無(wú)窮限廣義積分的計(jì)算(1)

1、無(wú)窮限廣義積分的計(jì)算陳雪靜（寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 寶雞721013）摘 要：文章歸納總結(jié)了利用數(shù)學(xué)分析、復(fù)變函數(shù)、積分變換、概率論統(tǒng) 計(jì)理論等知識(shí)計(jì)算無(wú)窮限廣義積分的幾種方法.在學(xué)習(xí)中運(yùn)用這幾種方法可開(kāi)拓 視野,激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.關(guān)鍵詞：廣義積分;收斂;計(jì)算方法廣義積分是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)知識(shí)，廣義積分的概念不僅抽象，而且計(jì)算方法靈活，不易掌握.廣義積分包括兩大類，一類是積分區(qū)間無(wú)窮型的廣 義積分，另一類是積分區(qū)間雖為有窮，但被積函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)含有有限個(gè)無(wú)窮型問(wèn) 斷點(diǎn)（瑕點(diǎn)）的廣義積分.一般的判別法是對(duì)積分區(qū)間無(wú)窮型的廣義積分，先將積 分限視為有限的積分區(qū)間按常義積分處理 彳寺積

2、分求出原函數(shù)后再考查其極限是 否存在，在用此極限去判定原積分是否收斂.對(duì)于第二類廣義積分，我們可將積分 區(qū)間改動(dòng)，使被積函數(shù)在改動(dòng)后的積分區(qū)間內(nèi)成為有界函數(shù)再按常義積分處理，求出原函數(shù)之后考查它在原積分區(qū)間上的極限是否收斂.但是有些被積函數(shù)的原函 數(shù)不易求出或無(wú)法用初等函數(shù)表示，使得廣義積分無(wú)法用常規(guī)方法計(jì)算，因此需尋 求其它的計(jì)算方法.本文主要研究無(wú)窮限廣義積分的計(jì)算方法，主要方法包括利用 廣義積分定義、參量積分、變量代換、二重積分、留數(shù)定理、級(jí)數(shù)展開(kāi)、概率論 知識(shí)以及拉普拉斯變換等方法.1無(wú)窮限廣義積分的定義定義1設(shè)函數(shù)”*）在區(qū)間0收）上連續(xù),取12.如果極限 t阿 af（x）dx存在，

3、則稱此極限為函數(shù)f（x）在無(wú)窮區(qū)間a,）上的反常積分（也稱作廣義積分）指導(dǎo)教師：陳一虎作者簡(jiǎn)介：陳雪靜（1986-）,女，陜西咸陽(yáng)人，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2008級(jí)專升本1班.記作a f(x)dx,即a f (x)dx=tlim a f (x)dx;這時(shí)也稱反常積分問(wèn)a,也)上的反常積分18f(x)dx收斂;如果上述極限不存在，函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū) af (x)dx就沒(méi)有意義，習(xí)慣上稱為反常積分f*f (x)dx發(fā) a- a散，這時(shí)記號(hào)f(x)dx不再表示數(shù)值了 .- a類似地，設(shè)函數(shù)”*)在區(qū)間(口,3上連續(xù),取1札 如果極限btl* f(x)dx存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間(g,

4、b上的反常積分，記作b f(x)dx,即bbf(x)dx= lim f (x)dx;lj-.l這時(shí)也稱反常積分jbf (x)dx收斂;如果上述極限不存在，就稱反常積分 亡f(x)dx 發(fā)散.設(shè)函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間(,)內(nèi)連續(xù)，如果廣義積分c一-f(x)dx和 J f (x)dx (c為常數(shù)).一二二c都收斂，則稱上述兩個(gè)反常積分之和為函數(shù)f (x)在無(wú)窮區(qū)間(,)內(nèi)的廣義積分，記作廣f(x)dx,即 r、Cr、一 f(x)dx= _f(x)dx+ f (x)dx -cCt= tlim_ t f (x)dx + Jimc f (x)dx這時(shí)也稱廣義積分J丈f (x)dx收斂;否則就稱反常積分J

