解讀小學(xué)數(shù)學(xué)課標(biāo)十個核心概念

1、解讀小學(xué)數(shù)學(xué)課標(biāo)十個核心概念在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重開展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間 觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思 想。為了適應(yīng)時代開展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還要特別注重開展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。課程標(biāo)準(zhǔn)提出了數(shù)感符號意識等核心概念，為什么 提出這些核心概念？首先，核心概念是課程目標(biāo)的支點， 起著溝通課程目標(biāo)與具 體數(shù)學(xué)內(nèi)容之間聯(lián)系的作用。我們知道，課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計了知識 技能數(shù)學(xué)思考問題解決情感態(tài)度四個方面的培養(yǎng)目 標(biāo)，同時選擇編排了大量的數(shù)學(xué)知識。 如數(shù)的知識、運算的知識、 圖形的知識、測量的知識、統(tǒng)計和概率的知識、解決問題的知識 等。這些知識又各有許多具體的內(nèi)

2、容，如數(shù)的知識就有整數(shù)、小 數(shù)、分數(shù)，其中的整數(shù)知識有數(shù)字符號、計數(shù)方法、數(shù)的順序、 數(shù)之間的大小關(guān)系、用數(shù)表示和交流等。再如測量的知識包括長 度、面積、體積容積的意義，常用的長度單位、面積單位、 體積容積單位，常用的測量工具和測量方法，根本圖形的周 長、面積、體積的計算公式等。如何把比擬宏觀的培養(yǎng)目標(biāo)與眾 多十分具體的數(shù)學(xué)知識有組織地聯(lián)系起來？核心概念就起這方 面的作用。在中小學(xué)數(shù)學(xué)課程這個結(jié)構(gòu)里，核心概念介于課程目標(biāo)與眾多具體數(shù)學(xué)內(nèi)容之間， 是課程目標(biāo)的落腳點。課程目 標(biāo)通過有關(guān)的核心概念得到比擬清楚的描述，也通過相關(guān)核心概 念的教學(xué)和形成得以實現(xiàn)。如，課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于數(shù)學(xué)思考'方面

3、的培養(yǎng)目標(biāo)是如下表述的，這樣的表達指出了數(shù)學(xué)思考'的培 養(yǎng)應(yīng)該往什么方向去落實，也使數(shù)學(xué)思考'的培養(yǎng)目標(biāo)具有可 行性和可操作性。-建立數(shù)感、 符號意識和空間觀念， 初步形成幾何直觀和運 算能力，開展形象思維與抽象思維。體會統(tǒng)計方法的意義，開展數(shù)據(jù)分析意識，感受隨機現(xiàn) 象。 在參與觀察、實驗、猜測、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動 中，開展合情推理和演繹推理的能力，清晰地表達自己的想法。學(xué)會獨立思考，體會數(shù)學(xué)的根本思想和思維方式。 其次，核心概念起著統(tǒng)領(lǐng)眾多具體數(shù)學(xué)內(nèi)容， 導(dǎo)向其教育價 值的作用。課程標(biāo)準(zhǔn)提出的核心概念，有些和數(shù)與代數(shù)'領(lǐng)域 的內(nèi)容聯(lián)系密切，有些和圖形與幾何

4、9;領(lǐng)域的內(nèi)容聯(lián)系密切， 有些和統(tǒng)計與概率'領(lǐng)域的聯(lián)系密切，有些和綜合與實踐' 領(lǐng)域的內(nèi)容聯(lián)系密切。 圍繞每一個核心概念都有許多具體的數(shù)學(xué) 內(nèi)容，通過這些數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)才能在學(xué)生頭腦里形成核心概 念。使學(xué)生形成必要的核心概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)， 也是有 效的數(shù)學(xué)教學(xué)的歸宿。 核心概念起著統(tǒng)領(lǐng)具體數(shù)學(xué)內(nèi)容及其教學(xué) 的作用， 使眾多數(shù)學(xué)知識之間不是隔裂的， 每個數(shù)學(xué)知識不是孤 立的，而是相互聯(lián)系、相互作用、相互影響的。課程標(biāo)準(zhǔn)提出核 心概念， 一方面指出了某個核心概念需要哪些數(shù)學(xué)知識， 另方面 指出了這些數(shù)學(xué)知識的教學(xué)應(yīng)該形成核心概念， 成為學(xué)生的意識 與能力。 如數(shù)感'

