材料力學(xué)第5版(孫訓(xùn)方編)第七章

1、1第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論7- -1 概述概述7- -2 平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析主應(yīng)力主應(yīng)力7- -3 空間應(yīng)力狀態(tài)的概念空間應(yīng)力狀態(tài)的概念7- -4 應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系7- -5 空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度7- -6 強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力7- -8 各種強(qiáng)度理論的應(yīng)用各種強(qiáng)度理論的應(yīng)用* *7- -7 莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力27-1 概述概述 在第二章和第三章中曾講述過桿受拉壓時(shí)和圓截面桿受扭時(shí)桿件內(nèi)一點(diǎn)處不同方位截面上的應(yīng)力，并指出：一點(diǎn)處不同方位截面上

2、應(yīng)力的集合(總體)稱之為一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。由于一點(diǎn)處任何方位截面上的應(yīng)力均可根據(jù)從該點(diǎn)處取出的微小正六面體 單元體的三對(duì)相互垂直面上的應(yīng)力來確定，故受力物體內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)(state of stress)可用一個(gè)單元體(element)及其上的應(yīng)力來表示。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論320coscos p2sin2sin0 p單向應(yīng)力狀態(tài)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論42sin2cos純剪切應(yīng)力狀態(tài)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論5研究桿件受力后各點(diǎn)處，特別是危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可以： 1. 了解材料發(fā)生破壞的力學(xué)上的原因，例如低碳

3、鋼拉伸時(shí)的屈服(yield)現(xiàn)象是由于在切應(yīng)力最大的45 斜截面上材料發(fā)生滑移所致；又如鑄鐵圓截面桿的扭轉(zhuǎn)破壞是由于在45 方向拉應(yīng)力最大從而使材料發(fā)生斷裂(fracture)所致。 2. 在不可能總是通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定材料極限應(yīng)力的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，如圖所示,應(yīng)力狀態(tài)分析是建立關(guān)于材料破壞規(guī)律的假設(shè)(稱為強(qiáng)度理論)(theory of strength, failure criterion)的基礎(chǔ)。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論6 本章將研究 . 平面應(yīng)力狀態(tài)下不同方位截面上的應(yīng)力和關(guān)于三向應(yīng)力狀態(tài)(空間應(yīng)力狀態(tài)) 的概念；. 平面應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系廣義胡克定

4、律(generalized Hookes law)，以及這類應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度(strain energy density)；. 強(qiáng)度理論。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論77- -2 平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析主應(yīng)力主應(yīng)力 平面應(yīng)力狀態(tài)是指，如果受力物體內(nèi)一點(diǎn)處在眾多不同方位的單元體中存在一個(gè)特定方位的單元體，它的一對(duì)平行平面上沒有應(yīng)力，而另外兩對(duì)平行平面上都只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力這種應(yīng)力狀態(tài)。等直圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的純剪切應(yīng)力狀態(tài)就屬于平面應(yīng)力狀態(tài)(參見3-4的“.斜截面上的應(yīng)力”)。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論8 對(duì)于圖a所示受橫力

5、彎曲的梁，從其中A點(diǎn)處以包含與梁的橫截面重合的面在內(nèi)的三對(duì)相互垂直的面取出的單元體如圖b(立體圖)和圖c(平面圖)，本節(jié)中的分析結(jié)果將表明A點(diǎn)也處于平面應(yīng)力狀態(tài)。(a)(c)(b)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論9 平面應(yīng)力狀態(tài)最一般的表現(xiàn)形式如圖a所示，現(xiàn)先分析與已知應(yīng)力所在平面xy垂直的任意斜截面(圖b)上的應(yīng)力。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論10. 斜截面上的應(yīng)力第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 圖b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef 以它的外法線n與x軸的夾角 定義，且角以自x 軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)至外法線n為正；斜截面上圖中所示的正應(yīng)力

6、 和切應(yīng)力均為正值，即 以拉應(yīng)力為正，以使其所作用的體元有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)者為正。11 由圖c知，如果斜截面ef的面積為dA，則體元左側(cè)面eb的面積為dAcos，而底面bf 的面積為dAsin。圖d示出了作用于體元ebf 諸面上的力。體元的平衡方程為0sinsindcossind coscosdsincosdd0AAAAAFyyxxn，0cossindsinsind sincosdsincosdd0AAAAAFyyxxt，第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論12 需要注意的是，圖中所示單元體頂,底面上的切應(yīng)力y按規(guī)定為負(fù)值，但在根據(jù)圖d中的體元列出上述平衡方程時(shí)已考慮了它的實(shí)際指向

7、，故方程中的y僅指其值。也正因?yàn)槿绱?，此處切?yīng)力互等定理的形式應(yīng)是x=y。 由以上兩個(gè)平衡方程并利用切應(yīng)力互等定理可得到以2為參變量的求 斜截面上應(yīng)力，的公式：2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論13. 應(yīng)力圓 為便于求得， ，也為了便于直觀地了解平面應(yīng)力狀態(tài)的一些特征，可使上述計(jì)算公式以圖形即所稱的應(yīng)力圓(莫爾圓)(Mohrs circle for stresses)來表示。 先將上述兩個(gè)計(jì)算公式中的第一式內(nèi)等號(hào)右邊第一項(xiàng)移至等號(hào)左邊，再將兩式各自平方然后相加即得：222222xyxyxx第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力

8、狀態(tài)和強(qiáng)度理論14 而這就是如圖a所示的一個(gè)圓應(yīng)力圓，它表明代表 斜截面上應(yīng)力的點(diǎn)必落在應(yīng)力圓的圓周上。OC2yx222xyx(a)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論15第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論OC(b)xxD,1yyD,2 圖a中所示的應(yīng)力圓實(shí)際上可如圖b所示作出，亦即使單元體x截面上的應(yīng)力x,x按某一比例尺定出點(diǎn)D1，依單元體y截面上的應(yīng)力y,y(取y = -x)定出點(diǎn)D2，然后連以直線，以它與 軸的交點(diǎn)C為圓心，并且以 或 為半徑作圓得出。1CD2CD16值得注意的是，在應(yīng)力圓圓周上代表單元體兩個(gè)相互垂直的x截面和y截面上應(yīng)力的點(diǎn)D1和D2所夾圓

