數(shù)字圖像處理讀書報(bào)告5

1、精品文檔數(shù)字圖像處理讀書報(bào)告5頻率域?yàn)V波錢增磊前言：本章主要學(xué)習(xí)圖像特征與用于表示這些特征的數(shù)學(xué)工具之間的聯(lián)系，介紹在基本的圖像濾波中如何使用福利葉變換。內(nèi)容要點(diǎn)：一是傅里葉變換的起源及其應(yīng)用于數(shù)學(xué)、科學(xué)及工程的眾多分支；二是介紹取樣函數(shù)的基本原理以及對(duì)一維二維離散傅里葉變換的推導(dǎo)和頻率域處理的要領(lǐng)；三是頻率域的公式表示及應(yīng)用；四是在圖像處理中實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的有關(guān)問題進(jìn)行討論。一、傅里葉變換基礎(chǔ)傅里葉是法國數(shù)學(xué)家，他指出任何周期函數(shù)可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦之和的形式，每個(gè)正弦項(xiàng)和/或余弦項(xiàng)乘以不同的系數(shù)，最初是用在熱分析理論中。其主要有傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換、離散傅里葉變換以及快速傅

2、里葉變換。1、傅里葉級(jí)數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域中，通常復(fù)數(shù)可用歐拉函數(shù)的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換表示：eje=cos6+jsine,那么復(fù)數(shù)為C=Cej8；則根據(jù)上述的傅里葉級(jí)數(shù)定義，得到二j2_nt1T/2空tf(t)=aeT,其中cn=-fj/2f(t)eTdt,n=0,1,2,nT2、沖激及其取樣特性9t=0比沖激函數(shù)定義為6(t)=3，其中被限制為滿足等式16(t)dt=1,其物理意義、0,t#05就是一個(gè)幅度無限，持續(xù)時(shí)間為0,具有單位面積的尖峰信號(hào)。其取樣特性為函數(shù)與沖激函數(shù)的乘積：Cf(t)每(t-t0)dt=f(t0)；那么對(duì)于其離散的.,1,x=0函數(shù)具有相似的表達(dá)，其沖激函數(shù)為6(x)=，其離散變

3、量的取樣特性為：0,x#0od工f(x)6(x-x0)=f(X0)；X二C30其沖激串則定義為無限多個(gè)分離的周期沖激單元T之和：s(t)=E(t-niT)；n=-二3、連續(xù)變量函數(shù)的傅里葉變換及其關(guān)系連續(xù)函數(shù)f的傅里葉變換為F(N)=廣f(t)e,2#dt,那么必存在一個(gè)傅里葉反變換：一二.i2.t.二一f(t)=fF(2)ej2曜d1，利用歐拉公式得到F(邑)=ff(t)cos(2nNt)jsin(2nNt)dt,由于積分的左邊唯一變量是N,所以說傅里葉變換域就是頻率域。在上一章中已經(jīng)知道，兩個(gè)函數(shù)卷積涉及一個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)翻轉(zhuǎn)并滑過另一個(gè)函數(shù)，同樣在傅里葉變換中，同樣可以得到f(t)*h(t

4、)uH(N)F(N)和f(t)h(t)uH(2)*F(2)其中f)h(t)和H(N)F(N)為傅里葉變換對(duì)，上述實(shí)現(xiàn)了空間域兩個(gè)函數(shù)的卷積的傅里葉變換等于兩個(gè)函數(shù)的傅里葉變換在頻率域中的乘積，反過來同樣得到。二、取樣和取樣函數(shù)的傅里葉變換1、取樣函數(shù)的傅里葉變換對(duì)于連續(xù)函數(shù)f(t),通過用一個(gè)AT單位間隔的沖激串作為取樣函數(shù)去乘以f(t),得到取一一一一樣后的函數(shù)f(t),即f(t)=f(t)sa(t)=Zf(t)d(t-nM)o那么對(duì)于其傅里葉變換得：n二二,.1nF(N)=與f(t)=F(NgS(N),其中S(N)=，6伍-)；于是可以得到Tn-.:：.T兩個(gè)傅里葉變換函數(shù)的卷積：二I,1