5、主要和數(shù)與代數(shù)' 領(lǐng)域里的 數(shù)的認識' 數(shù)的運算'以及數(shù)量關(guān)系'有著聯(lián)系，課程標(biāo)準(zhǔn)指出： 數(shù) 感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、 數(shù)量關(guān)系、 運算結(jié)果估計等方面的感 悟。'學(xué)生的數(shù)感是他們認數(shù)學(xué)習(xí)和計算學(xué)習(xí)中的智慧結(jié)晶，是 他們經(jīng)常接觸并領(lǐng)悟常見數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗升化。 數(shù)感的形成使數(shù) 的知識、運算的知識、數(shù)量關(guān)系的知識轉(zhuǎn)化成個體的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 小學(xué)生的數(shù)感主要表現(xiàn)在： 能夠用數(shù)刻畫客觀對象的量的多少或 大小，能夠估計客觀對象有多大、有多少；能夠估計運算的結(jié)果 大約是多少， 能夠評價筆算或計算器計算結(jié)果的合理性； 能夠用 常見數(shù)量關(guān)系描述實際問題里的數(shù)學(xué)內(nèi)容， 能夠體會

6、到常見數(shù)量 關(guān)系里的簡單函數(shù)關(guān)系。數(shù)感就這樣把與認數(shù)'和計算'有 關(guān)的教學(xué)內(nèi)容有機組織起來了， 教學(xué)數(shù)及其運算的知識應(yīng)該歸結(jié) 到培養(yǎng)和形成數(shù)感的上面。 再如，課程標(biāo)準(zhǔn)指出符號意識主 要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、 數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律； 知 道使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。 '小 學(xué)數(shù)學(xué)里有數(shù)字符號09，運算符號+、x、一，關(guān)系符 號、V、=,字母符號h表示形體的高、s表示圖形的面積有 時表示路程、v表示立體的體積有時表示速度 ，這些 都是人們約定俗成、共同使用的符號。人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué) 時，還可以使用個體的符號。如用一橫、一豎或者一個&quo

7、t;表 示一個物體，用字母 A、 B、 C 分別表示某些對象等。符號具有簡單明了、使用方便等優(yōu)點，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開它。小學(xué)數(shù)學(xué)初步 培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，讓他們知道并使用人類已經(jīng)共同使用的一 些符號，用符號表示運算律、求積公式、常見數(shù)量關(guān)系；鼓勵學(xué) 生用自己設(shè)定的符號進行記錄， 開展統(tǒng)計活動，不僅方便交流與 表達，還體會到符號的價值。符號意識就這樣把用字母表示 數(shù)數(shù)量關(guān)系或運算規(guī)律、對含有字母式子的運算、方程以及 解決實際問題等數(shù)學(xué)內(nèi)容組織起來，有效解決眾多知識相互割 裂、過于分散的現(xiàn)象，并且給于它們明確的教學(xué)方向。又如,空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物

8、體；想象出物體的方位和相互之間的位置 關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。空 間形式是數(shù)學(xué)的研究對象，客觀世界存在著各種各樣、大大小小 的物體，物體在運動變化，物體之間有著相互聯(lián)系。這些內(nèi)容反 映在人的頭腦里，形成的有關(guān)概念、模型，產(chǎn)生的想象、弓I發(fā)的 形象思維，就是個體的空間觀念。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)許多根本的形體 知識，學(xué)生應(yīng)該形成初步的空間觀念。小學(xué)生的空間觀念一般表現(xiàn)為： 頭腦里有常見平面圖形和立 體圖形的數(shù)學(xué)模型，知道這些形體的名稱、形狀、結(jié)構(gòu)特點，看 到某個物體能夠想到其數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)名稱，想到某個模型或者聽到某個名稱，能夠在身邊找到相應(yīng)的物體；從正面、側(cè)面和上 面觀察