9、心角為180，它是單元體上相應(yīng)兩個(gè)面之間夾角的兩倍，這反映了前述，計(jì)算公式中以2 為參變量這個(gè)前提。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論OC(b)xxD,1yyD,217 利用應(yīng)力圓求 斜截面(圖a)上的應(yīng)力，時(shí)，只需將應(yīng)力圓圓周上表示x截面上的應(yīng)力的點(diǎn)D1所對(duì)應(yīng)的半徑 按方位角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)2角，得到半徑 ，那么圓周上E點(diǎn)的座標(biāo)便代表了單元體斜截面上的應(yīng)力。現(xiàn)證明如下(參照?qǐng)Db)：1DCEC第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論18E點(diǎn)橫座標(biāo)2sin2cos22 2sin2sin2cos2cos 2sin2sin2cos2cos 22cos0101000 xyxyxCD

10、CDOCCECEOCCEOCCFOCOF第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論19E點(diǎn)縱座標(biāo)2sin22cos 2sin2cos2cos2sin 22sin01010yxxCDCDCEEF第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論20討論討論: 1. 表達(dá)圖示各單元體 斜截面上應(yīng)力隨角變化的應(yīng)力圓是怎樣的？這三個(gè)單元體所表示的都是平面應(yīng)力狀態(tài)嗎？第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論21 2. 對(duì)于圖示各單元體，表示與紙面垂直的斜截面上應(yīng)力隨 角變化的應(yīng)力圓有什么特點(diǎn)？ =45兩個(gè)斜截面上的,分別是多少？二向等值壓縮二向等值拉伸純剪切第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度

11、理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論22思考思考: : 已知一點(diǎn)處兩個(gè)不相垂直截面上的應(yīng)力(圖a)，如圖b所示為表達(dá)其與紙面垂直的一組斜截面上應(yīng)力而作的應(yīng)力圓是否正確？理由是什么？(a)2),(1D),(2DC(b)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論23. 主應(yīng)力與主平面第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 由根據(jù)圖a所示單元體上的應(yīng)力所作應(yīng)力圓(圖b)可見，圓周上A1和A2兩點(diǎn)的橫座標(biāo)分別代表該單元體的垂直于xy平面的那組截面上正應(yīng)力中的最大值和最小值，它們的作用面相互垂直(由A1和A2兩點(diǎn)所夾圓心角為180可知)，且這兩個(gè)截面上均無切應(yīng)力。24第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理

12、論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論一點(diǎn)處切應(yīng)力等于零的截面稱為主平面(principal plane)，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力(principal stress)。據(jù)此可知，應(yīng)力圓圓周上點(diǎn)A1和A2所代表的就是主應(yīng)力；但除此之外，圖a所示單元體上平行于xy平面的面上也是沒有切應(yīng)力的，所以該截面也是主平面，只是其上的主應(yīng)力為零。25 在彈性力學(xué)中可以證明，受力物體內(nèi)一點(diǎn)處無論是什么應(yīng)力狀態(tài)必定存在三個(gè)相互垂直的主平面和相應(yīng)的三個(gè)主應(yīng)力。對(duì)于一點(diǎn)處三個(gè)相互垂直的主應(yīng)力，根據(jù)慣例按它們的代數(shù)值由大到小的次序記作1，2，3。圖b所示應(yīng)力圓中標(biāo)出了1和2，而3=0。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理

13、論26當(dāng)三個(gè)主應(yīng)力中有二個(gè)主應(yīng)力不等于零時(shí)為平面應(yīng)力狀態(tài)；平面應(yīng)力狀態(tài)下等于零的那個(gè)主應(yīng)力如下圖所示，可能是1，也可能是2或3，這需要確定不等于零的兩個(gè)主應(yīng)力的代數(shù)值后才能明確。12)0(331)0(22)0(13第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論27 現(xiàn)利用前面的圖b所示應(yīng)力圓導(dǎo)出求不等于零的主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置方位角0的解析式，由于12111ACCOACCOAO22222142124212xyxyxxyxyx 其中， 為應(yīng)力圓圓心的橫座標(biāo)， 為應(yīng)力圓的半徑。故得OC11CDCA 第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論28第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)

14、和強(qiáng)度理論yxxBCDB212tan1110yxx2arctan2 0或即圖c示出了主應(yīng)力和主平面的方位。29 由于主應(yīng)力是按其代數(shù)值排序記作1，2，3的，故在一般情況下由上列解析式求得的兩個(gè)不等于零的主應(yīng)力不一定就是1，2，所以應(yīng)該把式中的1，2看作只是表示主應(yīng)力而已。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論30 例題例題7- -2 簡(jiǎn)支的焊接鋼板梁及其上的荷載如圖a所示，梁的橫截面如圖b和c。試?yán)脩?yīng)力圓求集中荷載位置C的左側(cè)橫截面上a，b兩點(diǎn)(圖c)處的主應(yīng)力。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論31 解：解：焊接鋼板梁的腹板上在焊縫頂端(圖b中點(diǎn)f )處，彎曲應(yīng)

15、力和切應(yīng)力都比較大，是校核強(qiáng)度時(shí)應(yīng)加以考慮之點(diǎn)；在實(shí)際計(jì)算中為了方便，常近似地以腹板上與翼緣交界處的a點(diǎn)(圖c)代替f點(diǎn)。正因?yàn)槿绱?，本例題中要求的也是a點(diǎn)處主應(yīng)力。梁的自重不計(jì)。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論32 1. 此梁的剪力圖和彎矩圖如圖d和e。危險(xiǎn)截面為荷載作用位置C的左側(cè)橫截面。mkN80kN200SCCMF第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論332. 相關(guān)的截面幾何性質(zhì)為46333333m108812m10270m1011112m10300m10120zI363333*m10256m105 . 7m10135m1015m10120zaS第七章第七

