14二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系1

1、1.4 1.4 二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系湘教版 九年級(jí)下冊(cè) 擲鉛球時(shí)，鉛球在空中經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)是拋物線(xiàn)擲鉛球時(shí)，鉛球在空中經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)是拋物線(xiàn). 新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入 已知某運(yùn)動(dòng)員擲鉛球時(shí)，鉛球在已知某運(yùn)動(dòng)員擲鉛球時(shí)，鉛球在空中經(jīng)過(guò)的拋物線(xiàn)的解析式為空中經(jīng)過(guò)的拋物線(xiàn)的解析式為219=+1. 4020yxx- - 其中x是鉛球離初始位置的水平距離，y是鉛球離地面的高度，你能求出鉛球被扔出多遠(yuǎn)嗎？ 鉛球的著地點(diǎn)鉛球的著地點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的縱坐標(biāo)y=0，橫，橫坐標(biāo)坐標(biāo)x就是鉛球被扔出去的水平距離，就是鉛球被扔出去的水平距離，由拋物線(xiàn)的解析式，得由拋物線(xiàn)的解析式，得即即 x2-18x

2、-40=0.2190 = +1.4020 xx- -219=+1. 4020yxx- -這里這里 a=1，b=-18，c=-40，b2-4ac=(-18)2-41(-40)=484，從而從而 x1=20，x2=-2(不合題意，舍去不合題意，舍去).因此因此 184841822 = =9 11.2 12x所以，鉛球被扔出去所以，鉛球被扔出去20m遠(yuǎn)遠(yuǎn). 因此，我們可以在直角坐標(biāo)因此，我們可以在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出鉛球所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)圖系中畫(huà)出鉛球所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)圖. 如圖所示如圖所示. 從上面例子，求鉛球被扔出去多遠(yuǎn)的解從上面例子，求鉛球被扔出去多遠(yuǎn)的解題過(guò)程中，你看到在求拋物線(xiàn)與題過(guò)程中，你看到在求拋物線(xiàn)

3、與x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，需要做什么事情？的橫坐標(biāo)時(shí)，需要做什么事情？說(shuō)一說(shuō)說(shuō)一說(shuō) 需要令需要令y=0，解所，解所得的一元二次方程得的一元二次方程.探索新知探索新知例例1 求拋物線(xiàn)求拋物線(xiàn)y=4x2+12x+5與與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).解解 4x2+12x+5=0，這里這里 a=4，b=12，c=5，b2-4ac =122-445=144-80=64.因此因此 126412832 = =.2 482x-從而從而12 15= = .22xx-, , 所以?huà)佄锞€(xiàn)所以?huà)佄锞€(xiàn)y=4x2+12x+5與與x軸的交點(diǎn)的軸的交點(diǎn)的 橫坐標(biāo)為橫坐標(biāo)為 或或 12- -5.2- -典例賞析典例

4、賞析例例2 求拋物線(xiàn)求拋物線(xiàn)y=x2+2x+1與與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 解解 x2+2x+1=0.即即 (x+1)2=0.解得解得 x1=x2=-1. 因此，拋物線(xiàn)因此，拋物線(xiàn)y=x2+2x+1與與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1.例例3 拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)y=x2+2x+2與與x軸有交點(diǎn)嗎？軸有交點(diǎn)嗎？解解 x2+2x+2=0.這里這里 a=1，b=2，c=2，b2-4ac=22-412=4-80.這個(gè)一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，這個(gè)一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因此拋物線(xiàn)因此拋物線(xiàn)y=x2+2x+2與與x軸沒(méi)有交點(diǎn)軸沒(méi)有交點(diǎn).例例4 4 在上面擲鉛球的例子中，在上面擲鉛球的例子中

5、， 若鉛球在空中經(jīng)過(guò)的拋物線(xiàn)是若鉛球在空中經(jīng)過(guò)的拋物線(xiàn)是 當(dāng)鉛球離地面高度為當(dāng)鉛球離地面高度為2m時(shí)，它離初始時(shí)，它離初始 位置的水平距離是多少位置的水平距離是多少( (精確到精確到0.01m) )？219=+1 4020y xx- -. .解解 由拋物線(xiàn)的解析式得由拋物線(xiàn)的解析式得即即 x2-18x+40=0. 2192=+1 4020 xx- -，這里這里 a=1，b=-18，c=40，b2-4ac=(-18)2-4140=164. 從而從而 x115.40，x22.60.因此因此 18164182 41= = = 94196.40.2 12x 答：當(dāng)鉛球離地面高度為答：當(dāng)鉛球離地面高度為

