課件教程信號第3章

1、第3章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析ss-chap3-201812018/6/83.1 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其分類3.2 系統(tǒng)的性質(zhì)3.3 線性時不變系統(tǒng)的微分方程表示及其經(jīng)典求解3.4 零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)3.5 沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)3.6 線性時不變系統(tǒng)的卷積分析3.7 用對連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析第3章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解具有線性時不變性（LTI）的連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型- 線性常系數(shù)非齊次微分方程及其求解（a）響應(yīng)與強迫響應(yīng)（齊次解與特解）（b）起始條件與初始條件2. 熟練應(yīng)用沖激響應(yīng)h(t)分析LTI連續(xù)時間系統(tǒng)（a）h(t)與LTI連續(xù)系統(tǒng)的因果性；（b）h(t)與LTI連續(xù)

2、系統(tǒng)的性；（c）h(t)與LTI連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)（d）級聯(lián)、并聯(lián)LTI系統(tǒng)的分析ss-chap3-201822018/6/83.1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其分類1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是系統(tǒng)基本特性的數(shù)學(xué)抽象，它是以數(shù)學(xué)表表征系統(tǒng)的特性的。dvC (t)d2v (t)dv (t)i(t) = CLCC+ RCC+ vC (t) = x(t)dt2dtdt微分方程一階微分方程ss-chap3-201832018/6/83.1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其分類RR+Li(t) vL(t)i(t) Lv (t)Lr-v (t) = L di(t) + ri(t)(t) = L diL (t) = L d

3、i(t)vLLdtdtdt對于同一式的數(shù)學(xué)模型。，在不同條件之下，可以得到不同形ss-chap3-201842018/6/83.1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其分類v(t)F(t) = L di(t)F = ma = m dv(t)vLdtdtvL (t)mLFv(t)i(t)對于不同的，可能有相同形式的數(shù)學(xué)模型。ss-chap3-201852018/6/8m3.1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其分類該系統(tǒng)可建立如下兩種數(shù)學(xué)模型：LC+x(t)-Ri(t)（1）-輸入輸出方程（一個微分方程）-狀態(tài)方程（兩個一階微分方程組）（2）對于同一，而且在相同的工作條件之下，數(shù)學(xué)模型也不唯一。ss-chap3-201862018/

4、6/83.1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其分類例：的儲蓄與業(yè)務(wù)描述：以購房業(yè)務(wù)為例：每月等額均還方式的每月還款額總額為P，時間N月利率為I，計算每設(shè)，月的還款額R。設(shè)第n-1末欠款額為yn-1，第n末欠款額為yn，則它們之間的為yn = yn-1 - R + I yn-1ss-chap3-201872018/6/83.1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其分類2系統(tǒng)的分類(按數(shù)學(xué)模型的差異)1）連續(xù)時間系統(tǒng)微分方程離散時間系統(tǒng)差分方程2） 線性系統(tǒng)線性微分方程非線性系統(tǒng)非線性微分方程3） 時變系統(tǒng)變系數(shù)微分方程時不變系統(tǒng)常系數(shù)微分方程線性時不變系統(tǒng)；線性時變系統(tǒng)；非線性時不變系統(tǒng)；非線性時變系統(tǒng)4）集總參分布參-常微分方程

5、-偏微分方程5）因果系統(tǒng)-非因果系統(tǒng)-6）不系統(tǒng)-系統(tǒng)-ss-chap3-201882018/6/83.1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其分類本課程 研究的是：線性、時不變、集總參數(shù)的連續(xù)時間系統(tǒng)-常系數(shù)線性微分方程線性元件線性、時不變的離散時間系統(tǒng)-常系數(shù)線性差分方程ss-chap3-201892018/6/83.2系統(tǒng)的性質(zhì)1. 線性特性疊加性（superposition property）與均勻性（homogeneity）x1 (t) ® y1 (t), x2 (t) ® y2 (t)(1) 疊加性若：則：x1 (t) + x2 (t) ® y1 (t) + y2 (t)

6、ss-chap3-2018102018/6/83.2系統(tǒng)的性質(zhì)(2) 均勻性(齊次性)若： x(t) ® y(t)則： kx(t) ® ky(t)將疊加性與均勻性結(jié)合起來，有x1(t) ® y1(t),x2 (t) ® y2 (t)若：則： k1 x1 (t) + k2 x2 (t) ® k1 y1 (t) + k2 y2 (t)ss-chap3-2018112018/6/83.2系統(tǒng)的性質(zhì)若： x(t) ® y(t)則： x(t - t0 ) ® y(t - t0 )y(t)2. 時不變特性x(t)EEttTx(t-t0)

