函數(shù)單調(diào)性講義提高

1、函數(shù)單調(diào)性1單調(diào)性定義（1）單調(diào)性定義：設函數(shù)的定義域為A，區(qū)間。如果對于任意，I，當時，都有，那么就說在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)區(qū)間I叫做的單調(diào)減區(qū)間；如果對于任意，I，當時，都有，那么就說在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)區(qū)間I叫做的單調(diào)增區(qū)間； 單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間。（2）函數(shù)的單調(diào)性通常也可以以下列形式表達： 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減例1定義在上的函數(shù)對任意兩個不相等實數(shù)，總有成立，則必有（ ）A、函數(shù)是先增加后減少 B、函數(shù)是先減少后增加C、在上是增函數(shù) D、在上是減函數(shù)（3）增函數(shù)、減函數(shù)的定義及圖形表示xy0x1x2f(x1)f(x2)xy0x1x2 ; f(x1)f(x2) 增函數(shù):

2、 減函數(shù): 注意：對于函數(shù)單調(diào)性定義的理解，要注意以下兩點函數(shù)的單調(diào)性是對某一個區(qū)間而言的f(x)在區(qū)間A與B上都是增(或減)函數(shù)，在AB上不一定單調(diào)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的性質，因此定義中的x1，x2在這一區(qū)間上具有任意性，不能用特殊值代替 在研究函數(shù)的單調(diào)性時，應先確定函數(shù)的定義域xy12345-2-4-1-3-5123123O例1下圖是定義在區(qū)間-5，5上的函數(shù)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每個區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？例2已知函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)，且f(a)f(b)0，則方程f(x)=0在區(qū)間a，b內(nèi)（ ）A至少有一實根 B至多有一實根 C沒有實根 D必有唯一的實

3、根例3已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù),且,求的取值范圍.例4已知函數(shù)f(x)x1，若f(a1)<f(102a)，則a的取值范圍是_ (，1)(3,5)解析由題意，得或或a<1或3<a<5.2函數(shù)單調(diào)性的證明方法（1）定義法： 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）； 定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）； 下結論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）（2）圖象法(從圖象上看升降)例1判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,并用定義證明.例2試討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.解： 設，且 x2x10，0， 當時，那么當時，那么故在

4、區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)例3已知函數(shù)用單調(diào)性定義證明：在上為增函數(shù)；解設， 所以在上為增函數(shù).例4證明函數(shù)f(x)2x在(，0)上是增函數(shù)設x1，x2是區(qū)間(，0)上的任意兩個自變量的值，且x1<x2.則f(x1)2x1，f(x2)2x2，f(x1)f(x2)2(x1x2)(x1x2)由于x1<x2<0，所以x1x2<0,2>0，因此f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(，0)上是增函數(shù)例5函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，且對一切x>0，y>0都有ff(x)f(y)，當x>1時，有f(x)>0

5、.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性并加以證明；(3)若f(4)2，求f(x)在1,16上的值域解：(1)當x>0，y>0時，ff(x)f(y)，令xy>0，則f(1)f(x)f(x)0.(2)設x1，x2(0，)，且x1<x2，則f(x2)f(x1)f，x2>x1>0.>1，f>0.f(x2)>f(x1)，即f(x)在(0，)上是增函數(shù)(3)由(2)知f(x)在1,16上是增函數(shù)f(x)minf(1)0，f(x)maxf(16)，f(4)2，由ff(x)f(y)，知ff(16)f(4)，f(16)2f(4)4，f(x)在1,

6、16上的值域為0,4例6定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意實數(shù)m，n，總有f(mn)f(m)·f(n)，且當x>0時，0<f(x)<1.(1)試求f(0)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性并證明你的結論；解：(1)在f(mn)f(m)·f(n)中，令m1，n0，得f(1)f(1)·f(0)因為f(1)0，所以f(0)1.(2)任取x1，x2R，且x1<x2.在已知條件f(mn)f(m)·f(n)中，若取mnx2，mx1，則已知條件可化為：f(x2)f(x1)·f(x2x1)由于x2x1>0，所以0<f(x2x

