空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計

1、空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計鎮(zhèn)海區(qū)龍賽中學(xué) 盛華一、 教材分析本課時是普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-1中第三章空間向量與立體幾何：第一節(jié)“空間向量及其運算”的第四課時。學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)完了必修4中的第二章：平面向量，必修2中的第一章：空間幾何體和第二章：點、直線、平面之間的位置關(guān)系，以及第四章第四節(jié)：空間直角坐標(biāo)系空間向量是平面向量的推廣，是二維概念到三維概念的延伸，是聯(lián)系代數(shù)、幾何、三角的重要載體。本節(jié)課通過類比平面向量基本定理，給出空間向量基本定理在此基礎(chǔ)之上，通過空間向量的單位正交分解，完成從單位正交分解到空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，為用空間向量解決立體幾何問題做好重要的鋪墊

2、有了空間向量基本定理，空間結(jié)構(gòu)變得簡單明了，整個空間被三個不共面的向量所確定，空間中的一個點或者一個向量與一組有序?qū)崝?shù)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系。通過不斷與平面向量進行類比來學(xué)習(xí)空間向量，把三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題，充分體現(xiàn)了類比思想和化歸思想在研究問題過程中的重要作用。二、 學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)理解平面向量相關(guān)知識，初步學(xué)習(xí)了空間向量在表示方法、加減運算、數(shù)乘運算、數(shù)量積運算等內(nèi)容。在將平面向量推廣到空間向量時，學(xué)生會感受到維度增加所帶來的復(fù)雜性。他們雖然理解了平面向量基本定理，也具備一定的分析和解決問題的能力，但可能缺乏冷靜、深刻的思考，思維具有片面性、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c，對問題解決的一般性思維過程認(rèn)識比較

3、模糊。三、 教學(xué)目標(biāo)1、 知識與技能：理解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示， 會在簡單問題中選用空間三個不共面的向量作為基底表示其他向量。2、 過程與方法：通過類比、歸納、推廣等思想方法，啟動觀察、分析、抽象概括等思維活 動，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，體會類比與化歸的數(shù)學(xué)思想，加深對向量的理解。3、 情感、態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，養(yǎng)成積極主動思考，勇于探索，不斷拓展創(chuàng)新的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)。四、 教學(xué)策略教學(xué)重點：理解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。教學(xué)難點：如何將平面向量基本定理合理推廣到空間向量基本定理，并理解其意義。教學(xué)方法：啟發(fā)誘

4、導(dǎo)，問題引導(dǎo)，類比探究，師生共同歸納推廣。五、 教學(xué)過程（一） 復(fù)習(xí)引入：通過例題引入課題：空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。師生活動：展示例題在平行六面體中， 是的中點，是的中點，求 ?能用怎樣的三個向量來表示呢？設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)空間向量的表示方法與空間向量的加減與數(shù)乘運算，引出空間向量可以用三個向量來表示，通過設(shè)問，讓學(xué)生思考怎樣的“三個向量”可以來表示空間中的任意向量？引出課題：空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。（二）、復(fù)習(xí)鞏固：復(fù)習(xí)向量的共線定理，平面向量基本定理，通過幾何畫板讓學(xué)生理解平面向量基本定理的本質(zhì)，強調(diào)怎樣的兩個向量可以作為基底。師生活動：平面向量可以用怎么樣的兩個向量表示？如果

5、是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，使。如果共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使。因為是唯一的，所以在平面向量基本定理中的也是唯一的。設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)向量的共線定理與平面向量基本定理，使學(xué)生初步體會類比的數(shù)學(xué)思想方法，能比較自然的引向空間向量基本定理。（三）、類比得出結(jié)論師生活動：如果是空間中兩兩垂直的向量，那么對于空間中的任意向量，存在一個有序?qū)崝?shù)組，使得，我們稱為向量在的分向量。教師給出思考，學(xué)生回答，啟發(fā)：我們可以找到先畫一個空間直角坐標(biāo)系，把放在以為起點的坐標(biāo)軸上，把的起點移到坐標(biāo)原點，通過作圖計算。設(shè)計意圖：通過作圖嘗試，使學(xué)生直觀的體會，并

6、能用最熟悉的空間直角坐標(biāo)系處理，為一般情況的提出做好鋪墊。（四）、總結(jié)升華，得出空間向量基本定理師生活動：在空間中，如果用三個向量能代替三個兩兩垂直的呢？能得出類似的結(jié)論嗎？對這個三個向量有什么要求？讓學(xué)生回顧前面的引題，得出“三個向量不共面”的結(jié)論，通過展示幾何畫板課件，讓學(xué)生形象直觀體會，師生共同補充完整空間向量基本定理。通過對基底的特殊化處理，引入單位兩兩垂直的單位向量，得出向量的坐標(biāo)表示。設(shè)計意圖：從兩兩垂直的特殊的基底入手，過渡到一般的基底，讓學(xué)生體會從特殊到一般，從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法，通過類比平面向量基本定理，得出空間向量基本定理與空間向量的坐標(biāo)，使學(xué)生體會到類比的數(shù)學(xué)思想方

7、法。（五）、探究提煉，深入理解師生活動：比較空間向量基本定理與平面向量基本定理，并說說它們的區(qū)別與聯(lián)系。主要區(qū)別是（1）需要三個不共面向量作為基底，（2）表示的形式不同。主要聯(lián)系是（1）空間向量基本定理可以看成是平面向量基本定理在空間中的推廣，平面向量基本定理是空間向量基本定理的特殊情況（2）解決空間向量的問題可轉(zhuǎn)化為平面向量問題。設(shè)計意圖：進一步理解空間向量基本定理與平面向量基本定理的實質(zhì)。（六）定理鞏固QBOACPNM師生活動：展示例題例4：已知空間四邊形，其對角線為，分別是對邊的中點，點是線段三等分點，用向量，表示向量,.設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生獨立思考解決問題，初步體會定理的應(yīng)用，感受成功的喜悅，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。（七）應(yīng)用現(xiàn)實師生活動：展示圖片抗日戰(zhàn)爭暨反法西斯戰(zhàn)爭勝利70周年，直升機編隊以70的字樣，通過天安門廣場接受檢閱。思考直升機是如何做到的？再度聯(lián)想，天上的飛機每天在繁忙的飛行，它們是如何做到的？設(shè)計意圖：進一步加強對定理的理解，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，增加學(xué)生的應(yīng)用意識，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。（八）拓展發(fā)散師生活動：展示從0維4維的圖片與“莫比烏斯環(huán)”、“克萊因瓶”四維圖片，讓學(xué)生感受現(xiàn)實世界的奇妙。設(shè)計意圖：開拓視野，激發(fā)學(xué)生對知識系統(tǒng)學(xué)習(xí)的熱情，激發(fā)他們的求知欲。（九）課堂小結(jié)