7、y(t-t0)EEtt0T+t0tt0ss-chap3-2018122018/6/83.2系統(tǒng)的性質(zhì)例3.2-1下列系統(tǒng)是線性的還是非線性的，是時不變的還是時變的。(1) y(t) = x(-t)tòt )dty(t) =(2)x(-¥x1 (t) 與解: (1)設(shè)兩輸入信號分別為y1 (t) = Tx1 (t) = x1 (-t)x2 (t)，輸出信號分別為y2 (t) = Tx2 (t) = x2 (-t)a) 設(shè) x3 (t) = x1 (t) + x2 (t)，則 y3 (t) = Tx3 (t) = x3 (-t) = x1 (-t) + x2 (-t) = y1

8、 (t) + y2 (t)b)設(shè) x4 (t) = Ax1(t),則 y4 (t) = Tx4 (t) = x4 (-t) = Ax1 (-t) = A y1 (t)所以該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。ss-chap3-2018132018/6/83.2系統(tǒng)的性質(zhì)c) 設(shè)x5 (t) = x1(t - t0 )則 y5 (t) = Tx5 (t) = x5 (-t) = x1 (-t - t0 )y1 (t - t0 ) = x1 (-(t - t0 ) = x1 (-t + t0 ) ¹ y5 (t)而所以該系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。因此，綜合上述兩點，該系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。（2）按題意有ttò

9、òt )dt ,t ) dty (t) = Tx(t) =y (t) = Tx(t) =x (x(111222-¥ -¥ a) 設(shè) x3 (t) = x1 (t) + x2 (t)，t2 (t )dt則 y3 (t) = Tx3 (t) =-¥ = y1 (t) + y2 (t)ss-chap3-2018142018/6/83.2系統(tǒng)的性質(zhì)b)設(shè) x4 (t) = Ax1(t),t-¥ t-¥ òt )dtòt )dt =則 y (t) = Tx (t) = Ax (x (Ay (t)44411所以該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)

10、。c) 設(shè)x5 (t) = x1(t - t0 )t-¥ t-¥ òt )dtòt - t )dt則 y (t) = Tx (t) =x(x (55510t -t0t - t= mò-¥ x (m)dm = y (t - t ) 0110所以該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。因此，綜合上述兩點，該系統(tǒng)為線性時不變系統(tǒng)。ss-chap3-2018152018/6/83.2系統(tǒng)的性質(zhì)3. 微分與特性設(shè)系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零，若： x(t) ® y(t)由于lim y(t) - y(t - Dt) = dy(t)x(t) - x(t - Dt)Dt

11、dx(t)dt=limDt ®0DtdtDt ®0則：dx(t) ® dy(t) ,ttòòt )dt ®y(t )dtx(dtdtx(t)-¥-¥y(t)dy(t)dx(t)ttòy(t )dtòt )dtx(dtdt-¥-¥ss-chap3-2018162018/6/83.2系統(tǒng)的性質(zhì)4. 因果性如果 t < t0的激勵信號等于零，系統(tǒng)的響應(yīng)信號在t < t0也等于零，這樣的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。激勵是產(chǎn)生響應(yīng)的，響應(yīng)是激勵引起的后果。因果信號：將 t ³

12、; 0時接入系統(tǒng)的信號（即在 t < 0為零的信號） 稱為因果信號。5.性如果系統(tǒng)的激勵信號是有限幅度大小的信號（有界信號），系統(tǒng)的響應(yīng)信號也是有界信號，這樣的系統(tǒng)稱為又稱BIBO系統(tǒng)，這種。ss-chap3-2018172018/6/83.2 系統(tǒng)的性質(zhì)例3.2-2下列系統(tǒng)是否是因果系統(tǒng)，是否是t系統(tǒng)òt )dt(1) y(t) = x(-t)y(t) =(2)x(-¥解: (1)明顯地y(-1) = y(t) |t =-1 = Tx(t) = x(-t) |t =-1 = x(1)所以該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。因為：| y(t) |=| Tx(t) |=| x(-t)|

13、 所以該系統(tǒng)是系統(tǒng)。(2) 由于輸出y(t)在t=t0時的值只依賴于輸入信號x(t)在t £ t0時的值。如果x(t) = u(t)，則t所以該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。t-¥t )dtu(t )dt = tu(t) ¾t¾®¥¾®所以該系統(tǒng)是不òòy(t) =¥x(-¥系統(tǒng)。ss-chap3-2018182018/6/83.3線性時不變系統(tǒng)的微分方程表示及其經(jīng)典求解3.3.1 線性時不變系統(tǒng)分析概述Ø 輸入、輸出分析法：著眼于系統(tǒng)的輸出和輸入數(shù)學(xué)模型：一個n 階微（差）分方