5、/,nF()=.()S(-)d=不F()、(-虧)daS_、F(J-)Tn-.：訂可以看到取樣后的函數(shù)的傅里葉變換是F(R)的一個(gè)拷貝的無限、周期序列，也是原始連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換。T.JMYJ對(duì)于復(fù)原f(t),可以定義H(N)=,，通過H(N)與F(N)相乘得0,到F(N),就可以利用傅里葉反變換復(fù)原f(t)。2、取樣定理與混淆上述1/AT為取樣函數(shù)的取樣率，只有當(dāng)取樣率足夠高，一遍在周期之間提供有效的間隔，保持F(N)的完整性，取樣率需要滿足稱為取樣定理。那么不超過函數(shù)最高頻率的兩倍的取樣率來獲得樣本，那么就稱作欠取樣，就會(huì)產(chǎn)生混淆的現(xiàn)象，以低于奈奎斯特取樣率取樣的最終效果是周期重疊，導(dǎo)致

6、無法分離出變換的一個(gè)單周期，改變換已被鄰近周期的頻率破壞了。由于H(N)具有無限擴(kuò)展的頻率分量，如果用有限長度的取樣和紀(jì)錄工作，混淆是不可避免的，可以通過平滑輸入函數(shù)減少高頻分量的辦法來降低混淆的影響，這樣的處理叫抗混淆。三、離散傅里葉變換(DFT)、1、單變量的離散傅里葉變換，一、.由于傅里葉變換F(是周期為1/AT的無限周期連續(xù)函數(shù)，那我們可以再周期0=0到N=1/AT之間得到M個(gè)等間距樣本，可以通過如下頻率處取樣：J=,m=0,1,2,M-1M：T于是可以得到相應(yīng)的離散傅里葉變換對(duì)：M1F(u)=f(x)e,2-ux/M,u=0,1,2,，M-1x=0M1f(x)丁F(u)ej2rx/M

7、,x=0,12,M-1Mum無論對(duì)于正變換還是反變換，都是無限循環(huán)的，其周期為M,那么其離散的卷積表示為M4f(x)h(x)=Sf(m)h(x-m)m-02、兩個(gè)變量的傅里葉變換根據(jù)一維的推導(dǎo)，同樣可以是用在二維變量中，可以得到在坐標(biāo)(t。，。)的沖激為qQqQJ/(t,z)、.(t-t0,z-Z0)dtdz=f(t0,Z0)QOQO其取樣特性為f(x,y)6(x-x0,y-y0)=f(x0,y0)。x二二二y二：二那么二維離散傅里葉變換為M4N4j2二(ux/Mvy/N)F(u,v)八f(x,y)ex=0y=0M4Nq_f (x, y)Ij27：.(ux/Mvy/N)F(u,v)eMNu2Q

8、OQ0那么二維取樣可用二維沖激串建模：s甚宏(t,z)=Z6(t-mAT,z-nAZ),同樣滿足m：n，、,*.一一一1,1取樣定理，要求t,z軸兩個(gè)分量分別滿足取樣定理：，2Rmax與A2vmax。.TZ對(duì)于二維變量，混淆的現(xiàn)象就擴(kuò)展到了圖像，存在兩種主要混淆：時(shí)間混淆和空間混淆。時(shí)間混淆與圖像序列中圖像間的時(shí)間間隔有關(guān)，最常見的是“車輪效應(yīng)”?？臻g混淆主要是欠取樣造成的，如“莫爾(波紋)模式、現(xiàn)狀特征中的鋸齒、偽高光等的出現(xiàn)。為了完美重建，理論上要適用無限求和來內(nèi)插，但實(shí)際上是達(dá)不到的，所以為了減少混淆，可以在縮小圖像之前稍微模糊以下圖像，然后再重采樣，就可以得到更加清晰地結(jié)果。其中二維D

9、FT的性質(zhì)：(1)平移和旋轉(zhuǎn)，其中平移不影響幅度(譜)，旋轉(zhuǎn)角度兩者在變換前后是一致的；(2)周期性，其變換以及反變換在u方向和v方向是無限周期的，對(duì)于一維，將其中心化，可進(jìn)行操作f(x)(1)xyF(uM/2),對(duì)于二維同理可進(jìn)行操作f(x,y)(_1)x十=F(uM/2,vN/2);(3)對(duì)稱性，實(shí)函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換是共軻對(duì)稱的：F*(u,v)=F(-u,-v),而對(duì)于虛函數(shù)其傅里葉變換是共軻反對(duì)稱的：F*(-u,-v)=-F(u,v)3、傅里葉譜及相角通過將二維DFT進(jìn)行極坐標(biāo)變換，可得到幅度F(u,v)=R2(u,v)+F2(u,v)1/2,稱為傅里葉譜(頻譜)，它是用來存儲(chǔ)

