拋物線專題復(fù)習(xí)講義及練習(xí)答案

1、拋物線1 .拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)（p0）:2 .拋物線的焦半徑、焦點弦2 py( p 0)的焦半徑PFy22Px(p0)的焦半徑PFx-；X22過焦點的所有弦中最短的弦，也被稱做通徑.其長度為2P.AB為拋物線y22Px的焦點弦，則xAXB2p2，NaIbp，|AB|=xaxb4考點1拋物線的定義題型利用定義，實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離之間的轉(zhuǎn)換例1 已知點P在拋物線y2 = 4x上，那么點P到點Q （2, 1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和的最小值為【解題思路】將點 P到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點P到準(zhǔn)線的距離解析過點P作準(zhǔn)線的垂線l交準(zhǔn)線于點R,由拋物線的定義知,P

2、Q PF PQ PR,當(dāng)P點為拋物線與垂線l的交點時，PQPR取得最小值，最小值為點Q到準(zhǔn)線的距離，因準(zhǔn)線方程為x=-1，故最小值為3【名師指引】靈活利用拋物線的定義，就是實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離之間的轉(zhuǎn)換，一般來說，用定義問題都與焦半徑問題相關(guān)1.已知拋物線y2 2 px（ p【新題導(dǎo)練】0)的焦點為F,點P(x1，y)F2(x2,y2),(x%y)在拋物線上，且|pf|、|P2F|、|rf|成等差數(shù)列，則有（）Axx2x3Cx1x32x2b.yy2y3D.yy32y2解析1 C 由拋物線定義,2.已知點A（3,4）, F是拋物線y22d6)(X)(x36),即：x1x32

3、228x的焦點,m是拋物線上的動點，當(dāng)MAMF最小時,M點坐標(biāo)是A.(0,0)B.(3,26)C.(2,4)D.(3,2.6)解析設(shè)M到準(zhǔn)線的距離為MK，則|MA|MF|MAMK,當(dāng)MAMK最小時,M點坐標(biāo)是（2,4）,選C考點2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：過點(-3,2)(2)焦點在直線x2y40上【解題思路】以方程的觀點看待問題，并注意開口方向的討論解析(1)設(shè)所求的拋物線的方程為y22Px或x22py(p0),(-3,2)42p(3)或92p294拋物線方程為2 4f29yx或x-y,3 219刖者的傕線萬程是x

4、-,后者的準(zhǔn)線方程為y-38(2)令x0得y2,令y0得x4,拋物線的焦點為(4,0)或(0,-2),當(dāng)焦點為(4,0)時，K4,2P8,此時拋物線方程y216x;焦點為(0,-2)時衛(wèi)22P4,此時拋物線方程x28y.所求拋物線方程為y216x或x28y,對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x4,y2.【名師指引】對開口方向要特別小心，考慮問題要全面【新題導(dǎo)練】23 .若拋物線y22Px的焦點與雙曲線弋y21的右焦點重合，則p的值解析E,甲7p424 .若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準(zhǔn)線與Y軸的交點，A為拋物線上一點，且|AM|<17,|AF|3,求此拋物線的方程解析設(shè)點A'是

5、點A在準(zhǔn)線上的射影，則|AA'|3,由勾股定理知|MA'|2J2,點A的橫坐標(biāo)為(2衣,3多，代入方程x22py得P2或4,拋物線的方程x24y或x28y考點3拋物線的幾何性質(zhì)題型：有關(guān)焦半徑和焦點弦的計算與論證2例3設(shè)A、B為拋物線y2Px上的點，且AOB90(O為原點，則直線AB必過的定點坐標(biāo)為.【解題思路】由特殊入手，先探求定點位置、，ykx2p2p解析1設(shè)直線OA方程為ykx,由9解出A點坐標(biāo)為(，,2p)y22pxkkk(x 2pk2)人2，y1 k21y-x-k解出B點坐標(biāo)為(2pk,2pk),直線AB方程為y2pky22pxy0得x2p,直線AB必過的定點(2p,

