第5講函數(shù)的單調(diào)性奇偶性周期性

1、第5講 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性一、函數(shù)的單調(diào)性根本知識1增、減函數(shù)的概念定義法證明函數(shù)的單調(diào)性2根本函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3運(yùn)算法求函數(shù)的單調(diào)性.4求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.5導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性.典型例題例1定義在R上的函數(shù)yf(x), f(0)0，當(dāng) x0時，f (x)1，且對于任意的a,b R，有 f (a b) f (a) f (b)1證明：f (0)1(2)證明：對于任意的xR，恒有 f (x)03求證f (x)是增函數(shù)4假設(shè) f (x) f (2x2x )1，求x的范圍求函數(shù)y2ogi( x 2x 3)的單調(diào)區(qū)間32求函數(shù)y 2x In x的單調(diào)減區(qū)間ax 11討論函數(shù)f(x)(

2、a)在(2,x 22)上單調(diào)性1 f(x)321x 2x kx 1在 ,1上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù) k的取值范圍32函數(shù)f(x)2log 1 (x ax 3a)在區(qū)間2,2)上的減函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍課堂練習(xí)1.設(shè)a為銳角，求函數(shù) y log cos (x2 x 12)的遞減區(qū)間f(2 x2)，求g(x)單調(diào)遞增區(qū)間22.函數(shù)f(x) 8 2x x，記g(x)f(x)x2 2(1 a)x 2 在(,4上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍標(biāo)準(zhǔn)訓(xùn)練1.求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間3.定義在R上的函數(shù)y f (x)，滿足f ( x)1f(x)0，且 g(x)f (x) c c為常數(shù)在區(qū)間a,b上1yx2 2x

3、32y2log2( x 2x 3)3y22 x2 2x 34y1x xf (x)是定義在-1,1的奇函數(shù)，假設(shè)a,b的單調(diào)性1,1, ab0 時，f(a) f(b) 0,試判斷 f (x)在-1,1上a b是減函數(shù)，判斷并證明g(x)在區(qū)間b, a上的單調(diào)性二、函數(shù)的奇偶性根本知識1函數(shù)奇偶性的定義.2利用奇偶性求函數(shù)的解析式典型例題例1判斷以下函數(shù)的奇偶性1yig(i x2)|x2 2| 22y2X2 x(x 0)X2 x(x 0) y 1 sinx cosx1 sinx cosx函數(shù) y f (x)滿足f(x y)f (x y) 2f(x)f(y)(x,y R)，且 f (0)0，試判斷f

4、 (x)的奇偶性.是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f (x)log2(x , x22) a為奇函數(shù)，同時使函數(shù)g(x) x(1a)為偶函數(shù)？證明你的結(jié)論ax 1例4函數(shù)f (x)是偶函數(shù)，在0,)上是增函數(shù)，且f(a2 a 1) f (2a 1)，求a的取值范圍例5 函數(shù)y f(x)(x 0)是奇函數(shù)，且當(dāng)x 0時是增函數(shù)，假設(shè)f(1)0，求不等式 fx(x丄)0的解集2標(biāo)準(zhǔn)訓(xùn)練xy =-是奇函數(shù)，求a的值.2 1f (x) ax 2 bx 3a b是偶函數(shù)，且其定義域是 a 1,2a，求a、b的值f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x 0時，f(x)2x 2x，當(dāng)x 0時，求f (x)的解析式.f x對

5、于任意的非零實(shí)數(shù) x1, x2恒有f為x2f (x1)X2，判斷f x的奇偶性f x是偶函數(shù)，且當(dāng)x 0,)時,x x 1，求f x 10的解集f x , g(x)是奇函數(shù)，F(xiàn) xaf (x) bg(x) 2 在(0,)上有最大值5，求F x在,0上的最值.f x x x11 . 1指出f x的奇偶性，并予以證明，2證明：f x 0.2 1 28.選作函數(shù)f(x) x2a (x 0，常數(shù) a R). x1當(dāng)a2時，解不等式f (x)f (x 1) 2x 1;2討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由.三、周期性、對稱性根本知識1. y f (x)是偶函數(shù) 2. yf (x)是奇函數(shù) 3. f (a

6、x)f (ax)f(x)f (2a x)函數(shù) yf (x)的圖象關(guān)于對稱4. f (ax)f(ax)f(x)f (2a x)函數(shù)y f (x)的圖象關(guān)于對稱5. f (ax)f(bx)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于對稱6.f(a x) f(b x) 函數(shù)y f(x)的圖象關(guān)于 對稱:函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)，對任意的 x都存在一個常數(shù)T(T 0)，使得成立，那么稱函數(shù)f (x)是周期函數(shù)，T叫做函數(shù)f (x) T是函數(shù)f(x)的一個周期，那么kT,(k Z,k 0)也是函數(shù)f(x)的周期1假設(shè)f (x)對定義域內(nèi)的任意 x都有f (x a) f (x) (a 0)，那么 T 12假設(shè)f(x)對定義域

7、內(nèi)的任意 x都有f (x a) (a 0)，那么Tf(x)3假設(shè)f (x)的圖象關(guān)于x a,且關(guān)于x b(a b)對稱，那么T y f (x a)與函數(shù) yf (b x)關(guān)于對稱.y f (x a)與函數(shù)y f(b x)關(guān)于對稱.典型例題例1函數(shù)f (x)滿足f(x) f (4 x), x R，且f (x)在x2時為增函數(shù)，記 a6b f ( )， c f (4)，冋a,b, c的大小關(guān)系.例2函數(shù)f (x)在()上為奇函數(shù)，且f(x 2)f (x);當(dāng) 0 x 1 時，f (x) x,求 f (7.5)和 f (9.5).例3奇函數(shù)f (x)滿足f (3 x)f (3 x),x R，當(dāng) 0

8、x 3時，f (x)2x ；求 6 x3時，f(x)的解析式.例4f x是定義在R上的偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于x 2對稱，x 2,2時，函數(shù)f xx2 1,求x 6, 2時，f x的解析式課堂練習(xí)f(x)在其定義域內(nèi)滿足f(x) f(2 x)，方程f(x) 0有五個實(shí)數(shù)根，求這五個根的和f(x)的圖象關(guān)于直線x 1對稱，當(dāng)x 0時，f(x)-;求x 2時，f(x)的解析式. xR上的函數(shù)f (x)的最小正周期為2，且在區(qū)間(3,5內(nèi)單調(diào)遞減，問a f( log, 2),2b f( 4)和c f ()的大小關(guān)系.4奇函數(shù)f x是以3為最小正周期的周期函數(shù)，f 1 3，求f 47 .5. 1f(x)是奇函數(shù)，且f (x)f(x T)，求 f(T)的值.22f (x)是奇函數(shù)，T 2，求f(0)f(1)f(2)f(3) f (4)f(5)f (6) f (7)的值.f (x)在()上為