16、章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論343. 危險(xiǎn)截面上a點(diǎn)和b點(diǎn)處的應(yīng)力：MPa7 .122Pa107 .122m135. 0m1088mN10806463azCayIMMPa6 .64Pa106 .64m109m1088m10256N102006346363*SdISFzzaCaMPa4 .136Pa104 .136m15. 0m1088mN10806463bzCbyIM0b第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論354. 從危險(xiǎn)截面上a點(diǎn)和b點(diǎn)處以包含與梁的橫截面在內(nèi)的三對(duì)相互垂直的截面取出單元體，其x和y面上的應(yīng)力如圖f和h中所示。據(jù)此繪出的應(yīng)力圓如圖g和i。yxxxxx

17、yy(f)(h)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論36對(duì)于點(diǎn)aMPa270MPa1503211和2的方向如圖f中所示。130yxxxxxyy(f)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論(g)1注意到圖f和h所示單元體，其平行于xy平面的面為主平面（其上無切應(yīng)力，相應(yīng)的主應(yīng)力為零，故圖g所示應(yīng)力圓上點(diǎn)A1所表示的是1。按作應(yīng)力圓時(shí)的同一比例尺可量得：37(i)(h)對(duì)于點(diǎn)b00MPa4 .1363211沿x方向(圖h)。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論38 當(dāng)然，點(diǎn)a 處主應(yīng)力1和3的值及其方向也可按應(yīng)力圓上的幾何關(guān)系來計(jì)算：MPa4 .150 22

18、221111xxxDCCOACCOAOMPa7 .27 22221223xxxDCCOACCOAO4 .462/MPa7 .122MPa4 .64arctan2arctan20 xx亦即 0-23.2。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論(g)139 5. 圖f中所示a 點(diǎn)主應(yīng)力1的方向，實(shí)際上只須將應(yīng)力圓上代表x 截面上應(yīng)力的點(diǎn)D1(x，x)反向投射到應(yīng)力圓上的點(diǎn) ，然后將代表3的點(diǎn)A2與點(diǎn) 連以直線即得。這里利用了圓周角恒等于圓心角之半的幾何關(guān)系。1D1D第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論yxxxxxyy(f)1 1方向1D407- -3 空間應(yīng)力狀態(tài)的概念空

19、間應(yīng)力狀態(tài)的概念 當(dāng)一點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力都不等于零時(shí)，稱該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)為空間應(yīng)力狀態(tài)(三向應(yīng)力狀態(tài))；鋼軌在輪軌觸點(diǎn)處就處于空間應(yīng)力狀態(tài)(圖a)。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論41 空間應(yīng)力狀態(tài)最一般的表現(xiàn)形式如圖b所示；正應(yīng)力x，y，z的下角標(biāo)表示其作用面，切應(yīng)力xy，xz，yx，yz，zx，zy的第一個(gè)下角標(biāo)表示其作用面，第二個(gè)下角標(biāo)表示切應(yīng)力的方向。(b)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 圖中所示的正應(yīng)力和切應(yīng)力均為正的，即正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，切應(yīng)力則如果其作用面的外法線指向某一座標(biāo)軸的正向而該面上的切應(yīng)力指向另一座標(biāo)軸的正向時(shí)為正。42 最一般表現(xiàn)

20、形式的空間應(yīng)力狀態(tài)中有9個(gè)應(yīng)力分量，但根據(jù)切應(yīng)力互等定理有xyyx，yzzy ，xzzx，因而獨(dú)立的應(yīng)力分量為6個(gè)，即x，y，z，yx，zy ，zx。 當(dāng)空間應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力1，2，3已知時(shí)(圖a)，與任何一個(gè)主平面垂直的那些斜截面(即平行于該主平面上主應(yīng)力的斜截面)上的應(yīng)力均可用應(yīng)力圓顯示。(a)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論43(b)(c)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 例如圖a中所示垂直于主應(yīng)力3所在平面的斜截面，其上的應(yīng)力由圖b所示分離體可知，它們與3無關(guān)，因而顯示這類斜截面上應(yīng)力的點(diǎn)必落在以1和2作出的應(yīng)力圓上(參見圖c)。44 進(jìn)一步的研

21、究證明*，表示與三個(gè)主平面均斜交的任意斜截面(圖a中的abc截面)上應(yīng)力的點(diǎn)D必位于如圖c所示以主應(yīng)力作出的三個(gè)應(yīng)力圓所圍成的陰影范圍內(nèi)。(a)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 同理，顯示與2(或1)所在主平面垂直的那類斜截面上應(yīng)力的點(diǎn)必落在以1和3(或2和3)作出的應(yīng)力圓上。(c)45 據(jù)此可知，受力物體內(nèi)一點(diǎn)處代數(shù)值最大的正應(yīng)力max就是主應(yīng)力1，而最大切應(yīng)力為31max21(c)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論46它的作用面根據(jù)應(yīng)力圓點(diǎn)B的位置可知，系與主應(yīng)力2作用面垂直而與1作用面成45 ，即下面圖a中的截面abcd。abcd4532211(a)ac

22、d12231max231b23第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論47 根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，在與截面abcd垂直的截面efgh上有數(shù)值上與max相等的切應(yīng)力，如下面圖b中所示。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論abcd4532211(a)acd12231max231b23max45(b)efgh223148 例題例題7-3 試根據(jù)圖a所示單元體各面上的應(yīng)力作出應(yīng)力圓，并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力的值及它們的作用面方位。(a)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論49 解解: : 1. 圖a所示單元體上正應(yīng)力z=20 MPa的作用面(z截面)上無切應(yīng)力，

23、因而該正應(yīng)力為主應(yīng)力。 2. 正如以前所述，在與主平面z截面垂直的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力z無關(guān)，故可根據(jù)x截面和y截面上的應(yīng)力畫出顯示與z截面垂直各截面上應(yīng)力隨截面方位角變化的應(yīng)力圓。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論(a)50 從圓上得出兩個(gè)主應(yīng)力46 MPa和-26 MPa。這樣就得到了包括z=20 MPa在內(nèi)的三個(gè)主應(yīng)力。他們按代數(shù)值大小排序?yàn)?46 MPa，220 MPa，3-26 MPa。(b)(a) 3. 依據(jù)三個(gè)主應(yīng)力值作出的三個(gè)應(yīng)力圓如圖b所示。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論51 1的作用面垂直于z截面(z作用面)，其方位角0根據(jù)通過點(diǎn)D1和

