正項級數(shù)的判別法

1、關于正項級數(shù)的判別法第一頁，共25頁幻燈片一、比較判別法一、比較判別法1.1.定義定義: :，中各項均有中各項均有如果級數(shù)如果級數(shù)01 nnnuu這種級數(shù)稱為正項級數(shù)這種級數(shù)稱為正項級數(shù). . nsss212.2.正項級數(shù)收斂的充要條件正項級數(shù)收斂的充要條件: :定理定理.有界有界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項級數(shù)收斂正項級數(shù)收斂ns部分和數(shù)列部分和數(shù)列 為單調增加數(shù)列為單調增加數(shù)列. .ns第二頁，共25頁幻燈片且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收收斂斂, ,則則 1nnu收收斂斂；反反之之，若若 1nnu發(fā)發(fā)散散，則則 1nnv發(fā)發(fā)散散. .證明證明nnuuus 2

2、1且且 1)1(nnv設設,nnvu , 即部分和數(shù)列有界即部分和數(shù)列有界.1收斂收斂 nnu均為正項級數(shù)，均為正項級數(shù)，和和設設 11nnnnvu3.3. 比較判別法比較判別法nvvv 21第三頁，共25頁幻燈片nns 則則)()2( nsn設設,nnvu 且且 不是有界數(shù)列不是有界數(shù)列.1發(fā)散發(fā)散 nnv推推論論: : 若若 1nnu收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) )且且)(nnnnvkuNnkuv , ,則則 1nnv收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散).).定理證畢定理證畢. .比較審斂法的不便比較審斂法的不便: :須有參考級數(shù)須有參考級數(shù). . 第四頁，共25頁幻燈片例例 1 1 討論討論 P-P-級

3、數(shù)級數(shù) ppppn14131211的收斂性的收斂性. .)0( p解解, 1 p設設,11nnp .級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散則則 P, 1 p設設oyx)1(1 pxyp1234由圖可知由圖可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211第五頁，共25頁幻燈片 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.級數(shù)收斂級數(shù)收斂則則 P 發(fā)散發(fā)散時時當當收斂收斂時時當當級數(shù)級數(shù),1,1ppP重要參考級數(shù)重要參考級數(shù): : 幾何級數(shù)幾何級數(shù), P-, P-級數(shù)級數(shù), , 調和級數(shù)調和級數(shù). .第六頁，共25頁幻燈片例例 2 2 證明級數(shù)證明級數(shù) 1)1(1

4、nnn是發(fā)散的是發(fā)散的.證明證明,11)1(1 nnn,111 nn發(fā)發(fā)散散而而級級數(shù)數(shù).)1(11 nnn發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù)第七頁，共25頁幻燈片4.4.比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式: :設1nnu與1nnv都是正項級數(shù), 如果則(1) 當時, 二級數(shù)有相同的斂散性; (2) 當時，若收斂, 則收斂; (3) 當時, 若1nnv發(fā)散, 則1nnu發(fā)散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu第八頁，共25頁幻燈片證明證明lvunnn lim)1(由由, 02 l 對于對于,N ,時時當當Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比較審斂法的推

5、論由比較審斂法的推論, , 得證得證. .第九頁，共25頁幻燈片設設 1nnu為為正正項項級級數(shù)數(shù), ,如如果果有有1 p, , 使使得得npnun lim存存在在, ,則則級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂. .第十頁，共25頁幻燈片例例 3 3 判定下列級數(shù)的斂散性判定下列級數(shù)的斂散性: :(1) 11sinnn ; (2) 131nnn ;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收斂收斂 nn故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂.第十一頁，共25頁幻燈片設設 1nnu是是正正項項級級數(shù)數(shù), ,如如

6、果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時時失失效效. .證明證明,為有限數(shù)時為有限數(shù)時當當 , 0 對對,N ,時時當當Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即二、比值判別法二、比值判別法第十二頁，共25頁幻燈片,1時時當當 ,1時時當當 ,1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收斂收斂而級數(shù)而級數(shù),11收斂收斂 NnummNuu收斂收斂, 1 取取, 1 r使使,時時當當Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu發(fā)散發(fā)散第十三頁，共25頁幻燈

7、片比值審斂法的優(yōu)點比值審斂法的優(yōu)點:不必找參考級數(shù)不必找參考級數(shù). . 兩點注意兩點注意:1 1. .當當1 時時比比值值審審斂斂法法失失效效; ;,11發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)例例 nn,112收斂收斂級數(shù)級數(shù) nn(1) 第十四頁，共25頁幻燈片,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收斂收斂級數(shù)級數(shù) nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不不存存在在nnnnnauu 2.2.條件是充分的條件是充分的, ,而非必要而非必要. .第十五頁，共25頁幻燈片例例 4 4 判判別別下下列列級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂性

8、性:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收斂收斂故級數(shù)故級數(shù) nn第十六頁，共25頁幻燈片),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1發(fā)發(fā)散散故故級級數(shù)數(shù) nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, 改用比較審斂法改用比較審斂法,12)12(12nnn ,112收斂收斂級數(shù)級數(shù) nn.)12(211收收斂斂故故級級數(shù)數(shù) nnn第十七頁，共25頁幻燈片設設 1nnu是正項級數(shù)是正項級數(shù),

9、 ,如果如果 nnnulim)( 為數(shù)或為數(shù)或 , ,則則1 時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;,1 ,1 nnn設設級級數(shù)數(shù)例例如如nnnnnu1 n1 )(0 n級數(shù)收斂級數(shù)收斂.1 時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時時失失效效. .三、根值判別法三、根值判別法第十八頁，共25頁幻燈片 小小 結結 正正 項項 級級 數(shù)數(shù) 審斂法1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法3.按基本性質按基本性質; ;,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂若若SSn;, 0,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散當當 nun第十九頁，共25頁幻燈片思考題思考題 設設正正項項級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, , 能能否否推

10、推得得 12nnu收收斂斂? ?反反之之是是否否成成立立? ?第二十頁，共25頁幻燈片思考題解答思考題解答由由正正項項級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂，可可以以推推得得 12nnu收收斂斂,nnnuu2lim nnu lim0 由比較審斂法知由比較審斂法知 收斂收斂. 12nnu反之不成立反之不成立. .例如：例如： 121nn收斂收斂, 11nn發(fā)散發(fā)散. .第二十一頁，共25頁幻燈片一、一、 填空題填空題: :1 1、 p級數(shù)當級數(shù)當_時收斂時收斂, ,當當_時發(fā)散；時發(fā)散；2 2、若正項級數(shù)、若正項級數(shù) 1nnu的后項與前項之比值的根的后項與前項之比值的根 等等于于, , 則當則當_時級數(shù)收斂；時級數(shù)收斂；_時級數(shù)發(fā)散；時級數(shù)發(fā)散； _時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 . .二、二、 用比較審斂法或極限審斂法判別下列級數(shù)的收斂用比較審斂法或極限審斂法判別下列級數(shù)的收斂性性: : 1 1、 22211313121211nn； 2 2、)0(111 aann . .練練 習習 題題第二十二頁，共25頁幻燈片三、三、 用比值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性用比值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性: : 1 1、 nnn 232332232133322；2 2、 1!2nnnnn. .四、四、 用根值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性用根值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性: