2)Xx=(2x2 5x 2)(x2 2x 1)=(2x 1)(x2)(x 1)2作業(yè)：(a2 a 1)(a2 6a 1) 12a2提示：看這個(gè)多項(xiàng)式有什么特點(diǎn)，然后利用這個(gè)特點(diǎn)就可找到路徑。2 2 (x 5x 4)(x x 2) 72提示：以上要先進(jìn)行適當(dāng)變形后，才能進(jìn)行換元。 (x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)提示：一看便知，這是一個(gè)很有特色的式子。除了常數(shù)項(xiàng)，就只剩下x+y和xy。很容易想到，對(duì)它們工作應(yīng)該有效。06 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc分析：這是一個(gè)輪換對(duì)稱式，將a換成b，b換成c，c換

7、成a，結(jié)果一樣。這樣的題目，一般有(a+b)、(b+c)、(c+a)因式，但并不確定?？梢杂胊+b=0代入多項(xiàng)式中，如果等于0,則有這個(gè)因式。令 a+b=0, (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a)(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=0因此匕 a+b=0是其一個(gè)因式。.同理，b+c、c+a也都是因式，三者的次數(shù)也正好是 3次，不會(huì)有其他因式了。解：a+b=0，(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a)(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=O.由此可見，a+b是多項(xiàng)式的一個(gè)因式。同理可知，b+c、c+a都是它的一個(gè)因式。令(ab+bc

8、+ca)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)令 a=0，b=1，c=2，則得 k=1這道題也可以用主元法，一堆字母組成的多項(xiàng)式，一般都可以用。以某一個(gè)字母為主，其他為輔，按主字母的降序重新排列多項(xiàng)式。(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc(假設(shè)以 a 為主元)=a(b+c)+bc a+(b+c)-abc=(b+c)a2+(b+c)2a+bc(b+c)(以 a 的降序排列)2=(b+c)(a +(b+c)a+bc)=(b+c)(a+b)(a+c)作業(yè)： X4+(x+y)4+y4提示：這種輪換對(duì)稱，一般與 x+y、xy有關(guān)。因此可以分組成x4+(x+y)4+y4=(x4+y

9、4)+(x+y)4，又 x4+y4= ( x2+y2)2-2 x2y2=( x+y)2-2xy 2-2 x2。 16y+2x2(y+1) 2+(y-1) 2x4 (1+y)2-2x2(1+y2)+x4 (1-y)2 6y3+15z3-37y2z+32yz2提示：按主元降序排列成 6y3-37y2z+32yz2+15z3,就遇到了如何處理 37y2z的問 題，如何把它拆開，使它一部分同 6y3，另一部分同15z3+32y£在一起這是要研 究的。假設(shè)是Ky2z、Ly2z?，F(xiàn)在考察Ly2z+32yz2+15z3，不妨假設(shè)L分解成m、n，并提 取負(fù)號(hào)，根據(jù)十字相乘法的原理，則有Ly2z+32

10、yz2+15z3=z(my-5z)(ny+3z)，-5n+3m=-32,n=(32+3m)/5=6+(2+3m)/5，顯然，m=1 或 6 或 11，n 才有整數(shù)解， 假設(shè)m=1，則n=7, L=-mn=-7，也就是將-37y2z拆成-7y2z和-30y2z兩部分，分成兩組，前后 都可以分解，然后提取公因式。這里用了待定系數(shù)法。拆項(xiàng)時(shí)的以上運(yùn)算可以在稿紙中進(jìn)行，無需寫入試卷。答案是(2y-3z)(y-5z)(3y+z)。此題為競(jìng)賽級(jí)別的題目。 2a26b212c25d2nab-2ac-3ad+17bc-13bd+19cd-3a+22b-31c+25d-20主元法是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常用的方法。該題為競(jìng)

11、賽題目。答案是：(2a-3b+4c-5d+5)(a+2b-3c+d-4>2 2 207 a (b c) b (c a) c (a b)分析：不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a= b時(shí)，原式二0，故可斷定a b是原式的一個(gè)因式，同理，b c、c a也是原式的因式。可設(shè)原式=k(a-b)(b-c)(c-a)再令 a = 0， b = 1， c =一 1 代入上式，得-2=2k， k= 1故原式=-(a-b)(b-c)(c-a)。此題用拆項(xiàng)法或主元法也都很方便。作業(yè)：a3 (b-c)+b3 (c-a)+c3(a-b)提示：還有一個(gè)因式是(a+b+c)，如果不知道，用拆項(xiàng)法也方便。08 x3 9x2 23x 15