24、D2的應(yīng)力圓上由代表x截面上應(yīng)力的點(diǎn)D1逆時(shí)針至代表1的點(diǎn)A的圓心角2034可知為017且由x截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖c中所示。(c)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論(b)52 4. 最大切應(yīng)力max由應(yīng)力圓上點(diǎn)B的縱座標(biāo)知為max36 MPa，作用在由1 作用面繞2 逆時(shí)針45 的面上(圖c)。(c)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論(b)53顯然，根據(jù)解析式也得MPa36MPa26MPa46212131max7 .33 MPa20MPa40MPa202arctan2arctan20yxx1785.160(c)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論5

25、47-4 應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系 前已講到，最一般表現(xiàn)形式的空間應(yīng)力狀態(tài)有6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量： x , y , z , xy , yz , zx；與之相應(yīng)的有6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量：ex , ey , ez , gxy , gyz , gzx。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論55關(guān)于應(yīng)力分量的正負(fù)已于7-3中講述；至于應(yīng)變分量的正負(fù)為了與應(yīng)力分量的正負(fù)相一致，規(guī)定：線應(yīng)變ex , ey , ez以伸長(zhǎng)變形為正，切應(yīng)變gxy , gyz , gzx 以使單元體的直角xoy , yoz , zox減小為正。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論56 本節(jié)討論

26、在線彈性范圍內(nèi)，且為小變形的條件下，空間應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系，即廣義胡克定律。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論57. 各向同性材料的廣義胡克定律 對(duì)于各向同性材料，它在任何方向上的彈性性質(zhì)相同，也就是它在各個(gè)方向上應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系相同。因此，對(duì)于各向同性材料： (1) 在正應(yīng)力作用下，沿正應(yīng)力方向及與之垂直的方向產(chǎn)生線應(yīng)變，而在包含正應(yīng)力作用面在內(nèi)的三個(gè)相互垂直的平面內(nèi)不會(huì)發(fā)生切應(yīng)變； (2) 在切應(yīng)力作用下只會(huì)在切應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變，而在與之垂直的平面內(nèi)不會(huì)產(chǎn)生切應(yīng)變；也不會(huì)在切應(yīng)力方向和與它們垂直的方向產(chǎn)生線應(yīng)變。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度

27、理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論58 圖a,b,c作為示例示出了單元體以及對(duì)各向同性材料來說不可能產(chǎn)生的變形，因?yàn)槊總€(gè)圖中上面的單元體在繞x軸旋轉(zhuǎn)180 以后，如各圖中下面的單元體所示，或者受力情況未變而變形卻反了(圖a)，或者變形無變化但受力情況卻反了(圖b,c)，而這些都不符合各向同性材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不應(yīng)該隨單元體轉(zhuǎn)動(dòng)而變化的特征。xxxx(a)xx(b)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論xx(c)59 現(xiàn)在來導(dǎo)出一般空間應(yīng)力狀態(tài)(圖a)下的廣義胡克定律。因?yàn)樵诰€彈性,小變形條件下可以應(yīng)用疊加原理，故知x方向的線應(yīng)變與正應(yīng)力之間的關(guān)系為zyxzyxxEEEEe1第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)

28、和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論同理有yxzzzxyyEEee11，60至于切應(yīng)變與切應(yīng)力的關(guān)系，則根據(jù)前面所述可知，切應(yīng)變只與切應(yīng)變平面內(nèi)的切應(yīng)力相關(guān)，因而有GGGzxzxyzyzxyxyggg，第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論61對(duì)于圖b所示的那種平面應(yīng)力狀態(tài)(z0，xz=zx=0，yz=zy=0)，則胡克定律為GEEExyxyyxzxyyyxxgeee11yxxyyx(b)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 各向同性材料的三個(gè)彈性常數(shù)E，G， 之間存在如下關(guān)系：12EG62思考思考: 1. 圖a和圖b所示應(yīng)力狀態(tài)是否完全相當(dāng)？ 2. 圖a所示情況下，對(duì)角線a

29、b的線應(yīng)變eab與g 的關(guān)系，亦即eab與/G 的關(guān)系是怎樣的？ gga2gaaa(a)45(b)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論ba 3. 圖b中沿圖a中對(duì)角線ab方向的線應(yīng)變與所示 的關(guān)系是怎樣的？63 4. 如果圖a與圖b是同一應(yīng)力狀態(tài)，那么它們沿同一方向的線應(yīng)變應(yīng)相等，按此可否導(dǎo)出G=E/2(1+)。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論gga2gaaa(a)45(b)ba64 當(dāng)空間應(yīng)力狀態(tài)如下圖所示以主應(yīng)力表示時(shí)，廣義胡克定律為213331223211111eeeEEE第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論式中，e1，e2，e3分別為沿主應(yīng)

30、力1，2，3方向的線應(yīng)變。65 對(duì)于各向同性材料由于主應(yīng)力作用下，在任何兩個(gè)主應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)不發(fā)生切應(yīng)變，因而主應(yīng)力方向的線應(yīng)變就是主應(yīng)變 一點(diǎn)處兩個(gè)相互垂直方向間不發(fā)生切應(yīng)變時(shí)該兩個(gè)方向的線應(yīng)變。21312221111eeeEEE第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 在平面應(yīng)力狀態(tài)下，若30，則以主應(yīng)力表示的胡克定律為66 例題例題 已知構(gòu)件受力后其自由表面上一點(diǎn)處x方向的線應(yīng)變ex240 10-6，y 方向的線應(yīng)變ey=-160 10-6，試求該點(diǎn)處x和y截面上的正應(yīng)力x和y，并求自由表面法線的線應(yīng)變ez。已知材料的彈性模量E=210 GPa，泊松比0.3。第七章第七章 應(yīng)

31、力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論67 解解：1. 構(gòu)件的自由表面上無任何應(yīng)力，故知該點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)。2. 根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)的胡克定律有xyyyxxEEee11，聯(lián)立求解此二式得MPa33.44Pa1033.44 101603 . 0102403 . 01Pa102101666292yxxEee第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論MPa3 .20Pa103 .20 102403 . 0101603 . 01Pa10210166692xyyEee68再根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)的胡克定律求得6669103 .34 Pa103 .20Pa103 .44Pa102103 . 0yxzEe 需

