連續(xù)時間系統(tǒng)地復頻域

1、第三章線索第三章線索因而拉普拉斯變換分析法常稱為復頻 域分析法拉普拉斯變換分析法和傅里葉變換分析法都是建立在線性 非時變系統(tǒng)的齊次性可迭加性根底上的只是信號分解的根本單元函 數(shù)不同1拉普拉斯變換的數(shù)學定義和物理意義 2拉普拉斯變換的性 質與計算方法3連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析法 4系統(tǒng)函數(shù)的定義 § 53拉普拉斯變換的收斂域由上面的討論可知連續(xù)時間信號ft的拉普拉斯變換以下簡稱拉氏變換式 F s是否存在取決于f t乘 以衰減因子 以后是否絕對可積即2有了 s域電路元件模型就可以得 到一般電路的s域模型應用電路分析中的根本分析方法節(jié)點法網孔 法等和定理如疊加定理戴維南定理等列出復頻域的代

2、數(shù)方程并進展 求解得到響應的象函數(shù)對所求的響應象函數(shù)進展拉氏反變換即得出 響應的時域解§ 57線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法基爾霍夫定律KVL定律 KCL定律歐姆定律零狀態(tài) 其中 運算阻抗 運算導納§ 57線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法根本步驟1 畫t 0- 等效電路求初始狀態(tài)2畫s域等效模型3列s域電路方程代數(shù)方程 4解s域方程求出s域響應5 反變換求t域響應§ 57線性系統(tǒng) 的拉普拉斯變換分析方法例5-11 圖5-11中e t 10 £ t C1FR12 15Q R2 1 Q L 12H 初始條件uC 0 5ViL 0 4A 方向如圖試 求響應電流i

3、1 t 圖5-11 a時域電路模型 圖5-11 bs域電路模 型 補充例題 例1圖示電路t 0 K打開電路穩(wěn)定有t 0K閉合有s域等效模型 求u2 t 解§ 57線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換 分析方法3系統(tǒng)函數(shù)H s由時域零狀態(tài)響應r t e t h t 可得R s E s H s引入系統(tǒng)函數(shù)又稱系統(tǒng)轉移函數(shù)自然分量 受迫分量 自然分量 例5-15 圖5-18中C1 1F C2 2F R 3 Q初始條 件uC1 0 EV方向如圖設開關在tO時閉合試求通過電容 C1的響應 電流iC1 t 圖5-18 a時域電路模型 E圖5-18 bs域電路模型3 s s 2 1 s 11 s I C uC1

4、 0 C1 1F C2 2F R 3Q 初始條件 uC10 EV s 11 s I C 3 s s 2 1 E§ 56拉普拉斯變換的根本性質1線性性質假如 其中C1C2為任意常數(shù) 如此例2尺度變換性 假 如f t F s 如此3 時移性例2求圖示信號的拉氏變換例3 求周期矩形脈沖信號的拉氏變換解設 抽樣信號的拉氏變換練習4頻移性 假如f t F s如此 解 證明5時域微分性 假如f tF s如此 假如f t F s如此6時域積分性 解7頻域微分性 假如f t F s 如此8頻域積分性 假如f t F s 如此 sin ot 解9時域卷積定理假如如此10頻域卷積定理如此假如其中 初值f

5、 t t 0 f 0假如f t有初值且f t F s 如此12終值定理 終值f t t f假如f t有終值且f t F s 如此11初值定理 注意終值存在的條件F s在s右半平面無極點在j軸上單實根極點F S 1S當ft含有沖激與其導數(shù)時有 解§ 56 拉普拉斯變換的根本性質§ 56拉普拉斯變換的根本性質§ 57線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法一由方程求響應利用拉氏變換求線性系統(tǒng)的響應時需要首先對描述系統(tǒng)輸入輸出關系的微分 方程進展拉氏變換得到一個s域的代數(shù)方程 由于在變換中自動地引 入了系統(tǒng)起始狀態(tài)的作用因而求出響應的象函數(shù)包含了零輸入響應和零狀態(tài)響應再經過拉氏反

