巧用對(duì)稱點(diǎn)求最小值2

1、巧用對(duì)稱點(diǎn)求最小值、情景創(chuàng)設(shè)：?jiǎn)栴}1：操場(chǎng)上有兩位同學(xué)在活動(dòng)，同學(xué)A有急事找同學(xué)B，問同學(xué)A應(yīng)選擇怎樣的路線跑最近？問題2：若把同學(xué)A、B的位置改成兩個(gè)村子，中間隔了條公路，要在公路邊造一個(gè)車站，使它到兩個(gè)村子的距離之和最小，車站應(yīng)造在何處？問題3：如果A、B兩個(gè)村子位于公路的同側(cè)，車站又該造在何處？為什么？2、DCAPBEANANBPMO圖1河邊DBCA 合作、交流、探索：如圖1，A、B兩個(gè)村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1km，BD=3km，CD=3km，現(xiàn)要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為2萬元/km，請(qǐng)你在CD上選擇水廠的位置Q，使

2、鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用。如圖2，A是圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，B是的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，已知O的半徑為1，求AP+BP的最小值。 圖2如圖3，在菱形ABCD中，BAD=60°， AB=1，E為AD中點(diǎn)，P為對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，試求PED周長(zhǎng)的最小值。 圖3 已知拋物線y=ax2+4ax+t與x軸交于A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）。（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，且以AB為一底的梯形ABDC的面積為9，求此拋物線的解析式。（3）在滿足（2）的條件下，且a<0，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使ACP的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)P

3、坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。利用軸對(duì)稱求最小值 山東省章丘市繡水中學(xué) 李愛蕓 文章來源：2008年下半年度試題與研究中考數(shù)學(xué)題中有些求兩線段之和最小的題目，同學(xué)們感到找不到思路，其實(shí)它是利用軸對(duì)稱求最短距離的變形，現(xiàn)以部分中考題為例加以分析，希望能對(duì)同學(xué)們有所幫助。例：如圖，草原上兩居民點(diǎn)A，B在筆直河流l的同旁，一汽車從A處出發(fā)到B處，途中需要到河邊加水，問選在何處加水可使行駛的路程最短？并在途中畫出這一點(diǎn)。理解轉(zhuǎn)化題意：將這一問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即已知直線l及l(fā)同側(cè)的點(diǎn)A和點(diǎn)B，在l上確定一點(diǎn)C,使AC+BC最小。首先我們思考若點(diǎn)A和B點(diǎn)分別在直線l的兩側(cè)，則點(diǎn)C的位置應(yīng)如何確定，根據(jù)兩點(diǎn)

4、之間線段最短，點(diǎn)C應(yīng)是與AB直線l的交點(diǎn)，如圖（2），這就是說，設(shè)線段AB交l于點(diǎn)C，點(diǎn)C/是直線上異于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，總有AC+BCAC/+BC/。因此，解決上述問題的關(guān)鍵是將點(diǎn)A（或點(diǎn)B）移至l的另一側(cè)（設(shè)點(diǎn)A移動(dòng)后的點(diǎn)為A/），且使A、A/到直線l上任意點(diǎn)的距離相等，利用軸對(duì)稱可達(dá)到這一目的。解：如圖（3），作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A/，連接A/B交l于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的位置就是汽車加水的位置，即汽車選在點(diǎn)C處可使行駛的路程最短。l（3）ABA/CABCC/（2）l（1）AB變形1：已知：如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M 在BC上，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則BN+MN的最小值為多少？理解轉(zhuǎn)化題

5、意：點(diǎn)B、M都在直線AC的同旁，因此利用軸對(duì)稱找點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，在此題中由正方形的性質(zhì)可知點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，所以連結(jié)DM,DM的長(zhǎng)就是BN+MN的最小值。CDAMNB解：連結(jié)MD交AC于N/點(diǎn)四邊形ABCD是正方形點(diǎn)D與B關(guān)于AC對(duì)稱N/B=N/DDM=DN/ +MN/ =N/B+N/M在直角三角形MBC中由勾股定理求得 DM=10BN+MN的最小值為10.變形2： 如圖MN是O的直徑,MN=2點(diǎn)A在O上,AMN=30°B為弧AN的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn),則PA+PB的最小值為多少?理解轉(zhuǎn)化題意：利用圓的軸對(duì)稱性過點(diǎn)B作BCMN得點(diǎn)B的ABNOCMPP對(duì)稱點(diǎn)C, 連結(jié)AC與MN交

6、點(diǎn)即為P點(diǎn).解：過點(diǎn)B作BCMN交O于點(diǎn)C連結(jié)AC交MN于點(diǎn)P則AC=PA+PB連結(jié)OA,OCBCMN弧BN=弧NC =弧ANNOC=AMN=30°AOC=AON+NOC=90°MN=2OA=OC=1在RTAOC中由勾股定理得AC= =即PA+PB最小值為變形3： 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2）點(diǎn)，點(diǎn)B是半徑為的B的圓心，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），請(qǐng)你探索在x軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)C以及在B上是否存在一個(gè)點(diǎn)D，使得AC+CD最小，若存在，請(qǐng)你在圖中作出點(diǎn)C和點(diǎn)D，并求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和AC+CD的最小值；若不存在請(qǐng)說明理由。理解轉(zhuǎn)化題意：點(diǎn)A 點(diǎn)B在X軸的同旁,作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連結(jié)BE交X軸于點(diǎn)C, ，交B于點(diǎn)D，點(diǎn)C點(diǎn)D即為所求。12435X0-1-2-1123yABCDGE解：作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，作直線BE交x軸于點(diǎn)C，交B于點(diǎn)D，連接AC，則點(diǎn)C、D即為