9、某個簡單的物體，能夠用分別看到的圖形表示這個物體的 形狀與結(jié)構(gòu)；能夠想象出簡單幾何體的外表展開圖， 能夠根據(jù)外 表展開圖想象出幾何體； 能夠把稍復(fù)雜的組合形體分解成假設(shè)干 簡單形體；能夠數(shù)學(xué)地描述物體的運動方式以及所在位置?？梢?，核心概念不是指某一個或某幾個具體的數(shù)學(xué)知識， 而 是許多相關(guān)數(shù)學(xué)知識的概括提升； 核心概念不是另外教學(xué)的數(shù)學(xué) 內(nèi)容，而是蘊涵在相關(guān)數(shù)學(xué)知識的教學(xué)之中的上位概念。正如課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組核心成員、 東北師范大學(xué)教授馬云鵬所 說的：核心概念表達數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。核心概念本質(zhì)上表達了 數(shù)學(xué)的根本思想，反映了數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)特征以及數(shù)學(xué)思維方 式。數(shù)學(xué)內(nèi)容的四個方面都以 10 個核心概

10、念中的一個或幾個為 統(tǒng)領(lǐng)， 學(xué)生對這些核心概念的體驗與把握， 是對這些內(nèi)容的真正 理解和掌握的標(biāo)志。課程標(biāo)準(zhǔn)實驗稿 提出六個核心概念， 分別是數(shù)感'符 號感'空間觀念'統(tǒng)計觀念'應(yīng)用意識'推理能力'。課程 標(biāo)準(zhǔn) 2021提出十個核心概念，分別是數(shù)感' 符號意識' 運算能力'空間觀念'幾何直觀'數(shù)據(jù)分析觀念'模型思 想'推理能力'應(yīng)用意識'創(chuàng)新意識'。把課程標(biāo)準(zhǔn)修改前后 的核心概念比一比，可以看到：新增加了四個運算能力' 幾何直觀'模型思想'創(chuàng)新

11、意識'；較大改動了三個 數(shù) 據(jù)分析意識'推理能力'應(yīng)用意識'；另外三個數(shù)感' 符號意識'空間觀念'的修改不大。下面我們看一看新增加 的和較大改動的七個核心概念。1. 運算能力。運算能力主要是指能夠根據(jù)法那么和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。重視運算能力是我國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)秀傳統(tǒng)，我國學(xué)生的運算能力受到世界矚目。有關(guān)運算的知識主要是四那么計算的意 義、法那么，四那么混合運算順序，運算律和運算性質(zhì)等。有關(guān)運算 教學(xué)的要求是學(xué)生獲得重要的計算知識，能夠正確、熟練、合理、靈活地應(yīng)

12、用運算知識，解決相應(yīng)的問題，包括計算題和實際問題。進入新課程，數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容發(fā)生了很大變化。 增加了許多 十分有意義的數(shù)學(xué)知識，如圖形的運動、圖形的位置、數(shù)據(jù)統(tǒng)計 活動、事件發(fā)生的可能性、探索規(guī)律和實踐活動等。有關(guān)計算的 教學(xué)內(nèi)容也有很大變動，一是精簡了大數(shù)目的計算，整數(shù)加、減 法一般不超過三位數(shù)的加或減， 整數(shù)乘、除法只到三位數(shù)乘或除 以兩位數(shù)；二是重視口算、加強估算；三是使用計算器進行較繁 瑣的計算。而且，用于計算教學(xué)的時間比過去少了。所以，培養(yǎng) 學(xué)生的運算能力是數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的一個課題。學(xué)生的運算能力一般表現(xiàn)為：能夠選擇恰當(dāng)?shù)挠嬎阈问浇鉀Q 問題，做到可以口算就口算，需要筆算就筆數(shù)，不要精確