5、丈f(x)dx發(fā)散.上述反常積分統(tǒng)稱為積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間的廣義積分或無(wú)窮限廣義積分.2無(wú)窮限廣義積分的計(jì)算方法2.1利用廣義積分的定義求無(wú)窮限廣義積分由定義計(jì)算可以分兩步A1求定積分f f (x)dx=F(A).需要說(shuō)明的是原函數(shù)F(A)均指有限形式. aA2取極限理工f(x)dx=ALmF(川.例計(jì)算(1、,2 )dxxbb解=blim_1(1 )dx x1 1 x2b 1dx Gdxb二 blim2 a/的2；21=lim2arctan b - arctan1 - b j2b-12 2花=lim 2arctan b - - - limb j:.It1-T-222 br二 2b2.2利用含參

6、量積分的理論求無(wú)窮限廣義積分含參量積分:一si _x/ 一、F(s) = J0 x e dx ( s 0 )一1E(p,q) = J0xp (1-x)q dx ( p0,q0)統(tǒng)稱為歐拉積分.其中(s)稱為格馬函數(shù).B(p,q)稱為貝塔函數(shù).且有遞推公式(s+1) = s(s)及 B(p,q) =q -1p q -1-(p,q -1).因此在計(jì)算廣義積分時(shí)看所給廣義積分當(dāng)s, p, q為何值時(shí)對(duì)應(yīng)的歐拉積分，然后用歐拉積分公式直接算出廣義積分的值.52例Flue n 2Xdx(n為正整數(shù))A2 n-1t 2e dt解此廣義積分與表達(dá)式相似，因此可用r函數(shù)法求解.2n -x2A 2n -x22

7、1 x e dx = Aim x e dx t = x - li一1，二：n”t1111t e-dt = (n )=(n -) 1022221111133=-(n ) . (n ) = (n )(n).(n)2222222_1 3 5 7(2n -1)=2n*y7t、.、.1注：-()= 冗.22.3利用變量代換法求無(wú)窮限廣義積分有些函數(shù)的原函數(shù)不易求出或直接積分不出來(lái)，但如果對(duì)被積函數(shù)施以變量 代換，在輔以一定的技巧就可以求出這類積分.作變量帶換時(shí)，首先要對(duì)被積函數(shù) 的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，然后再看積分限與被積函數(shù)的關(guān)系.變換的方向是求出原函數(shù)或 求出一個(gè)含原積分的方程，從而求得所含廣義積分的值.,

8、、 二 1求 I= 4 dx0 1 x4dt解令x= 1，則I= ft二 dt,11 70,2，一，二二-dx上式加上1=F 1p1742I=F t20 1 t41-2dt=t-0 t21t21：d(t-7)1dt =.=. (t -1)2 22tarctan,1(t _ ,)冗2.22.4利用二重積分理論計(jì)算無(wú)窮限廣義積分.利用二重積分理論計(jì)算廣義積分時(shí)，應(yīng)分兩步：1把廣義積分巧妙的化為一個(gè)二重積分.2計(jì)算二重積分，從而間接的計(jì)算出廣義積分的值例4 5計(jì)算廣義積分:dx解由于ye&2dx= f*e,2dy00x22x2二二 y2所以o e dx = e dx e dy22/ 22、 而edx

9、 % ey dy = |je_(x )dxdy 其中 口=0嚴(yán))父0產(chǎn))D,2故(-0 e* dx ) = JJ e,x * )dxdy 而 JJeDD4x22), “一冗 dxdy = 一了 4產(chǎn)2, Q0 e dx = Y例-計(jì)算廣義積分I=10二 _px sin bx -sin ax ,edx)xb=cos(xy)dy a二4x sin bx -sin axe 1:. .二 qx, bdx= 0 e ( acos(xy)dy)dx :；： b *b r、=p dx a ex cos(xy)dy= a dy o e_px cos(xy)dxp ,_, b x a-32 dy = arcta