14、程，；特點：適合于單輸入、單輸；不適用于從內(nèi)部去觀察系統(tǒng)的各種。Ø 狀態(tài)變量分析法： 不僅得到系統(tǒng)的輸出信號，還獲得系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的信息（多用于系統(tǒng)）；數(shù)學(xué)模型： 狀態(tài)方程（n個一階微（差）分方程組）和輸出方程（一組代數(shù)方程）；特點：適合于多輸入、多輸；可以推廣到非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)。ss-chap3-2018192018/6/8輸入輸出方程和狀態(tài)方程系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的表述3.3.1 線性時不變系統(tǒng)分析概述Ø 時域分析法：直接分析時間變量的函數(shù)，不經(jīng)過任何變換，在時域中直接求解方程獲得響應(yīng)；特點：比較復(fù)雜（尤其是）Ø 變換域分析法：將信號和系統(tǒng)模型的時間函數(shù)變換成某變換

15、域的函數(shù)，如連續(xù)信號和連續(xù)時作葉變換、拉斯變換、而離散信號和離散時間系統(tǒng)則做z變換等特點：簡單方便（微分、差分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程； 卷積計算化為乘法計算）ss-chap3-2018202018/6/8時域分析法和變換域分析法3.3.2線性時不變系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立對于較復(fù)雜的連續(xù)時間系統(tǒng)，只要依據(jù)電個約束特性，就可列出微分方程。的以下兩（1）元件特性約束：即表征元件特性的式，如電容、電感、電阻各自電壓與電流的；LRiR (t )iC (t)CiL (t)+v (t)v (t)v (t)RCL(t) = L diL (t)1CtòvvR (t) = RiR (t)t )dt(t) =vi(

16、LdtCC-¥（2）如拓?fù)浼s束：由結(jié)構(gòu)決定的電壓、電流約束，電壓定律（KVL）和電流定律（KCL）等。ss-chap3-2018212018/6/83.3.2線性時不變系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立例3.3-2：如下圖所示互感耦合電路，x(t)為電壓源激勵信號， 試列寫求電流i2(t)的微分方程式。MR·+x(t)-LRi1(t)解 ：對于初、次級回路分別應(yīng)用KVL，可以得到一對微分方程式L di1 (t) + Ri (t) - M di2 (t) = x(t)1dtdt(t) - M di1 (t) = 0L di2 (t) + Ri2dtdtss-chap3-2018222018/

17、6/8·Li2(t)3.3.2線性時不變系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立L di1 (t) + Ri (t) - M di2 (t) = x(t)(1)1dtdt(t) - M di1 (t) = 0L di2 (t) + Ri(2)2dtdtd2i (t)d2i (t)di (t)dx(t)對式（1）兩邊求導(dǎo)得： L1+ R 1- M= 2dt 2(3)dt 2dtdi2 (t) +dtdi1 (t) =LR i(t)由式（2）得：(4)2dtMdtMd2i (t)d2i (t)LRdi (t)= 2+1 2dt對式（4）兩邊求導(dǎo)得：(5)dt 2dt 2MM將式（4）、（5）代入式（3）并整理

18、得：ss-chap3-2018232018/6/83.3.2線性時不變系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立將其推廣到一般情況，對于一個線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)，其與響應(yīng)信號 y(t) 之間的，可以用下列形式的激勵信號x(t)微分方程式來描述dn-1 y(t)dtn-1dn y(t)dy(t)+ an-1+L + a1+ a0 y(t) =andtndtdm-1x(t)dm x(t)dx(t)(3.3-1)+ bm-1+L + b1+ b0 x(t)bmdtm-1dtmdt式中，系數(shù)ai , bj 均為式(3.3-1)為一個常系數(shù)n階線性常微分方程。ss-chap3-2018242018/6/83.3.3微分方程的

19、經(jīng)典求解可知，式(3.3-1)的微分根據(jù)常系數(shù)線性微分方程的求解齊次解（homogeneous solution） yh (t)和特解方程的(particular solution) yp (t)兩部分組成。即y(t) = yh (t) + yp (t)齊次解應(yīng)滿足(3.3-2)dn-1 y(t)dtn-1dn y(t)dy(t)+ an-1+ . + a1+ a0 y(t) = 0andtndt特征方程為a aa+ . + a a + an-+ a= 0n1n-1n10ss-chap3-2018252018/6/83.3.3微分方程的經(jīng)典求解（1）特征根為單根，微分方程的齊次y (t) =

20、A ea1t + A ea2t + . + A eanth12nA1, A2 ,L , An這里是由初始條件決定的系數(shù)。a ± jb 時，則所對應(yīng)的齊次（2）特征根為共軛復(fù)數(shù)A e(a + jb )t+ A e(a - jb )t，且可以化eat Acos b t + B sin b t12（3）特征根有重根，假設(shè)a1 是特征方程的k重根，那么，在齊次解中，相應(yīng)于a1 的部分將有K項( Atk-1 + A tk-2 + . + At + A )ea1tk -112kss-chap3-2018262018/6/83.3.3微分方程的經(jīng)典求解例3.3-4 ： 求下列微分方程的齊次解。d3