13、得數(shù)就 估算，遇到大數(shù)目的計算就使用計算器；追求計算結(jié)果正確，有 及時檢驗得數(shù)的習(xí)慣，能夠采用適宜的方法進行驗算并隨時糾正 計算錯誤；有簡便運算的意識，能夠根據(jù)具體情況，合理而靈活 地利用運算律或運算性質(zhì)，提高計算效率。課程標(biāo)準(zhǔn)重新提出運算能力， 是對數(shù)學(xué)教學(xué)的要求。 計算畢 竟是數(shù)學(xué)內(nèi)容的一局部， 是常用的數(shù)學(xué)活動之一， 是學(xué)習(xí)和應(yīng)用 其它數(shù)學(xué)知識不可缺少的工具。 既不能因為增加了許多其它數(shù)學(xué) 內(nèi)容而無視計算教學(xué)， 也不能以傳統(tǒng)的計算教學(xué)來要求和衡量新 課程的計算教學(xué)。學(xué)生的計算應(yīng)該到達適當(dāng)?shù)乃俣纫蟆Ｕn程標(biāo)準(zhǔn)提出： 20 以內(nèi)加減法和表內(nèi)乘除法口算， 810題/分；百以內(nèi)加減法和 一位數(shù)乘

14、除兩位數(shù)口算，34題/分；兩位數(shù)和三位數(shù)加減法 筆算， 2 3 題分；一位數(shù)乘除兩位數(shù)和三位數(shù)筆算，兩位數(shù) 乘兩位數(shù)筆算， 1 2 題分。這些速度要求，是大多數(shù)學(xué)生經(jīng) 過適量練習(xí)就能夠到達的， 不會消耗過量的教學(xué)資源， 而影響其 它數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)。 這些速度要求， 能夠根本滿足繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 和解決實際問題的需要。這些速度水平，一但形成，能夠維持， 不會有過大的衰退。2. 幾何直觀。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。 借助幾何直觀 可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、 形象，有助于探索解決問題的 思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整 個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀

15、可以看成數(shù)形結(jié)合'的手段與方法。 數(shù)形結(jié)合' 是一種數(shù)學(xué)思想方法， 指利用代數(shù)里的模型來抽象地表示幾何圖 形的本質(zhì)內(nèi)容，利用幾何圖形來形象直觀地表示代數(shù)里的關(guān)系。數(shù)學(xué)是抽象的， 兒童喜歡具體形象的思維， 幾何直觀經(jīng)常能 夠解決抽象與形象之間的矛盾。 數(shù)學(xué)教學(xué)往往會利用簡單的圖形 來表示比擬抽象的數(shù)學(xué)問題或數(shù)量關(guān)系， 如用線段圖表示相差關(guān) 系和倍數(shù)關(guān)系， 用線段圖表示相遇問題的、 未知和數(shù)量關(guān)系， 用簡單圖形表示田地面積的變化等， 這些都十分有助于學(xué)生理解 題意、找到問題的解法。幾何直觀是人們理解復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，探索其解法的手段， 是人們解決問題時經(jīng)常采用的策略。 課程標(biāo)準(zhǔn)提出幾

16、何直觀， 不 僅教師要充分利用這個手段教學(xué)數(shù)學(xué)知識， 還應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生自己 運用幾何直觀的習(xí)慣和能力。 要聯(lián)系實例讓學(xué)生體會什么是幾何 直觀，感受幾何直觀對解決問題的積極作用；要指導(dǎo)學(xué)生畫圖， 初步學(xué)會幾何直觀； 要鼓勵學(xué)生經(jīng)常運用幾何直觀， 逐步成為個 體的解決問題策略之一。3. 模型思想 模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的 根本途徑。 建立和求解模型的過程包括： 從現(xiàn)實生活或具體情境 中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示 數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意 義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想， 提高學(xué)習(xí)數(shù) 學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。

17、模型' 是一種表達形式。 數(shù)學(xué)模型表達的是客觀現(xiàn)象里的 數(shù)學(xué)內(nèi)容， 是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的高度抽象與概括， 最本質(zhì)且最簡練的 表達。所以，人們還把數(shù)學(xué)定義為模式的科學(xué)' 。數(shù)學(xué)關(guān)系式 或者數(shù)學(xué)圖像都是數(shù)學(xué)模型， 如小學(xué)數(shù)學(xué)里的正比例關(guān)系就是用 關(guān)系式=k一定表示的；或者在直角坐標(biāo)系里，用從原 點 0 點出發(fā)向右上方的射線表示。這些就是數(shù)學(xué)模型。弗賴登塔爾指出： 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化' 。所謂數(shù)學(xué)化， 是指從數(shù)學(xué)的角度看現(xiàn)象、 用數(shù)學(xué)思維想問題， 用數(shù)學(xué)方法解決 和解釋問題， 建立數(shù)學(xué)模型就是數(shù)學(xué)化。 建立和求解模型的過程 大致由三局部構(gòu)成： 一是從具體對象里抽象出數(shù)學(xué)問題；