10、圖像的灰度信息的；而其相角為u,v)=arctanI(U,v)R(u,v)是用來攜帶圖像形狀特性的。三、頻率域?yàn)V波頻率直接關(guān)系到空間的變化率，其中低頻對(duì)應(yīng)于變化緩慢的灰度分量，而其高頻則對(duì)應(yīng)于變化劇烈的灰度分量，尤其是邊緣與噪聲特性，于是引出頻率域的濾波來對(duì)圖像進(jìn)行操作。對(duì)一般操作的步驟可歸納為：首先輸入圖像f(x,y),并對(duì)其進(jìn)行指定大小的填充；再用(1)x4y乘以fp(x,y)移到其變換的中心s然后進(jìn)行DFT,并用濾波函數(shù)H(u,v)進(jìn)行濾波操作；接下來通過反變換得到空間域的函數(shù)；最后得到處理后的圖像。1、適用頻率域?yàn)V波器平滑圖像通過衰減高頻信號(hào)來達(dá)到頻率域的平滑，所以引出低通濾波器，常用

11、有理想濾波器、布特沃斯濾波器、高斯濾波器三類。理想低通濾波器ILPF在頻率域的剖面圖類似于盒裝濾波器，其相應(yīng)的空間濾波器具有sinc函數(shù)形狀，所以其中心的波瓣是引起模糊的主因，而外側(cè)較小的波瓣是造成振鈴的主要原因。1.布特沃斯低通濾波器有形式：H(u,v)=z-,可根據(jù)不同的n得到不1 D(u,v/D。)2n同的徑向剖面，其平滑程度也不同，對(duì)于同一階，其截止頻率D0越大，其高頻越容易通過。頻率域與空間域具有反比性。該低通濾波器可看做是高斯濾波與理想濾波的過渡。2 2高斯低通濾波器的表達(dá)形式為H(u,v)=e-D(u,v)/20r，其中仃=D0。2、適用頻率域?yàn)V波器銳化圖像跟平滑圖像相反，采用衰

12、減低頻信號(hào)，來使銳化圖像，所以引出高通濾波器，常用的有理想高通濾波器、布特沃斯高通濾波器、高斯高通濾波器，都與上一節(jié)相似，這里提出與低通不同的是采用鈍化模板、高提升濾波和高頻強(qiáng)調(diào)濾波的方法，在第三章所討論過的，利用對(duì)原圖像進(jìn)行模糊后，用原圖像減去模糊圖像得到邊緣的增強(qiáng)模板，再加載在原圖像上得到銳化的效果，即g(x,y)=f(x,y)+k*gmask(x,y),其中當(dāng)k=1時(shí)為鈍化模板，k1高提升濾波器；同樣我們可以利用高通濾波器來表達(dá)該結(jié)果：.一g(x,y)=、kk2Hhp(u,v)F(u,v)該表達(dá)是即為高頻強(qiáng)調(diào)濾波器，其中k1之0給出了控制距原點(diǎn)的偏移量，k20控制高頻的貝獻(xiàn)。還有一種方法

13、叫同態(tài)濾波，根據(jù)照射-反射模型建立的，將一幅圖像f(x,y)表示為照射分量i(x,y)與反射分量r(x,y)的乘積，其中照射分量通常由慢的空間變化表征，而反射分量往往引起突變，所以將變換后的低頻與照射相對(duì)應(yīng)，高頻與反射相對(duì)應(yīng)，從而進(jìn)行頻率域的處理。其步驟如下：1f(x,y)=Wln對(duì)數(shù)=DFT=H(u,v)=(DFT)=取exp=g(x,y)3、選擇性濾波上述的一些濾波器主要在整個(gè)頻率矩形上操作，而很多應(yīng)用主要側(cè)重于指定的頻段或頻率矩形的小區(qū)域，前者主要是帶阻濾波器與帶通濾波器，后者主要是陷波濾波器；其中陷波濾波器是拒絕(或通過)事先定義的關(guān)于頻率矩形中心的一個(gè)鄰域的頻率。四、快速傅里葉變換(FFT)對(duì)于常用的頻率域方t算，通常要求(MN)2次的求和及加法，對(duì)于計(jì)算機(jī)來說是一個(gè)非常巨大的計(jì)算，所以將二維傅里葉變換轉(zhuǎn)換為一維變換執(zhí)行：F(UK)=Feven(U)-Fodd(U)W2uKK1K1其中Feven(U)f(2X)W！uX,Fdd(u)=f(2x+1)WK(x,所以得到把一個(gè)M點(diǎn)的變換,x=0x=0轉(zhuǎn)換為兩個(gè)(M