32、要注意的是，題文中給出了x和y方向的線應(yīng)變，并未說明在xy平面內(nèi)無切應(yīng)變，故不能把求得的x和y認(rèn)為是主應(yīng)力。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論69思考思考: : 有人認(rèn)為既然上述例題中給出了ex和ey的值，那么ez可如下求算：666102410160102403 . 0yxzeee但這又與例題中的結(jié)果不符。錯(cuò)在哪里？第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論70*. 各向異性材料的廣義胡克定律 各向異性材料受力時(shí)，正應(yīng)力會(huì)引起切應(yīng)變，而切應(yīng)力也會(huì)引起線應(yīng)變。完全各向異性的材料在一般空間應(yīng)力狀態(tài)下，三個(gè)相互垂直平面上的6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量x，y，z，yz，zx，xy中的每一

33、個(gè)都可引起6個(gè)應(yīng)變分量ex，ey，ez，gyz，gzx ，gxy。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論71xyzxyzzyxxCCCCCCe161514131211xyzxyzzyxyCCCCCCe262524232221xyzxyzzyxzCCCCCCe363534333231xyzxyzzyxyzCCCCCCg464544434241xyzxyzzyxzxCCCCCCg565554535251xyzxyzzyxxyCCCCCCg666564636261第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論從而在線彈性范圍內(nèi)且小變形的條件下，應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系可表達(dá)為72

34、 上式即是完全各向異性材料的廣義胡克定律。式中的Cij為彈性常數(shù)，其第一個(gè)下角標(biāo) i（1，2， ，6）表示它對(duì)應(yīng)于應(yīng)變分量ex，ey，ez，gyz，gzx，gxy中的第幾個(gè)，例如C24表示ey對(duì)應(yīng)于yz的彈性常數(shù)。從式中可見，完全各向異性的材料總共有36個(gè)彈性常數(shù)。 利用功的互等定理很容易證明，上列彈性常數(shù)中存在Cij=Cji這一互等關(guān)系，也就是說，在上列一組式子中有(366)/215對(duì)彈性常數(shù)是互等的?？梢娡耆飨虍愋缘牟牧现挥?61521個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論73 對(duì)于完全各向異性的材料，若沿x，y，z方向的正應(yīng)力為主應(yīng)力1，2，3，因而xy0

35、，yz=0，zx=0，則按廣義胡克定律有343242141gCCCyz353252151gCCCzx363262161gCCCxy 可見在任何兩個(gè)主應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)均發(fā)生有切應(yīng)變，所以主應(yīng)力方向并非主應(yīng)變的方向，或者說，主應(yīng)力方向和主應(yīng)變方向不相重合。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論74 工程上應(yīng)用的將單向排列碳纖維澆注于環(huán)氧樹脂中形成的單向復(fù)合材料，它們具有三個(gè)彈性性能對(duì)稱面(參見下圖)，從而具有三個(gè)彈性性能對(duì)稱軸，這種各向異性材料稱為正交異性材料(orthogonal composite material)。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論75第七章第七

36、章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 當(dāng)正交異性材料中一點(diǎn)處三個(gè)相互垂直面上的六個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分量均平行于材料的彈性對(duì)稱軸時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性原則可知，這三個(gè)面上的正應(yīng)力在彈性對(duì)稱軸方向只產(chǎn)生線應(yīng)變，這三個(gè)面上的切應(yīng)力只在它們各自的自身平面內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變。76zyxxCCCe131211zyxyCCCe232221zyxzCCCe333231yzyzCg44zxzxCg55xyyxCg66因此，當(dāng)正交異性材料一點(diǎn)處的六個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分量平行于材料的彈性對(duì)稱軸x，y，z時(shí)，廣義胡克定律為第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論考慮到上式中：C12=C21，C13=C31，C23=C32，正交異性材

37、料共有9個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。77 思考思考: : 圖中x軸和y軸為正交各向異性材料的彈性性能對(duì)稱軸，從該材料中一點(diǎn)處取出的單元體如圖a所示，受純剪切；變形后如圖b。試論證這種情況仍符合對(duì)稱性原則。xyxy(a)(b)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論78. 各向同性材料的體應(yīng)變 材料受力而變形時(shí)其體積的相對(duì)變化稱為體應(yīng)變。321321332211111aaaaaaaaaVVVeee第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論取三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a1，a2，a3的單元體，它在受力而變形后邊長(zhǎng)分別為a1(1+e1)，a2(1+e2)，a3(1+e3)，故體應(yīng)變?yōu)?9將上式展開并略去

38、高階微量e1e2，e2e3，e3e1，e1e2e3，再利用各向同性材料的廣義胡克定律得32132121eeeE第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論80 對(duì)于以最一般形式表達(dá)的空間應(yīng)力狀態(tài)，由于單元體每一個(gè)平面內(nèi)的切應(yīng)力引起的純剪切相當(dāng)于這個(gè)平面內(nèi)的二向等值拉壓(1，3，20），從而從上列體應(yīng)變公式中可見，它們引起的體應(yīng)變?yōu)榱?。可見，?duì)于各向同性材料，在一般空間應(yīng)力狀態(tài)下的體應(yīng)變也只與三個(gè)線應(yīng)變之和有關(guān)，即zyxzyxEeee21第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論81 思考思考: 各向同性材料制成的構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處，三個(gè)主應(yīng)力為130 MPa，210 MPa，3-40

39、MPa?，F(xiàn)從該點(diǎn)處以平行于主應(yīng)力的截面取出邊長(zhǎng)均為a的單元體，試問：(1) 變形后該單元體的體積有無變化？(2) 變形后該單元體的三個(gè)邊長(zhǎng)之比有無變化？第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論82 例題例題7-6 邊長(zhǎng)a =0.1 m的銅質(zhì)立方體置于剛性很大的鋼塊中的凹坑內(nèi)(圖a)，鋼塊與凹坑之間無間隙。試求當(dāng)銅塊受均勻分布于頂面的豎向外加荷載F =300 kN時(shí)，銅塊內(nèi)的主應(yīng)力，最大切應(yīng)力，以及銅塊的體應(yīng)變。已知銅的彈性模量E =100 GPa，泊松比0.34。銅塊與鋼塊上凹坑之間的摩擦忽略不計(jì)。(a)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論83解：解：1. 銅塊水平截面