18、二是用 數(shù)學(xué)形式表示變化規(guī)律或各種關(guān)系； 三是求出結(jié)果、 解釋其意義。 可見，建模過程是數(shù)學(xué)化過程，模型思想有助于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，有利 于開展數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該重視模型思想的培養(yǎng)。小學(xué)數(shù)學(xué)里稱得上數(shù)學(xué)模型的不是很多， 但含有模型思想的 數(shù)學(xué)內(nèi)容卻不少。如從每小時行駛的千米數(shù)x行駛的小時數(shù)= 一共行駛的千米數(shù)每分鐘走的米數(shù)x走的分鐘數(shù)=一共走的 米數(shù)等具體的數(shù)量關(guān)系式，概括出速度x時間=路程，再用字母公式 s= vt'表示，這個過程里就有模型思想。又如從大 量事實概括出交換兩個加數(shù)的位置，和不變' ，并用字母式子 a+ b = b + a'表示這條運算律，也是富有模型思想的

19、過程。再 如方程'就是數(shù)學(xué)模型，列方程解決實際問題就是建立模型、 應(yīng)用模型的活動。小學(xué)數(shù)學(xué)培養(yǎng)模型思想， 不一定要學(xué)生寫出十分標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系 式或畫出十分標(biāo)準(zhǔn)的圖像。 讓他們用自己的語言或喜歡的其它方式表示發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律、 認識的數(shù)學(xué)現(xiàn)象， 都能促進模型思想的 開展。4創(chuàng)新意識。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)， 應(yīng)表達在數(shù)學(xué) 教與學(xué)的過程之中。 學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的根底； 獨 立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜測和規(guī)律，并 加以驗證， 是創(chuàng)新的重要方法。 創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育 階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終。歷史告訴我們，創(chuàng)新精神對于振興中華民族是十分重要

20、的。 民族的創(chuàng)新精神，源于其每一個成員的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。創(chuàng)新' 在不同范疇有不同內(nèi)容。 創(chuàng)新的狹義含義是指創(chuàng)造 出人類從未有的、完全嶄新的成果，包括新的理論、新的作品、 新的工藝、新的方法等，這些創(chuàng)新是對全人類的奉獻。創(chuàng)新的廣 義含義是指某個群體或某個人創(chuàng)造出對自己而言的的新認識、 新 發(fā)現(xiàn)。如果說，對于全人類的創(chuàng)新經(jīng)常是科學(xué)家、創(chuàng)造家和少數(shù) 優(yōu)秀人才的成就，那么屬于個體的創(chuàng)新那么是每一個人的可作可 為。而科學(xué)家、創(chuàng)造家的創(chuàng)新能力，也是在個體的、初步的創(chuàng)新 意識根底上開展出來的。所以，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，既直接關(guān) 系到每一個學(xué)生的精神面貌， 也間接關(guān)系著假設(shè)干年以后的人類 新創(chuàng)造。

21、在現(xiàn)有的數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)創(chuàng)新意識，要改變教與學(xué)的方式。 使一些數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)， 由教師傳授變?yōu)閷W(xué)生探索。 鼓勵學(xué)生猜 想、驗證；實驗、發(fā)現(xiàn)；質(zhì)疑、探索；合作、交流。經(jīng)常在教師 的引導(dǎo)和組織下發(fā)現(xiàn)新知識、 建構(gòu)新認識， 他們的創(chuàng)新意識就得 到了應(yīng)有的培養(yǎng)。5. 數(shù)據(jù)分析觀念。數(shù)據(jù)分析觀念包括： 了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)領(lǐng)先做 調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息； 了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分 析的方法， 需要根據(jù)問題的背景選擇適宜的方法； 通過數(shù)據(jù)分析 體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不 同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。進入新課程以

