泥沙連續(xù)性方程

1、在物理學里，連續(xù)性方程（continuity equation）乃是描述守恒量傳輸行為的偏微分方程。由于在各自適當條件下，質量、能量、動量、電荷等等，都是守恒量，很多種傳輸行為都可以用連續(xù)性方程來描述。連續(xù)性方程乃是局域性的守恒定律方程。與全域性的守恒定律相比，這種守恒定律比較強版。在本條目內的所有關于連續(xù)性方程的范例都表達同樣的點子在任意區(qū)域內某種守恒量總量的改變，等于從邊界進入或離去的數量；守恒量不能夠增加或減少，只能夠從某一個位置遷移到另外一個位置。每一種連續(xù)性方程都可以以積分形式表達（使用通量積分），描述任意有限區(qū)域內的守恒量；也可以以微分形式表達（使用散度算符），描述任意位置的守恒量

2、。應用散度定理，可以從微分形式推導出積分形式，反之亦然。微分形式編輯一般的連續(xù)性方程，其微分形式為 t  +f=s  ；其中，  是某物理量 q  的密度（物理量每單位體積），f  是 q  的流量密度（物理量每單位面積每單位時間）的矢量函數（vector function），s  是 q  的生成量每單位體積每單位時間。假若 s>0  則稱 s  為“源點”；假若 s<0  則稱 s  為“匯點”。假設   是守恒量，不能夠生成或湮

3、滅（例如，電荷），則 s=0  ，連續(xù)性方程變?yōu)?#160;t  +f=0  。從簡單的“能量連續(xù)性方程”到復雜的納維-斯托克斯方程，這方程可以用來表示任意連續(xù)性方程。這方程也是平流方程（advection equation）的推廣。其它物理學里的方程，像電場的高斯定律或高斯引力定律（Gauss' law for gravity），都具有類似連續(xù)性方程的數學形式，但是通常不會稱為連續(xù)性方程，因為 f  并不代表真實物理量的流動。積分形式編輯在連續(xù)性方程的積分形式里，S  是包住體積 V  的任意閉曲面。如同圖內左邊的

4、曲面（以藍色顯示），S  沒有邊界；而圖內右邊的曲面都有邊界（以紅色顯示）。根據散度定理，連續(xù)性方程可以寫為等價的積分形式：dQ dt  + S fda=S  ；其中，S  是包住體積 V  的任意固定（不隨時間改變）閉曲面，Q  是在體積 V  內的 q  總量，S= V s d 3 r  是在積分體積 V  內源點與匯點的總生成量每單位時間，da  是微小面矢量積分元素。舉一簡例，假設 V&#

5、160; 是臺北101大樓，Q  是在大樓內某時間的總人數，S  是由門口、墻壁、屋頂、地基等等，共同組成的曲面，則連續(xù)性方程表明，當人們進入大樓時（代表穿過曲面的內向通量），或當大樓里面的孕婦生產時（代表源點的 s>0  ），在大樓里面的總人數會增加；而當人們離開大樓時（代表穿過曲面的外向通量），在大樓里面的總人數會減少。電磁理論編輯主條目：電荷守恒在電磁理論里，連續(xù)性方程可以視為一條經驗定律，表達局域電荷守恒，或是從麥克斯韋方程組推導出的結果。“電荷連續(xù)性方程”表明，電荷密度   的變率與電流密度 J  的散度，兩者的代數和等于零：&

6、#160;t  +J=0  。導引編輯麥克斯韋-安培方程為×B= 0 J+ 0   0 E t    ；其中，B  是磁場，E  是電場， 0   是磁常數， 0   是電常數。取散度于方程的兩邊，由于旋度的散度必是零，0= 0 J+ 0  0 (E) t    。高斯