6、變換可以很方便地得到零輸入響應零狀 態(tài)響應和全響應的時域解 § 57線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法 § 57線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法例3線性時不變系統(tǒng)的模型如下且ft £ ty o- 2 y o- 1求系統(tǒng)零輸入響應零狀態(tài)響應以與全響應y t 零輸入分量 零狀態(tài)分量 全響應§ 57線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析 方法 二由電路求響應1s域等效電路1元件t s域運算阻抗RLC t RsL 1sC 2 信號象函數(shù)it u t t i s U s §57線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法a時域電路模型電阻元件時域與s域電路模型bs域電路模型 取LS變換

7、 電容元件時域與s域 電路模型bs域串聯(lián)電路模型a時域電路模型 取LS變換 電容元件 時域與s域電路模型cs域并聯(lián)電路模型a時域電路模型 取LS變換 電容元件的時域伏安關系還可以表示為 電感元件的s域電路模型 對兩邊分別求LT得a時域電路模型bs域串聯(lián)電路模型a時域電 路模型 電感元件的s域電路模型 對兩邊分別求LT得 電感元件的 時域伏安關系還可以表示為 cs域并聯(lián)電路模型54 常用函數(shù)的拉 普拉斯變換54常用函數(shù)的拉普拉斯變換 54 常用函數(shù)的拉普拉斯變換54常用函數(shù)的拉普拉斯變換 54 常用函數(shù)的拉普拉斯變換54 常用函數(shù)的拉普拉斯變換 下一節(jié)54 常用函數(shù)的拉普拉斯 變換§

8、55拉普拉斯反變換 在使用Laplace變換分析系統(tǒng)時最 后為求得系統(tǒng)的時域響應必須求拉普拉斯反變換即求原函數(shù)原函數(shù)的根本求法1查表并利用拉普拉斯變換的性質 2局部分式展開法3留數(shù)法局部分式展開式法海維塞展開法§ 55拉普拉斯反變換F s通常為s的有理分式一般形式為總的思路有理假分式有 理真分式最簡分式之和f t局部分式展開的方法同傳輸算子展開法將pis按D s 0 的根稱為F s的極點有無重根等分別討論如 下1 .當mn D s 0的根無重根情況可為實根虛根或復根有理分 式真分式F s可展開如下的局部分式§ 55拉普拉斯反變換 § 55拉普拉斯反變換 §

9、; 55拉普拉斯反變換傅里葉變換與拉普拉斯變換 復平面S上的每一對共軛對稱點或實軸上的每一點都唯一地對應于 一個確定的時間函數(shù)整個S平面 單個脈沖信號 單位階躍信號£t拉普拉斯變換的收斂域常用函數(shù)的拉普拉斯變換拉普拉斯反變 換1查表并利用拉普拉斯變換的性質 2局部分式展開法3留數(shù)法 當mn D s 0的根無重根情況 § 55拉普拉斯反變換 補充例題1 解利用因式分解有局部分式展開待定系數(shù)§ 55拉普拉斯反變換 § 55拉普拉斯反變換§ 55拉普拉斯反變換圍線積分法留數(shù)法拉氏反變換是一個復變函數(shù)的線積分當F s為真分式時由復變函數(shù)中的約當輔助定理

10、知此積分可轉化為求F s全部極點Sk留數(shù)ResSk的代數(shù)和1假如Sk為D s 0的單根即F s的單極點一階 極點如此2假如Sk為D s 0的p階重根即F s的r階極點如 此 當F s為假分式時長除法分解為多項式與有理真分式之和 多項式決定沖激函數(shù)與其導數(shù)項再對真分式求留數(shù)決定其它項留數(shù) 法在含重根時計算比局部分式法略為簡單些第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析找分量表示為各分量的疊加找原如此分解誤差最小簡便可以證明完備的正交函數(shù)集可 表示任何的復雜信號找到-信號如何分解如何將信號分解或表示 為該函數(shù)集中單元函數(shù)的組合付里葉級數(shù)三角付里葉級數(shù)指數(shù)付里 葉級數(shù)從信號分量組成情況討

11、論信號特性信號時域特性與頻域特性的關系周期信號頻譜非周期信號頻譜傅里葉變換對系統(tǒng)分析是 有用的對信號的分析和處理更為有用在系統(tǒng)分析中的最大優(yōu)點是將時域中的微分方程轉化成頻域的代數(shù)方程從而簡化了運算在信號分析和處理中其最大的優(yōu)點在于能解出信號能量在多個頻率上的分量 51引言 傅里葉變換法的不足它一般只能處理符合狄利希萊條件的信號 傅里葉反變換時復變函數(shù)的廣義積分難以計算本章引入的拉普拉斯變換分析法一方面可從數(shù)學中積分變換的觀點直接定義 另一方面從信號分析觀點可看成是傅里葉變換在復頻域中的推廣具有更為明確的物理意義傅里葉變換分解的根本單元信號為拉普拉斯變換分解的根本單元信號為由此可見拉普拉斯變換分