40、上的壓應(yīng)力為 MPa30Pa1030m1 . 0N10300623AFy 2. 銅塊在y作用下不能橫向膨脹，即ex=0，ez0，可見銅塊的x截面和z截面上必有x和z存在(圖b) 。(b)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論84按照廣義胡克定律及ex0和ey0的條件有方程：0101zyzzzyxxEEee從以上二個(gè)方程可見，當(dāng)它們都得到滿足時(shí)顯然xz。于是解得MPa5 .15 Pa105 .15Pa103034. 0134. 0166yzx第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論85由于忽略銅塊與鋼塊上凹坑之間的摩擦，所以x，y，z都是主應(yīng)力，且MPa30MPa5 .15

41、321第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論3. 銅塊內(nèi)的最大切應(yīng)力為MPa25. 7Pa1025. 7 Pa1030Pa105 ax(b)86第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論4. 銅塊的體應(yīng)變?yōu)?66693211095. 1 Pa1030Pa105 .15Pa105 .15Pa1010034. 021 21E(b)877- -5 空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度 在第二章“軸向拉伸和壓縮”中已講到，應(yīng)變能密度是指物體產(chǎn)生彈性變形時(shí)單位體積內(nèi)積蓄的應(yīng)變能，并導(dǎo)出了單向拉伸或壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度計(jì)算公式：22222

42、1eeEEv在第三章“扭轉(zhuǎn)”中講到了純剪切這種平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度：222221ggGGv在此基礎(chǔ)上，本章講述空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論88 空間應(yīng)力狀態(tài)下，受力物體內(nèi)一點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力有可能并非按同一比例由零增至各自的最后值，例如1先由零增至最后的值，然后2由零增至最后的值，而3最后才由零增至最后的值。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 但從能量守恒定律可知，彈性體內(nèi)的應(yīng)變能和應(yīng)變能密度不應(yīng)與應(yīng)力施加順序有關(guān)而只取決于應(yīng)力的最終值，因?yàn)榉駝t按不同的加載和卸載順序會(huì)在彈性體內(nèi)累積應(yīng)變能，而這就違反了能量守恒定律。89把由

43、主應(yīng)力和主應(yīng)變表達(dá)的廣義胡克定律代入上式，經(jīng)整理簡(jiǎn)化后得133221232221221Ev 為了便于分析，這里按一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力按同一比例由零增至最后的值這種情況，即通常所稱的比例加載或簡(jiǎn)單加載情形，來分析以主應(yīng)力顯示的空間應(yīng)力狀態(tài)下，各向同性材料在線彈性且小變形條件下的應(yīng)變能密度。此時(shí)：33221121eeev第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論90體積改變能密度和形狀改變能密度 圖a所示單元體在主應(yīng)力作用下不僅其體積會(huì)發(fā)生改變，而且其形狀(指單元體三個(gè)邊長(zhǎng)之比)也會(huì)發(fā)生改變。這就表明，單元體內(nèi)的應(yīng)變能密度ve包含了體積改變能密度vv和形狀改變能密度vd兩部分，即vevvvd。

44、第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論91 如果將圖a所示應(yīng)力狀態(tài)分解為圖b和圖c所示兩種應(yīng)力狀態(tài)，則可見： . 圖b所示三個(gè)主應(yīng)力都等于平均應(yīng)力m(1+2+3)/3的情況下，單元體只有體積改變而無形狀改變，其應(yīng)變能密度即是體積改變能密度，而形狀改變能密度為零。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論92 . 圖c所示三個(gè)主應(yīng)力分別為1-m，2-m，3-m的情況下，三個(gè)主應(yīng)力之和為零，單元體沒有體積改變而只有形狀改變，故該單元體的應(yīng)變能密度就是形狀改變能密度，而體積改變能密度為零。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論93由以上分析可知： (1) 圖a所示單元

45、體的體積改變能密度就等于圖b所示單元體的應(yīng)變能密度，故對(duì)圖a所示單元體有23212m2m2m2m2m2m2mV6212213 221|EEEvvb單元體第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論94 213232221m1m3m3m2m2m12m32m22m1d61 2 21|EEvvc單元體在下一節(jié)所講的強(qiáng)度理論中要運(yùn)用形狀改變能密度。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 (2) 圖a所示單元體的形狀改變能密度就等于圖c所示單元體的應(yīng)變能密度，故對(duì)圖a所示單元體有957- -6 強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力 材料在單向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度(塑性材料的屈服極限，脆

46、性材料的強(qiáng)度極限)總可通過拉伸試驗(yàn)和壓縮試驗(yàn)加以測(cè)定；材料在純剪切這種特定平面應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度(剪切強(qiáng)度)可以通過例如圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)來測(cè)定。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 但是對(duì)于材料在一般平面應(yīng)力狀態(tài)下以及三向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度，則由于不等于零的主應(yīng)力可以有多種多樣的組合，所以不可能總是由試驗(yàn)加以測(cè)定。因而需要通過對(duì)材料破壞現(xiàn)象的觀察和分析尋求材料強(qiáng)度破壞的規(guī)律，提出關(guān)于材料發(fā)生強(qiáng)度破壞的力學(xué)因素的假設(shè)強(qiáng)度理論，以便利用單向拉伸、壓縮以及圓筒扭轉(zhuǎn)等試驗(yàn)測(cè)得的強(qiáng)度來推斷復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的強(qiáng)度。96材料的強(qiáng)度破壞有兩種類型； . 在沒有明顯塑性變形情況下的脆性斷裂； . 產(chǎn)生