12、分析：一看就知道有-1根，因?yàn)閤3與23x ,9x2與15,它們的系數(shù)和等于24 ,必含有(x+1)32的因式,因此很容易把 x 9x 23x 15分組為322x3x 2)+(8x 223x15)。當(dāng)然,本題也可以用待定系數(shù)法確定 9x2 如何拆。 09 x4 x3 5x2 6x 4 分析：嘗試一下 1、2 都不是該多項(xiàng)式的根,這時(shí)我們會(huì)想到,它可能沒有一次因式。 這時(shí)可用待定系數(shù)法,按兩次因式 *兩次因式的方式來求系數(shù),即使每個(gè)兩次因 式還能繼續(xù)分解為一次因式,也沒有關(guān)系。我們一眼看上去就知道, -5x2 聯(lián)系著前后兩個(gè)組,能夠把它分解好了,往后就迎 刃而解了。分組法 也是 可行的。解一：令

13、 x4-x3-5x2-6x-4= x4-x3-Kx2-L x2-6x-4= x 4-x3-Kx2-(L x2+6x+4)= x4-x3-Kx2-(mx+4)(nx+1)根據(jù)十字相乘法的原理：4n+m=6，n=(6-m)/4=1+(2-m)/4 ，m可取2、6、10等。 假如 m=2 ,則 n=1 , L=mn=2 , K=-3 。我們可以試試是否成功。 x4-x3-5x2-6x-4= x 4-x3-3x2-2x2-6x-4= x4-(x3-3x2)-(2x2+6x+4) = x4-(x+3)x2-(2x+4)(x+1) =x2-(2x+4)x2+(x+1)(十字相乘法 )=(x2-2x-4)(

14、x2+x+1)這種方法， 有點(diǎn)運(yùn)氣在里面， 如果把常數(shù)項(xiàng) 4 分解為 2*2 則達(dá)不到目的。 再回頭 用 1*4 表示時(shí)會(huì)浪費(fèi)了不少時(shí)間。解二：設(shè)原式=(x2ax b)(x 2cxd)4整理后得 =x3(a c)x (ac b2d)x(ad bc)x bd所以 有 a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4，解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4 。則 x x 5x6x 42 2(x x 1)(x 2x 4)這道題難度較大。10 x12+x9+x6+x3+1分析：對(duì)于類似這樣的多項(xiàng)式的分解,可利用乘法公式,將之乘以一個(gè)因式，同時(shí)除以一個(gè)因式，然后，借助乘法公式來解決問題巧

15、用除法法，這是一種特殊方法,但在競(jìng)賽中則有可引用了高中的等比數(shù)列求和，在初中的考試中一般不會(huì)出現(xiàn),x151 (x5 1)(x10X5 1)原式=3 Ax 1(x1)(x2x1)43287543=(xxxx 1)(xxxxxx1)把x3看成y就變成了y4+y3+y2+y+1,這就預(yù)示著可能含有x4+x3+x2+x+1因式需要指出的是，并不是一定含有這個(gè)式子，如x6+x3+1并沒有x2+x+1的因式,事實(shí)上，它不能分解。這道題理論上也可以用拆項(xiàng)添項(xiàng)法，但實(shí)際上很費(fèi)事，不易想到該怎么拆。 綜合作業(yè)：以上4題，看起來簡(jiǎn)單，其實(shí)有點(diǎn)難度，項(xiàng)數(shù)越少，次方越高，越容易讓人 覺得無從著手，是學(xué)生們疑問較多的習(xí)

16、題。提示： 難度較大。2 2提示：令 a x y 那么原式=(a b)2 4ba (a b)2 (x2 y2 xy)2 b xy1、(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y) 2提示：用十字相乘法，先調(diào)整一下順序，x4(1-y) 2-2x2(1+y2)+ (1+y)2 用兩種方法分解。此題容易看出各項(xiàng)系數(shù)和為0,可按此思路分組，將-9x2進(jìn)行拆分。2、a3 + b3+ c3 3abc3、2x3+6y3+15z3-9x2y+7xy2-x2z-16xz2-37y2z+32yz2+13xyz提示：該題為競(jìng)賽題目，難度很大。根據(jù)前面的提示，難度很大時(shí)，通常都采用 主元法。引用前面練習(xí)中的結(jié)果：6y3+15z3-37y2z+32yz2=(2y-3z)(y-5z)(3y+z)。 然后再運(yùn)用待定系數(shù)法：設(shè)原式=(mx+2y-3z)(nx+y-5z)(px+3y+z)顯然m、n、p是土 1、土 1、土 2中的某種排列。答案是(x-2y+3z)(2x+y-5z)(x-3y-z)。1be4、 已知(b e)2 (a b)(e a),a 0,則 "？4a提示：可以將已知條件展開，4a2 2a(b e) (b e)2 0，即2a (b e)2 0 , 由于aM0,所以有b_e 2。簡(jiǎn)單的做法是(b-e)2變形為(a-b+c-a)2。a提示：5、 已知 a、b、e滿足 a-b=8, ab