7、定律的方程為E=/ 0   。將這方程代入，可以得到 t  +J=0  。電流是電荷的流量。連續(xù)性方程可以這樣論述：假若電荷從某微小體積元素移動出去（電流密度的散度是正值），則在那微小體積元素內的總電荷量會減少，電荷密度的變率是負值。從這解釋可以察覺，連續(xù)性方程就是電荷守恒。四維電流編輯四維電流密度定義為J   = def  (c,J)=(c,J x ,J y ,J z )  ；其中， 

8、 標記哪一個時空坐標，c  是光速。電荷守恒可以簡潔地表達為四維電流密度的散度，即連續(xù)性方程  J  =0  ；其中，   = def  ( r 0   , r 1   , r 2   , r 3   )=( ct  , x &#

9、160;, y  , z  )  。流體力學編輯在流體力學里，連續(xù)性方程表明，在任何穩(wěn)定態(tài)過程中，質量進入物理系統(tǒng)的速率等于離開的速率。12。連續(xù)性方程類比于電路學的基爾霍夫電流定律?！百|量連續(xù)性方程”的微分形式為1 t  +(u)=0  ；其中，  是流體質量密度，u  是流速矢量場，兩者相乘后為質量通量。假設流體是不可壓縮流，則密度   是常數，質量連續(xù)性方程簡化為體積連續(xù)性方程：1(u)=0  。這意味著，在所有位置，速度場的散度等于零；也

10、就是說，局域的體積變率為零。在另一方面，納維-斯托克斯方程是一個矢量連續(xù)性方程，描述動量守恒。能量編輯根據能量守恒，能量只能夠傳輸，不能夠生成或湮滅，這導致“能量連續(xù)性方程”。這是在熱力學定律（Laws of thermodynamics）外，又一種關于能量守恒的數學論述。以方程表達，u t  +q=0  ；其中，u  是能量密度（能量每單位體積），q  是能量通量矢量（數值大小為傳輸的能量每單位截面面積每單位時間，方向為截面的法向方向）。根據傅里葉定律（Fourier's law），對于均勻傳導介質，q=kT  ；

11、其中，k  是熱導率，T  是溫度函數。能量連續(xù)性方程又可寫為u t  k 2 T=0  。量子力學編輯主條目：概率流在量子力學里，從概率守恒可以得到“概率連續(xù)性方程”。設定一個量子系統(tǒng)的波函數為 (x,t)  。定義概率流 J  為J = def   2mi  (    )= m  Im(  )  ；其中，  是約化

12、普朗克常數，m  是質量，    是   是共軛復數，Im()  是取括號內項目的復值。連續(xù)方程與概率保守定律編輯概率流滿足量子力學的連續(xù)方程： t  +J=0  ；其中，=| 2   是概率密度。應用高斯公式，等價地以積分方程表示，d dt   V | 2 d 3 r+ S Jda=0  ；(1)其中，V  是任意三維區(qū)域，S 

13、; 是 V  的邊界曲面。這就是量子力學概率守恒定律的方程。方程 (1) 左邊第一個體積積分項目（不包括對于時間的偏微分），即是測量粒子位置時，粒子在 V  內的概率。第二個曲面積分是概率流出 V  的通量?？傊?，方程 (1) 表明，粒子在三維區(qū)域 V  內的概率對于時間的微分，加上概率流出三維區(qū)域 V  的通量，兩者的總和等于零。連續(xù)方程導引編輯測量粒子在三維區(qū)域 V  內的概率 P  是P= V d 3 r= V | 2 d 3&#

14、160;r  。概率對于時間的導數是dP dt  =d dt   V | 2 d 3 r= V ( t    +   t  )d 3 r  ；(2)假設   的含時薛定諤方程為i t  = 2  2m   2 

15、+U  ；其中，U(r)  是位勢。將含時薛定諤方程代入方程 (2) ，可以得到dP dt  = V  2mi  (   2  2   )d 3 r  。應用一則矢量恒等式，可以得到(    )=  +   2    2     。這方程右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷，將抵銷后的方程代入，dP dt  = V  2m