22、來，小學(xué)數(shù)學(xué)的統(tǒng)計教學(xué)發(fā)生了很大的變化。 從過去以制作統(tǒng)計圖表為主要教學(xué)內(nèi)容， 變成以統(tǒng)計活動為主要 教學(xué)內(nèi)容。 提出數(shù)據(jù)分析觀念' 要促進統(tǒng)計教學(xué)的進一步改革。首先，統(tǒng)計是人們認識現(xiàn)象、 解決問題的一種重要方法。 如， 要了解一個單位的職工年齡結(jié)構(gòu)和文化程度結(jié)構(gòu)， 就可以就這兩 個內(nèi)容進行統(tǒng)計； 要了解物價的情況以及對人們生活的影響， 需 要進行有關(guān)的統(tǒng)計；要了解兒童的體質(zhì)狀況和生活方式的變化， 也可以通過統(tǒng)計其次，統(tǒng)計總是圍繞數(shù)據(jù)而進行的， 統(tǒng)計的主要活動是關(guān)于 數(shù)據(jù)的活動，統(tǒng)計過程一般是收集和整理數(shù)據(jù)、分析和利用數(shù) 據(jù)'的過程。統(tǒng)計結(jié)果一方面有其客觀性，另方面有其局限性。

23、 所謂統(tǒng)計結(jié)果的客觀性， 是指數(shù)據(jù)都是真實的， 一般是經(jīng)過調(diào)查 得到的；統(tǒng)計結(jié)論是根據(jù)實實在在的數(shù)據(jù)得出的。人們常說沒 有調(diào)查就沒有發(fā)言權(quán)' 用數(shù)據(jù)說明問題' ，都是肯定了數(shù)據(jù)的客 觀性。所謂統(tǒng)計結(jié)果的局限性， 是因為分析數(shù)據(jù)要在現(xiàn)實的背景 下進行，同一組數(shù)據(jù)，在不同的背景下會表達出不同的意思，引 起人們不同的思考。 如某所學(xué)校對教師的課堂教學(xué)水平進行了調(diào) 查，隨堂聽課的優(yōu)課率 15、良好課 50、合格課 25、較差 課 10。這組數(shù)據(jù)如果與該校過去的課堂教學(xué)水平比，可能看 到有了明顯進步；如果與所在地區(qū)各學(xué)校的整體課堂教學(xué)水平 比，可以看到該學(xué)校處于什么位置上； 如果與其他高

24、水平學(xué)校比， 可以看出還存在的差距。 這是同一組數(shù)據(jù)在不同背景下， 反映出 不同的信息。離開了現(xiàn)實背景的數(shù)據(jù)并不能說明什么問題。 另外， 數(shù)據(jù)還是隨機的， 需要有足夠的數(shù)據(jù)才能比擬客觀地反映出事實 或規(guī)律。 如評價一位教師的課堂教學(xué)水平， 如果只考察他的一堂 課，往往會有片面性。如果考察幾堂甚至幾十堂課，得出的評價 就會客觀一些； 如果對這位教師教學(xué)各類知識的課堂分別進行充 分的考察，得出的評價就更加可信。統(tǒng)計教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析意識與能力， 具體 些說，一要學(xué)生關(guān)注數(shù)據(jù)、重視數(shù)據(jù)，體會到數(shù)據(jù)不是枯燥的數(shù) 字，而是蘊含著豐富的信息內(nèi)容；二要學(xué)生收集信息，通過整理 獲得有用的數(shù)據(jù)，

25、并用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表呈現(xiàn)數(shù)據(jù)， 直觀反映出數(shù) 據(jù)特征；三要學(xué)生對數(shù)據(jù)進行深入的分析，用數(shù)據(jù)解釋事實、判 斷是非、預(yù)測未來。6. 推理能力。 推理能力的開展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。 推理是數(shù)學(xué) 的根本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。 推理一般包括合情推理和演繹推理 ,合情推理是從已有的事實出 發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推 理是從已有的事實 包括定義、 公理、定理等和確定的規(guī)那么 包 括運算的定義、法那么、順序等出發(fā)，按照邏輯推理的法那么證明 和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成： 合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)