12、析法和傅里 葉變換分析法有許多類似之處事實上傅里葉變換可視為拉普拉斯變 換在c 0時的一種特殊情況2基于拉普拉斯變換的復頻域轉移函數(shù) 的零極點分析是系統(tǒng)綜合所依賴的根底之一拉普拉斯變換分析法是一個重要而有效的方法1運算簡捷且對系統(tǒng)微分方程進展變換時能夠自動記入初始條件本章內容概要 引言 拉普拉斯變換 拉普拉斯變換的收斂區(qū) 常用函 數(shù)的拉普拉斯變換 拉普拉斯反變換 拉普拉斯的根本性質 線性系統(tǒng) 的拉普拉斯變換分析法 學習本章要求掌握52 拉普拉斯變換定義52拉普拉斯變換定義稱為雙邊拉普拉斯變換或象函數(shù)稱為雙邊拉普拉斯變換的收斂域 ROC稱為雙邊拉普拉斯反變換或原函數(shù)注意s要在收斂域ROC中單邊拉

13、普拉斯變換F s稱為f t的拉普拉 斯變換f t 稱為F s的原函數(shù)§ 52拉普拉斯變換物理意義雙maxbook118域中的推廣 從數(shù)學形式上看 maxbook118w換成s的 結果 從物理概念上講FT將函數(shù)分解為許多形如ej 31或cos 3 t的 單元函數(shù)之和每一對正負3分量構成一等幅正弦振蕩振幅 為無窮小量 LT將函數(shù)分解為形如est或e t cos 3t指數(shù)分量 之和每一對正負3的指數(shù)分量構成一個變幅的正弦振蕩振幅 也為無窮小量s稱為復頻率F s稱為復頻譜§ 52拉普拉斯變換FT 中3構成角頻率軸LT中s構成復頻平面s上的一點對應的f t分量 如圖示 對應一隨時間按

14、指數(shù)規(guī)律變化的指數(shù)函數(shù)°0為單調增長指數(shù)。0為單調衰減指數(shù)。越大增長衰減速率越大1實軸上頻率點3 0est e ° t 2虛軸上頻率點° 0est ej 3 t兩個正負3值對應一 等幅正弦振蕩cos 3 ts離°軸越遠即3越大如此振蕩頻率越咼3復平面上點s ° j 3 est e ° tj 3 t ° 0s落在左半平面上 兩正負 3的est對應一減幅正弦振蕩s點離實軸越遠振蕩頻率越大離虛軸越 遠幅值減少越快即在左半平面est收斂在右半平面est發(fā)散§ 52 拉普拉斯變換 ° 0s落在右半平面上對應一增幅正

15、弦振蕩 s離°越 遠振蕩頻率越高離j 3軸越遠幅值增長速率越大由上可以看出復平面S上的每一對共軛對稱點或實軸上的每一點都唯一地對應于一 個確定的時間函數(shù)前面說過maxbook118域推廣反maxbook118 j 3即c 0時的特殊情況求FT反變換時廣義積分只能沿著虛軸求取而LT的如此可在收斂區(qū)內沿任何路徑求取通過c取定值如此積分沿與 j 3平行且相距c的直線進展用復變函數(shù)的留數(shù)定理得知ILT的求取比IFT的求取要簡單容易的多§ 52拉普拉斯變換因此在s平面上使絕對可積的區(qū)域稱為LT的絕對收斂域簡稱收斂域或稱為LT存在的充分條件一單邊拉普拉斯變換的收斂域從可以看出要使單邊拉普拉斯變換存在通常要求f t是指數(shù)階函數(shù)且具有分段連續(xù)的性質也就是存在一個常數(shù)c 0使得 在cc 0X圍內對于所有大于定值T的時間t有界且當t趨于乂時其 極限值為0即§ 53拉普拉斯變換的收斂域根據(jù)c 0的值可以將s平面分為兩個區(qū)域§ 53拉普拉斯變換的收斂域 通過c 0的垂直線是收斂區(qū)的邊界稱為收