47、顯著塑性變形而喪失工作能力的塑性屈服。工程中常用的強(qiáng)度理論按上述兩種破壞類型分為 . 研究脆性斷裂力學(xué)因素的第一類強(qiáng)度理論，其中包括最大拉應(yīng)力理論和最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論； . 研究塑性屈服力學(xué)因素的第二類強(qiáng)度理論，其中包括最大切應(yīng)力理論和形狀改變能密度理論。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論97 (1) 最大拉應(yīng)力理論(第一強(qiáng)度理論) 受鑄鐵等材料單向拉伸時(shí)斷口為最大拉應(yīng)力作用面等現(xiàn)象的啟迪，第一強(qiáng)度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力中的拉伸主應(yīng)力1達(dá)到該材料在單軸拉伸試驗(yàn)或其它使材料發(fā)生脆性斷裂的試驗(yàn)中測(cè)定的極限應(yīng)力u時(shí)就發(fā)生斷裂?？梢?，第一強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判

48、據(jù)為u1而相應(yīng)的強(qiáng)度條件則是 1其中，為對(duì)應(yīng)于脆性斷裂的許用拉應(yīng)力，u/n，而n為安全因數(shù)。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論98 (2)最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論(第二強(qiáng)度理論) 從大理石等材料單軸壓縮時(shí)在伸長(zhǎng)線應(yīng)變最大的橫向發(fā)生斷裂(斷裂面沿施加壓應(yīng)力的方向，即所謂縱向)來判斷，第二強(qiáng)度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點(diǎn)處的最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變e1達(dá)到該材料在單軸拉伸試驗(yàn)、單軸壓縮試驗(yàn)或其它試驗(yàn)中發(fā)生脆性斷裂時(shí)與斷裂面垂直的極限伸長(zhǎng)應(yīng)變eu時(shí)就會(huì)發(fā)生斷裂。可見，第二強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)為u1ee第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論99對(duì)應(yīng)于式中材料脆性斷裂的極限伸長(zhǎng)線

49、應(yīng)變eu， 如果是由單軸拉伸試驗(yàn)測(cè)定的(例如對(duì)鑄鐵等脆性金屬材料)，那么eu u/E； 如果eu是由單軸壓縮試驗(yàn)測(cè)定的(例如對(duì)石料和混凝土等非金屬材料)，那么eu u/E； 如果eu是在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的試驗(yàn)中測(cè)定的(低碳鋼在三軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下才會(huì)未經(jīng)屈服而發(fā)生脆性斷裂)，則eu與試驗(yàn)中發(fā)生脆性斷裂時(shí)的三個(gè)主應(yīng)力均有聯(lián)系。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論100EEu3211亦即u321而相應(yīng)的強(qiáng)度條件為 321 按照這一理論，似乎材料在二軸拉伸或三軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下反而比單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下不易斷裂，而這與實(shí)際情況往往不符，故工程上應(yīng)用較少。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和

50、強(qiáng)度理論 如果eu是在單軸拉伸而發(fā)生脆性斷裂情況下測(cè)定的，則第二強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)也可以便于運(yùn)用的如下應(yīng)力形式表達(dá)：101 (3) 最大切應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論) 低碳鋼在單軸拉伸而屈服時(shí)出現(xiàn)滑移等現(xiàn)象，而滑移面又基本上是最大切應(yīng)力的作用面(45 斜截面)。據(jù)此，第三強(qiáng)度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下當(dāng)一點(diǎn)處的最大切應(yīng)力max達(dá)到該材料在試驗(yàn)中屈服時(shí)最大切應(yīng)力的極限值u時(shí)就發(fā)生屈服。第三強(qiáng)度理論的屈服判據(jù)為umax對(duì)于由單軸拉伸試驗(yàn)可測(cè)定屈服極限s，從而有us/2的材料（例如低碳鋼），上列屈服判據(jù)可寫為22s31s31即第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論102而相應(yīng)的強(qiáng)度條

51、件則為 31 從上列屈服判據(jù)和強(qiáng)度條件可見，這一強(qiáng)度理論沒有考慮復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的中間主應(yīng)力2對(duì)材料發(fā)生屈服的影響；因此它與試驗(yàn)結(jié)果會(huì)有一定誤差(但偏于安全)。 (4) 形狀改變能密度理論(第四強(qiáng)度理論) 注意到三向等值壓縮時(shí)材料不發(fā)生或很難發(fā)生屈服，第四強(qiáng)度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下材料發(fā)生屈服是由于一點(diǎn)處的形狀改變能密度vd達(dá)到極限值vdu所致。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論103于是，第四強(qiáng)度理論的屈服判據(jù)為dudvv 對(duì)于由單軸拉伸試驗(yàn)可測(cè)定屈服極限s的材料，注意到試驗(yàn)中1 s， 230，而相應(yīng)的形狀改變能密度的極限值為2sdu261Ev故屈服判據(jù)可寫為2s21323

52、222126161EE第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論104此式中，1，2，3是構(gòu)成危險(xiǎn)點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力，相應(yīng)的強(qiáng)度條件則為 21323222121 這個(gè)理論比第三強(qiáng)度理論更符合已有的一些平面應(yīng)力狀態(tài)下的試驗(yàn)結(jié)果，但在工程實(shí)踐中多半采用計(jì)算較為簡(jiǎn)便的第三強(qiáng)度理論。亦即s21323222121第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論105(5) 強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力 上述四個(gè)強(qiáng)度理論所建立的強(qiáng)度條件可統(tǒng)一寫作如下形式： r式中，r是根據(jù)不同強(qiáng)度理論以危險(xiǎn)點(diǎn)處主應(yīng)力表達(dá)的一個(gè)值，它相當(dāng)于單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度條件中的拉應(yīng)力，通常稱r為相當(dāng)應(yīng)力。表7-1示出了前述四個(gè)強(qiáng)度理

53、論的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論106相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式強(qiáng)度理論名稱及類型 第一類強(qiáng)度理論(脆性斷裂的理論) 第二類強(qiáng)度理論(塑性屈服的理論) 第一強(qiáng)度理論 最大拉應(yīng)力理論 第二強(qiáng)度理論 最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論 第三強(qiáng)度理論 最大切應(yīng)力理論 第四強(qiáng)度理論 形狀改變能密度理論1r1321r2313r2/1213232221r4 21表7-1 四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論107* *7- -7 莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力 莫爾強(qiáng)度理論不以某一力學(xué)因素(正應(yīng)力，線應(yīng)變，切應(yīng)力，形狀改變能密度)達(dá)到其