26、論。從已有的判斷得出新判斷的思維形式叫做推理， 推理是常用 的思維形式， 人們經(jīng)常通過推理， 實現(xiàn)由此及彼' 的思考跨越。數(shù)學(xué)教育歷來很重視演繹推理， 因為它十分嚴(yán)密。 演繹推理 是從一般到特殊的推理，它根據(jù)已有的事實，按照邏輯的規(guī)那么， 得出新的結(jié)論。例如，前面提到的六年級上冊教科書里的分 數(shù)乘整數(shù)X 3'的算法就是通過演繹推理得出的。從個別例題 得出分數(shù)乘整數(shù)的計算法那么以后， 再進行其它的分數(shù)乘整數(shù)， 只 要按照法那么進行。這時，按已有法那么進行同類計算，可以看作演 繹推理。再如，認識運算律以后的簡便運算，其思考是按照因 為所以進行的，也是演繹推理。數(shù)學(xué)教育應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的

27、 演繹推理能力，也確實有著許多培養(yǎng)時機。推理不只是演繹推理， 合情推理也很常見， 主要有歸納推理、 類比推理。 歸納推理是從特殊到一般的推理， 它根據(jù)局部實際例 子，形成具有普遍意義的概念或規(guī)那么。例如，對小學(xué)生來說，分 數(shù)除以分數(shù)的計算法那么很難通過演繹推理得出， 教科書采用合情 推理，鼓勵學(xué)生猜測并驗證，給予學(xué)生很大的自主探索空間，防 止了直接灌輸'式的機械學(xué)習(xí)。再如通過對假設(shè)干個長方形的 研究，得出所有長方形都具有對邊相等、四個直角'的特點。 通過12道兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法探索，得出計算法那么。這些 都是不完全歸納在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的的具體應(yīng)用。 歸納推理有完 全歸納和不完

28、全歸納， 小學(xué)數(shù)學(xué)里一般都是不完全歸納。 類比推 理是特殊到特殊的推理，它根據(jù)個案之間已經(jīng)存在的一些關(guān)系， 聯(lián)想還會有其它的共同點或相似點。如已經(jīng)知道比與除法有聯(lián) 系，除法與分數(shù)有聯(lián)系，于是認為比和分數(shù)也會有聯(lián)系，認為比 也可以寫成分數(shù)的形式； 已經(jīng)知道除法有商不變性質(zhì)， 分數(shù)有基 本性質(zhì)，于是認為比也有類似的性質(zhì)。這些認為'都是類比推 理的結(jié)果。數(shù)學(xué)教育只重視演繹推理是不夠的，合情推理也十分重要。 合情推理比擬開放、比擬活潑，往往含有猜測、估計、預(yù)測的成 分，人類的許多創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)都起源于合情推理。合情推理得出的 估計、猜測，經(jīng)過演繹推理的驗證，如果是正確的，就是人們的 創(chuàng)新。如果不正

29、確，還可以修正或者放棄。所以說，演繹推理與 合情推理的功能不同，卻相輔相成，缺一不可。既然數(shù)學(xué)教育曾 經(jīng)忽略了合情推理，那么應(yīng)該注意加強。新課程重視合情推理， 并不意味輕視演繹推理， 而是在繼續(xù)重視演繹推理的同時， 也關(guān)注學(xué)生的合情推理能力心理學(xué)認為， 演繹推理是必然性推理， 只要推理的前提和線 索正確，結(jié)果就一定正確。合情推理是或然性推理，即使前提正 確，結(jié)論未必一定正確，其正確性需要證明。小學(xué)數(shù)學(xué)里的不完 全歸納推理和類比推理， 雖然難以進行嚴(yán)格的證明， 還是應(yīng)該讓 學(xué)生充分經(jīng)歷兩個過程： 一是廣泛地列舉具體事例， 即學(xué)生人人 舉例，各人具的例子不同，從眾多的實例中歸納出來的結(jié)論，可 靠性和說服力會強些。 二是積極尋找反例， 只要能夠找到一件反 例，就否認了原來的結(jié)論。如果實在找不到反例，才能看成正確 的結(jié)論嚴(yán)格地講，還只是猜測 。7. 應(yīng)用意識。 應(yīng)用意識有兩個方面的含義，一方面有意識利用數(shù)學(xué)的概 念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中問題； 另一方面，認識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)