10、n - - arctan 一.p yp p2.5積分號(hào)下求導(dǎo)法計(jì)算無(wú)窮限廣義積分.收斂因子法：此方法是對(duì)被積函數(shù)引入一個(gè)收斂因子，因子中有一個(gè)參數(shù)，對(duì)參數(shù)（不一定是收斂因子中的參數(shù)）求導(dǎo)，有時(shí)可求得原積分的值.在此情況下引入的收斂因子加強(qiáng)了原積分的收斂性（如條件收斂的成為絕對(duì)收斂，或求導(dǎo)后發(fā)散的，變成一致收斂）.這樣使積分號(hào)下求導(dǎo)條件得以滿足.一般采用e上（k0）作為收斂因子.例65求積分（二sin axs-dx (a -0) x解 引入積分因子ex （ p0）作積分F（p）=f七二-px sin ax , e dxexcosaxdx= 2-p-1p aa -aF(p)= arctan + C

11、 = arctan一(顯然 C =I(0)=0)由此有l(wèi) i m a r ctaan7tp d p 2所以故同樣可得I=-2二sin ax花dx =- 一(a :二 0)22.6積分號(hào)下求積分法算無(wú)窮限廣義積分這種方法是將被積函數(shù)中某一因子表為一個(gè)適當(dāng)?shù)姆e分.于是將原積分化成二次積分.交換這兩個(gè)積分的順序，就可求出所給的積分.例7 求積分I二(二cos x ,-rdx(0)1 1 x由1 x2ey sin ydy，于是I二 0 cos ： xdx e*ysinydy= sin ydy o e*ycos：xdx二 y sin y 一 ：占比 sin -1 以2dy -2-d1)：2y2 101

12、t2dI 二xsin :x,七 dI .由二- Kx=-Id ：01 x2 d ：所以I =C e邛為了確定C,令P =0.廣告=C 故1 =決邛2.7利用復(fù)變函數(shù)理論中的留數(shù)定理計(jì)算無(wú)窮限廣義積分定理1 設(shè)函數(shù)f(z)在實(shí)軸上處處解析，在上半平面Im z 0除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)Z1,Z2Zn外處處解析，且存在常數(shù)A0,MA0,60，使得當(dāng)z A ,且MIm z 0 時(shí)，-f (z)| wg,則z-nJ f(x)dx = 2 心 Re$f(z),zJLZ.kF推論1 設(shè)f (z) =P1)是有理函數(shù)，P(z)與Q(z)為z的n,m次多項(xiàng)，多項(xiàng)式Q(z)的次數(shù)比P(z)至少高2次,Q(z)在實(shí)軸上沒(méi)

13、有零點(diǎn)，44zn是f(z)在上半平面Im z 0的孤立奇點(diǎn)，則f(x)dx=2樸 Re$f(z),zJ-oOk=1計(jì)算廣義積分,二Jq2 222(x a )(x-dx b2)因?yàn)閒(z) =(z2 +a 2Kz 4b )2，顯然f (z)滿足推論的條件，且zi=ai, Z2=bi是f (z)在上半平面的孤立奇點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)都是f (z)的一級(jí)極點(diǎn),因此有Res f (z), ai = lim( z - ai) t (z +a 2)(z +b )2-a222ai(b -a )2i(a2 -b2)同理 Res f(z),bi=2i(b2 - a2)2222二(x2 a2)(x2 b2)dx = 2

14、Ti 2i(a2 -b2) + 2i(b2 -a2)71a b2.8 級(jí)數(shù)展開(kāi)法求廣義積分一21一一 八一七4 v2例 9 求積分 I= 11G e cos2bxdx解利用余弦函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)以及指數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式nx . x- n _e 八一(2i )司 2n !Q21n=e n!我們有0%_x2x2 J (-1)n(2b)2n 2n”:cos2bxdx= e- 、 x dx = x0 n 衛(wèi)(2n)!n 衛(wèi)(n(2b)2n ：edx(2n)!解由于Q0=、n 0(-1)n(2b)2n(2n -1)!(2n)!2 n 1右=E 丁山=區(qū)e22n山 n! 2計(jì)算廣義積分ln x ,dx.x(1