6、2m時(shí)，它離初始位置時(shí)，它離初始位置的水平距離約為的水平距離約為2.60m或或15.40m. 從擲鉛球的例子可以看到，當(dāng)已知拋物從擲鉛球的例子可以看到，當(dāng)已知拋物線(xiàn)上點(diǎn)的縱坐標(biāo)線(xiàn)上點(diǎn)的縱坐標(biāo)y，求該點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求該點(diǎn)的橫坐標(biāo)x時(shí)，需時(shí)，需要做什么事情？要做什么事情？說(shuō)一說(shuō)說(shuō)一說(shuō) 已知某運(yùn)動(dòng)員擲鉛球時(shí)，鉛球在已知某運(yùn)動(dòng)員擲鉛球時(shí)，鉛球在空中經(jīng)過(guò)的拋物線(xiàn)的解析式為空中經(jīng)過(guò)的拋物線(xiàn)的解析式為219=+1. 4020yxx- -其中其中x是鉛球離初始位置的水平是鉛球離初始位置的水平距離，距離，y是鉛球離地面的高度是鉛球離地面的高度.需要解一元需要解一元二次方程二次方程. 上例表明：上例表明：已知二次函

7、數(shù)的函數(shù)值，已知二次函數(shù)的函數(shù)值，求對(duì)應(yīng)的自變量的值時(shí)，需要解一元二求對(duì)應(yīng)的自變量的值時(shí)，需要解一元二次方程次方程. 反之，解一元二次方程能不能借反之，解一元二次方程能不能借助二次函數(shù)呢？助二次函數(shù)呢？例例5 求一元二次方程求一元二次方程x2-2x-1=0的解的近似值的解的近似值 (精確到精確到0.1).分析分析 從從例例1受到啟發(fā)，一元二次方程受到啟發(fā)，一元二次方程x2-2x-1=0 的解就是拋物線(xiàn)的解就是拋物線(xiàn)y=x2-2x-1與與x軸的交點(diǎn)的軸的交點(diǎn)的 橫坐標(biāo)橫坐標(biāo).因此我們可以先畫(huà)出這條拋物線(xiàn)，然后因此我們可以先畫(huà)出這條拋物線(xiàn)，然后從圖上找出它與從圖上找出它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)

8、的橫坐標(biāo).這種解一元二次方程的方法叫做這種解一元二次方程的方法叫做圖象法圖象法.例例1 求拋物線(xiàn)求拋物線(xiàn)y=4x2+12x+5與與x軸軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).解解 y =x2-2x-1= (x2-2x+1-1)-1= (x-1)2-2. 對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)稱(chēng)軸是x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1, -2).列表列表 x122.53y=( (x- -1) )2- -2- -2- -10.252描點(diǎn)和連線(xiàn)：畫(huà)出圖象在對(duì)稱(chēng)軸右邊的部分描點(diǎn)和連線(xiàn)：畫(huà)出圖象在對(duì)稱(chēng)軸右邊的部分.利用對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出圖象在對(duì)稱(chēng)軸左邊的部分利用對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出圖象在對(duì)稱(chēng)軸左邊的部分.就得到了就得到了y=x2-2x-1的圖象的圖象.如圖如

9、圖2圖圖2 從圖量得拋物線(xiàn)與從圖量得拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)約為約為-0.4或或2.4，因此方程，因此方程x2-2x-1=0的解的的解的近似值為近似值為-0.4或或2.4。圖圖21. 求下列拋物線(xiàn)與求下列拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)：軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)：練習(xí)練習(xí)（1） y=x2-x-2；（2） y=9x2+12x+4；答案：答案：x1=-1，x2=2.（3） y=x2-2x+1.答案：答案：2=.3x - -答案：答案：x=1.隨堂演練隨堂演練2. 已知函數(shù)已知函數(shù)y=x2-4x+3.（1）畫(huà)出函數(shù)的圖象；）畫(huà)出函數(shù)的圖象；（2）觀察圖象，當(dāng)）觀察圖象，當(dāng)x取哪些值時(shí)，取哪些值時(shí)

10、， 函數(shù)值為函數(shù)值為0？(2).x1=1，x2=3.(1).解解.3. 在上面擲鉛球的例子中，當(dāng)鉛球離地面在上面擲鉛球的例子中，當(dāng)鉛球離地面 的高度為的高度為1.5m時(shí)，它離初始位置的水平時(shí)，它離初始位置的水平 距離是多少距離是多少(精確到精確到0.01)？即即 x2-18x+20=0. 解解 由拋物線(xiàn)的解析式得由拋物線(xiàn)的解析式得2191.5=+1 4020 xx，- -這里這里 a=1，b=-18，c=20，b2-4ac=(-18)2-4120=244. 從而從而 x11.19，x216.81.因此因此 18244182 61= = = 96197.81.2 12x 答：當(dāng)鉛球離地面高度為答：當(dāng)鉛球離地面高度為1.5m時(shí)，它離初時(shí)，它離初 始位置的水平距離約為始位置的水平距離約為1.19m或或17.81m.4. 用圖象法求一元二次方程用圖象法求一元二次方程x2+x-1=0的解的解 的近似值的近似值(精確到精確到0.1).答：答：x1-1.6， x20.6. 二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列的圖象如圖所示，則下列關(guān)系式不正確的是關(guān)系式不正確的是 （ ） A. a0 C. a+b+c0 D. b2-4ac0C解析解析拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下，拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下，