6、0)【名師指引】(1)由于是填空題，可取兩特殊直線AB,求交點即可；(2)B點坐標(biāo)可由A一一1點坐標(biāo)用一換k而得。k【新題導(dǎo)練】26 .若直線axy10經(jīng)過拋物線y4x的焦點，則實數(shù)a解析-17 .過拋物線焦點F的直線與拋物線交于兩點A、B,若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影為A1,B1,則A1FB1()A.45B.60C.90D.120解析C基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練21.過拋物線y4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于2a22a4(aR),則這樣的直線()A.有且僅有一條B.有且僅有兩條C.1條或2條D.不存在解析C|AB|xAxBpa22a5(a1)244,而通徑的長為4.2.2

7、 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線x4y上的點P到該拋物線焦點的距離為5,則點P的縱坐標(biāo)為()A.3B.4C.5D.6解析B利用拋物線的定義，點P到準(zhǔn)線y1的距離為5,故點P的縱坐標(biāo)為4.3 .兩個正數(shù)a、b的等差中項是9,一個等比中項是25且ab,則拋物線y2(ba)x的焦點坐標(biāo)為()A.(0,ii4)B.叼)C.(112，0)D-(4，0)解析D.a5,b4,ba124.如果R , P2,，P8是拋物線y24x上的點，它們的橫坐標(biāo)依次為Xi,X2,，X8,F是拋物線的焦點，若Xi,X2,Xn(n().A.5B.6解析B根據(jù)拋物線的定義，可知N)成等差數(shù)列且XiX2X945,則IP5F尸

8、C.7D.9PFXE為1(i1,2,，n),2X1,X2,Xn(nN)成等差數(shù)列且X1X2X945,X55,|F5F|=65、拋物線y24x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,l與x軸相交于點E,過F且傾斜角等于60。的直線與拋物線在X軸上方的部分相交于點A,AB±1,垂足為B,則四邊形ABEF的面積等于()A.373B,473C.6,3D.8V3解析C.過A作x軸的垂線交x軸于點H,設(shè)A(m,n),則AFABm1,FHOHOFm1,m12(m1)m3,n213四邊形ABEF的面積=12(31)2v36v322uuu6、設(shè)O是坐標(biāo)原點，F(xiàn)是拋物線y24x的焦點，A是拋物線上的一點，F(xiàn)A與x軸正向u

9、uu的夾角為60°,則OA為.解析V21.過A作ADx軸于D,令FDm,則FA2m即2m2m,解得m2.綜合提高訓(xùn)練7.在拋物線y4x2上求一點，使該點到直線y4x5的距離為最短，求該點的坐標(biāo)解析解法1：設(shè)拋物線上的點P(x,4x2),點P到直線的距離d214x24x5117,z12.|4(x2)4|51717當(dāng)且僅當(dāng)1,_，-X一時取等號，故所求的點為21(2，1)解法2：當(dāng)平行于直線y4x5且與拋物線相切的直線與拋物線的公共點為所求，設(shè)該直線方程為y4xb,代入拋物線方程得4x24xb0,1 1由1616b0得b1,x,故所求的點為(,1)2 28.已知拋物線C:yax2(a為非

10、零常數(shù))的焦點為F，點P為拋物線c上一個動點，過點P且與拋物線c相切的直線記為l.(1)求F的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點P在何處時，點F到直線l的距離最??？1解：(1)拋物線方程為x2-ya1 、故焦點F的坐標(biāo)為(0,)4a2(2)設(shè)P(xo,yo)則yoaxo直線l的方程是yax(22ax0(xx0)9.設(shè)拋物線y22Px(p0)的焦點為F,經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點點C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC/X軸.證明直線AC經(jīng)過原點O.證明：因為拋物線y22Px(p0)的焦點為F衛(wèi),0,所以經(jīng)過點F的直線AB的方程2可設(shè)為xmyE,代人拋物線方程得222y2pmyp0.若記Ax1,y1,Bx2,y2，則y1，y2是該方程的兩個根，所以2yy2p.因為BC/X軸，且點C在準(zhǔn)線x9上，所以點C的坐標(biāo)為-,y2,22故直線CO的斜率為k上2PM.Ey1x12即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點Q2210.橢圓、1上有一點M(-4,9)在拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線l上，拋物a2b25線的焦點也是橢圓焦點.(1)求橢圓方程;(2)若點N在拋物線上，過N作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q距離，求|MN|+|NQ|的最小值.22解：(1)_y2_1上的點M在拋物線y22pxab(p>0)的準(zhǔn)線l上，拋物線