用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性

1、西安市周至縣第三中學(xué) 王瑞婷北師大版數(shù)學(xué)必修一Oxy) x( fy)x( f11x)x( f1)x ( f2) x ( fyOxy1x2x)x ( f22x 上是增加的。在數(shù)集就稱函數(shù)時(shí)，都有當(dāng)，如果對(duì)于任意兩數(shù)，的定義域內(nèi)一個(gè)子集對(duì)于函數(shù)AxfyxfxfxxAxxAxfy,212121 上是減少的。在數(shù)集就稱函數(shù)時(shí)，都有當(dāng)，如果對(duì)于任意兩數(shù)，的定義域內(nèi)一個(gè)子集對(duì)于函數(shù)AxfyxfxfxxAxxAxfy,212121定義1：定義2：復(fù)習(xí)回顧：分析：分析：由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，若要證明函數(shù) 是R上的增函數(shù) ，就是要證明 對(duì)于R上的任意兩個(gè)值 都有例1 上的增函數(shù)。是證明函數(shù)Rxxf23)(23

2、)( xxf時(shí)，當(dāng)2121,xxxx)()(21xfxf 證明：證明：2121,xxRxx且任取) 23 () 23 ()()(2121xxxfxf則）（213xx )()(0-,212121xfxfxxxx所以，所以因?yàn)橛蓡握{(diào)函數(shù)的定義可知，函數(shù)上的增函數(shù)。是Rxxf23)(取值作差變形定號(hào)結(jié)論例2：判斷函數(shù) 的單調(diào)性，并加以證明。分析：先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性定義進(jìn)行證明，判斷單調(diào)性可以借助函數(shù)的圖像。2 , 0,12)(xxxfOxy2-2解：作出函數(shù) 的圖像。12)(xxf)(xf由圖看出，函數(shù) 的圖像在區(qū)間0,2上是上升的，所以函數(shù)在區(qū)間0,2上是增加的。證明如下：2121,2

3、 , 0,xxxx且任取)()(21xfxf則121x)12(2x) 1)(1() 11(22112xxxx) 1)(1()(22112xxxx, 0) 1)(1(0,-, 20211221xxxxxx得由所以)()(, 0)()(2121xfxfxfxf即由單調(diào)函數(shù)的定義可知，函數(shù) 在區(qū)間0,2上是增加的。)( xf取值作差變形定號(hào)結(jié)論2121,xxxx且)()(21xfxf求0)()(0)()(2121xfxfxfxf或歸納總結(jié)：用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟)()(21xfxf求0)()(0)()(2121xfxfxfxf或2.作差變形： 變形的方向是因式分解、通分、配方、分子有理化等，變形的目的是最終分解成幾個(gè)因式的積或商的形式。3.定號(hào)：確定 4.結(jié)論：由定義得出函數(shù)的單調(diào)性1.取值： 在給定區(qū)間上任取2121,xxxx，且練習(xí)：證明函數(shù) 在1,+ ）上是增加的xxxf2)(2211xx 任取證明：)2()2()()(22212121xxxxxfxf則)2)()(22121212221xxxxxxxx02, 0-1212121xxxxxx，所以因?yàn)樗裕?即0)()(21