15、一 x)二 In x1 x(1-x)二 1 dx=n 4 n-22而工=故原式二n4n1 二解 因?yàn)閒(x)=占e 2為標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布密度函數(shù)所以V 2冗66利用無(wú)窮級(jí)數(shù)計(jì)算廣義積分也是常用的一種技巧.常有兩種方法.其一是將被積函數(shù)展成級(jí)數(shù)以求積分 其二是將無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分表示成級(jí)數(shù)的形式以求積分2.9 利用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)求無(wú)窮限廣義積分計(jì)算廣義積分I= 。二皿 sin bx-sin ax exdx.40f(x)dx= 1.00)x7：， 1-x-dx =1.所以1-1= e 206冗一 20 e 2dx =二.21e du =0.21x2.冗=v 花=2 222.10 用拉普拉斯變換求無(wú)窮

16、限廣義積分定義2 設(shè)f (t)在t之0上有定義,且積分F (s) = ( fe4dt ( s是復(fù)變參量)關(guān) 于某一范圍內(nèi)的s收斂，則由這個(gè)積分確定的函數(shù) F(s) = ff (t)etdt稱為函數(shù) f(t)的拉普拉斯變換.并記做L f(t),即Lf (t) = F(s)=rf (t)e%t ,其中的F(s)稱為f(t)的像函數(shù)，f(t)稱為F(s)的像原函數(shù).定理2 5 (Laplace變換存在定理)設(shè)函數(shù)f (t)在t之0的任何有限區(qū)間內(nèi)分段連續(xù)，并且當(dāng)t T -時(shí)，f (t)的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù)，即存在常數(shù)M 0,和so 0 ,使得在0,y上，f (t) WMes0t ,則在半平面

17、Resso上，Lf (t)存在，且F(s)=Lf(t)是s的解析函數(shù).其中注稱為f(t)的增長(zhǎng)指數(shù).性質(zhì)1(積分性質(zhì))若Lf(t) = F(p)惻Lff(t)dt=F ( p為復(fù)數(shù)) 0P(1)性質(zhì)2口(終值性質(zhì))若Lf(t) = F(p),且pF(p)的所有奇點(diǎn)全在p平面的部tiimf=Bm)p F(p)(2)性質(zhì)3 若Lf (t) =F(p) ,F(p)在Rep0上解析，且1Yf (t)dt收斂,則(-1)nlim Fn(p)存在，且p 0(3)(-1“師 p(tnf 9d證明Lf(t) F (p)由微分性知Fn(p) = L( -t)nf (t)Lf f( D=(T)nFn(p)由性質(zhì)1

18、所以由性質(zhì)2L ttnf(t)dt=30p呵小加:眄)F初特別的，n性質(zhì)性質(zhì),二 n .nn0 t f( Dd=(-1) lpm0F (P) =0 時(shí)，有 ff (t)dt =lim F(p).(4)4 F (象函數(shù)的積分性質(zhì))若 Lf(t) = F(p),且積分F(p)dp收斂IF曲.(5)設(shè) Lf(t) = F(p)，且F(p)dp 與10Ldt皆收斂，則 t(6)證明(5)式，L平卜二F(P)dP p二 f(t) 0F(p)dp = .0出(4)式，0千出二眄/中=0 F(P)dP例 12，求 f(t) =sin t的拉普拉斯變換，并求積分二則dt. 0 t由定理2,因?yàn)閨f(t), M

19、1 e,故在s的實(shí)部大于零上，拉普拉斯變換存在，_-stqtee sin tdt = 2ssin t fcos t =-21s s - 于是Lsint=M (在s的實(shí)部大于零)那么L*=S2 1由命題4知sinLV= s 在利用命題5知1冗ds= 一 一 arctan ss1 2 * 12為 i n 口1, 冗dt =ds=.t 0 s2 - 12例13 6計(jì)算下列積分0二 3.1te sintdt由微分性質(zhì)知，2s(s2 T)2但是另一方面當(dāng)s=3時(shí)，即st .Lt si n 日 L t Si n dte- 3t0 te sintdt=_2s_ =且(s2-1)23-50致謝：本文在寫作過(guò)程中得到陳一虎老師的指導(dǎo).在此表示感謝!參考文獻(xiàn):1白水周.無(wú)窮限廣義積分的幾種有效解法J.開(kāi)封大學(xué)學(xué)報(bào)，2000,14(1):49-50.2李紹成.論廣義積分的計(jì)算J.綿陽(yáng)農(nóng)專學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1996,13(2):65-70.3數(shù)學(xué)分析.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系M.高