54、極限值作為材料發(fā)生強(qiáng)度破壞的判據(jù)，而直接以材料在某些應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度試驗(yàn)結(jié)果所建立的帶有經(jīng)驗(yàn)性的強(qiáng)度理論。在該理論中也不考慮中間主應(yīng)力2對(duì)材料強(qiáng)度的影響。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論108 按照材料在某些應(yīng)力狀態(tài)下破壞時(shí)的主應(yīng)力1,3可作出一組應(yīng)力圓極限應(yīng)力圓(如圖)，這組極限應(yīng)力圓有一條公共包絡(luò)線(即極限包絡(luò)線，一般情況下為曲線，如圖中的曲線ABC和與它對(duì)稱的另一曲線)。. 莫爾強(qiáng)度理論的基本觀點(diǎn)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論109 在工程應(yīng)用中，往往根據(jù)單軸拉伸和單軸壓縮的強(qiáng)度試驗(yàn)結(jié)果作兩個(gè)極限應(yīng)力圓定出公切線(直線)作為極限包絡(luò)線。 莫爾強(qiáng)度理論認(rèn)

55、為，對(duì)于某一給定的應(yīng)力狀態(tài)(1,2,3 )如果由1與3所作應(yīng)力圓與上述極限包絡(luò)線相切或相交，則表示材料要發(fā)生強(qiáng)度破壞。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論110. 莫爾強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件 在強(qiáng)度計(jì)算中需引入安全因數(shù)，故以材料在單軸拉伸時(shí)的許用拉應(yīng)力t和單軸壓縮時(shí)的許用壓應(yīng)力c分別作出許用應(yīng)力圓，并以它們的公切線（許用包絡(luò)線）作為建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度條件的依據(jù)。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 任何復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，以主應(yīng)力1，3作出的應(yīng)力圓都不得與許用包絡(luò)線相交，而強(qiáng)度條件則以該應(yīng)力圓與許用包絡(luò)線相切的條件來建立。111 根據(jù)圖中的幾何關(guān)系可見，任意應(yīng)力狀態(tài)下以

56、1,3所作應(yīng)力圖與許用包絡(luò)線相切時(shí)有121323OOOOPONO(a)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論112其中：需要注意的是，以上各式中c是指絕對(duì)值， 1,3是指代數(shù)值。 t311332121LOKONO tc1222121LOMOPO 31t31132121OOOOOOct21122121OOOOOO(b)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論113將式(b)所列關(guān)系代入式(a)得t3ct1根據(jù)此式導(dǎo)出的條件可知，式中的1,3實(shí)際上是所研究的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下剛好滿足強(qiáng)度要求的值，因而莫爾強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件應(yīng)為t3ct1相應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式于是為3ct1rM第七章

57、第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論114 顯然，當(dāng)材料的許用拉,壓應(yīng)力相等時(shí)， rM=r3=1-3從這個(gè)意義上來說，莫爾強(qiáng)度理論是第三強(qiáng)度理論的發(fā)展，因?yàn)槟獱枏?qiáng)度理論可以考慮t c的情況。 莫爾強(qiáng)度理論的不足之處在于，它沒有考慮不同應(yīng)力狀態(tài)下材料強(qiáng)度破壞的類型可能不同，例如對(duì)于鑄鐵一類脆性材料，莫爾強(qiáng)度理論中作出許用包絡(luò)線的t和c就是對(duì)應(yīng)于沿橫截面脆性斷裂和沿斜截面剪斷兩種不同破壞類型的。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論1157- -8 各種強(qiáng)度理論的應(yīng)用各種強(qiáng)度理論的應(yīng)用 前述各種強(qiáng)度理論是根據(jù)下列條件下材料強(qiáng)度破壞的情況作出的假設(shè)，它們也是應(yīng)用這些強(qiáng)度理論的條件

58、：常溫(室溫)，靜荷載(徐加荷載)，材料接近于均勻,連續(xù)和各向同性。 需要注意同一種材料其強(qiáng)度破壞的類型與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論116第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 帶尖銳環(huán)形深切槽的低碳鋼試樣，由于切槽根部附近材料處于接近三向等值拉伸的應(yīng)力狀態(tài)而發(fā)生脆性斷裂。對(duì)于像低碳鋼一類的塑性材料，除了處于三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)外，不會(huì)發(fā)生脆性斷裂。117 圓柱形大理石試樣，在軸向壓縮并利用液體徑向施壓時(shí)會(huì)產(chǎn)生顯著的塑性變形而失效。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論118純剪切平面應(yīng)力狀態(tài)下許用應(yīng)力的推算純剪切平面應(yīng)力狀態(tài)下，321

59、0 低碳鋼一類的塑性材料，純剪切和單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下均發(fā)生塑性的屈服，故可用單軸拉伸許用應(yīng)力按第三或第四強(qiáng)度理論推算許用切應(yīng)力。按第三強(qiáng)度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件為可見 5 . 02 2亦即第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論119按第四強(qiáng)度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件為可見 577. 03 在大部分鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中就是按 =0.577 然后取整數(shù)來確定低碳鋼的許用切應(yīng)力的。例如規(guī)定 170 MPa，而 100 MPa。 2220021 3亦即第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論120 鑄鐵一類的脆性材料，純剪切(圓桿扭轉(zhuǎn))和單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下均發(fā)生脆性

60、斷裂，故可用單軸拉伸許用應(yīng)力t按第一或第二強(qiáng)度理論推算許用切應(yīng)力 。按第一強(qiáng)度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件為第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論t可見 t121按第二強(qiáng)度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件為 t0因鑄鐵的泊松比0.25，于是有可見 tt8 . 025. 1 t25. 125. 1t亦即第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論122 思考思考: : 試按第四強(qiáng)度理論分析比較某塑性材料在圖(a)和圖(b)兩種應(yīng)力狀態(tài)下的危險(xiǎn)程度。已知 和 的數(shù)值相等。如果按第三強(qiáng)度理論分析，那么比較的結(jié)果又如何？答案：按第四強(qiáng)度理論，(a),(b)兩種情況下同等危險(xiǎn)。按第