7、1)<1.為比較f(x2)，f(x1)的大小，只需考慮f(x1)的正負即可在f(mn)f(m)·f(n)中，令mx，nx，則得f(x)·f(x)1.因為當x>0時，0<f(x)<1，所以當x<0時，f(x)>1>0.又f(0)1，所以綜上可知，對于任意的x1R，均有f(x1)>0.所以f(x2)f(x1)f(x1)f(x2x1)1<0.所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減3復合函數(shù)的單調(diào)性判斷（1）復合函數(shù)的概念如果是的函數(shù)，又是的函數(shù)，即，那么關于的函數(shù)稱為f,g的復合函數(shù)，為中間變量。（2）結論：設函數(shù)在區(qū)間M上有意義，函

8、數(shù)在區(qū)間N上有意義，且當XM時，uN。有以下四種情況：（1）若在M上是增函數(shù)，在N上是增函數(shù)，則在M上也是增函數(shù)；（2）若在M上是增函數(shù)，在N上是減函數(shù)，則在M上也是減函數(shù)；（3）若在M上是減函數(shù)，在N上是增函數(shù)，則在M上也是減函數(shù)；（4）若在M上是減函數(shù)，在N上是減函數(shù)，則在M上也是增函數(shù)。即：同增異減。注意：內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域的子集。（3）用表格表示，如下（實施該法則時首先應考慮函數(shù)的定義域.）tg(x)yf(t)yfg(x)增增增增減減減增減減減增注意：1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 例1例2求函數(shù)的遞減區(qū)間。例3求函

9、數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解：設ux2x6，y.由x2x60，得x3或x2.結合二次函數(shù)的圖象可知，函數(shù)ux2x6在(，3上是遞減的，在2，)上是遞增的又函數(shù)y是遞增的，函數(shù)f(x)在(，3上是遞減的，在2，)上是遞增的4函數(shù)單調(diào)性的常見結論奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上若f(x)為增(減)函數(shù)，則f(x)為減(增)函數(shù)，5常見函數(shù)的單調(diào)性例1設函數(shù)是（-，+）上的減函數(shù)，若aR, 則 （ ） A. B. C. D.例2函數(shù)y=4x2-mx

10、+5在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則m=_;例3函數(shù)的遞增區(qū)間依次是（ ） ABC D例4已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）Aa3 Ba3Ca5 Da3例5函數(shù)f(x)=ax2-(5a-2)x-4在上是增函數(shù), 則a的取值范圍是_. 例6求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例7若函數(shù)yax與y在(0，)上都是減函數(shù)，則yax2bx在(0，)上是()A增函數(shù) B減函數(shù) C先增后減 D先減后增例8函數(shù)y(x3)|x|的遞增區(qū)間是_解析：y(x3)|x|作出該函數(shù)的圖象，觀察圖象知遞增區(qū)間為.答案：例9求函數(shù)yx22|x|1的單調(diào)區(qū)間解：(1)由于y即y畫出函數(shù)圖象如圖所示，單調(diào)遞增區(qū)間為(，1和

11、0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為1,0和1，)6函數(shù)的單調(diào)性的應用例1設函數(shù)f (x)是（，+）上的減函數(shù)，若aR，則（ ）A f (a2+1)<f (a)B f (a2)<f (a) C f (a2+a)<f (a)Df (a)>f (2a) 例2已知函數(shù)在上遞增，求實數(shù)的取值范圍.解：設，由恒成立即當時，恒成立又，所以例3求函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值. 最大值為,最小值為. 例4若f(x)在區(qū)間(2，)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_解析：設x1>x2>2，則f(x1)>f(x2)，而f(x1)f(x2)>0，則2a1>0.得a>.提高題1已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍_ 2已知定義域為R的函數(shù)f(x)在區(qū)間(，5)上單調(diào)遞減，對任意實數(shù)t，都有f(5t)f(5t)，那么下式子一定成立的是（ ）Af(1)f(9)f(13)Bf(13)f(9)f(1)Cf(9)f(1)f(13)Df(13)f(1)f(9)3已知函數(shù)f(x)若f(2a2)&