21、 y(t) +d2 y(t) +dy(t) +=71612 y(t)x(t)dt3dt 2dt解：特征方程為a 3+ 7a 2 +16a +12 = 0(a + 2)2 (a + 3) = 0特征根a1 = a2齊次解a3 = -3= -2 （重根）y (t) = Ate-2t+ A e-2t + A e-3th123ss-chap3-2018272018/6/83.3.3微分方程的經(jīng)典求解由此可見，齊次解的形式僅取決于特征方程根的性質(zhì)，而與激勵信號無關(guān)，所以齊次解有時稱為固有解（naturalresponse ）（或稱響應(yīng)）。當(dāng)然齊次解的系數(shù)A1 , A2 ,L , An與激勵信號有關(guān)。微分

22、方程的特解是由輸入信號產(chǎn)生的，所以也叫做強迫響應(yīng)（forced response）。特解的形式與激勵信號的形式有關(guān)。將激勵信號代入微分方程式的右端，代入后右端的函數(shù)式稱項。通常，由觀項試選特解函數(shù)式，代入原方程后求得特解函數(shù)式中的待定系數(shù)，即可求出特解。ss-chap3-2018282018/6/83.3.3微分方程的經(jīng)典求解幾種典型激勵信號對應(yīng)的特解函數(shù)形式項特解B (E (t peatcos W0)t p-1B t p + B+ . + B t + Bp-1p10BeatB1 cos W0t + B2 sin W0ttsin W0t注：激勵信號得到（與激勵信號表相同），特解（強迫響應(yīng)）的表

23、與項相同，故也與激勵信號表相同；但響應(yīng)與激勵信號完全不同。ss-chap3-2018292018/6/83.3.3微分方程的經(jīng)典求解d2 y(t) +例3-A ：求解微分方程dy(t) += dx(t) +44 y(t)2x(t)dt 2dtdt其中：x(t) = tu(t), y(0)=1, y¢(0)=-1a 2+ 4a + 4 = 0解： 特征方程為特征根a1 = a2 = -2y (t) = Ate-2t+ A e-2t齊次解項，即h12dx(t) + 2x(t) = dtu(t) + 2tu(t) = (2t +1)u(t)dtyp (t) = B1t + B2 ,dtt

24、> 0特解將特解代入微分方程 y¢p¢ (t) + 4 y¢p (t) + 4 yp (t) = 2t +1,t > 04B1 + 4B1t + 4B2 = 2t +1 Þ B1 = 1/ 2, B2 = -1/ 4即ss-chap3-2018302018/6/83.3.3微分方程的經(jīng)典求解d2 y(t) +例3-A ：求解微分方程dy(t) += dx(t) +44 y(t)2x(t)dt 2dtdt其中：x(t) = tu(t), y(0)=1, y¢(0)=-1t- 1 ,解：特解y (t) =t > 0p24+ t2-

25、 1 ,4(t) = Ate-2t+ A e-2ty(t) = y (t) + yt > 0完全解hp12y(0) = A - 1 = 1,利用初始條件24y(0) = A - 2 A + 1 = -1,122A = 5 ,A = 1解得214+ 5 e-2t4+ t2- 1 )u(t) 4y(t) = (te-2t完全解ss-chap3-2018312018/6/83.3.3微分方程的經(jīng)典求解例3.3-6：如下圖所示電路，已知激勵信號x(t)=cos2tu(t),兩個電容上的初始電壓均為零，求輸出信號v2(t)的表。R1R2®1 ®®2+¯C1&

26、#175;C21W1W+-v1(t) +x(t)v2(t)1 F3-0.5F-解:（1）列寫微分方程式為x(t) - v (t)dv1 (t) + v1 (t) - v2 (t)ì= C11節(jié)點：1Rdtdv2 (t)Rï12í節(jié)點2： ï v1 (t) - v2 (t) = Cïî2Rdt2ss-chap3-2018322018/6/83.3.3微分方程的經(jīng)典求解d2v (t)dv (t) 2+ 72+ 6v2 (t) = 6 cos 2t u(t)dt 2dta 2+ 7a + 6 = 0（2）為求齊次解，寫出特征方程a1 = -

27、1,a2 = -6特征根y (t) = A e-t+ A e-6t齊次解h12（3）查表，得特yp (t) = B1 sin 2t + B2 cos 2t,代入微分方程得t > 0y¢p¢ (t) + 7 y¢p (t) + 6 yp (t) = (2B1 -14B2 ) sin 2t + (14B1 + 2B2 ) cos 2t = 6 cos 2t比較上述方程兩邊系數(shù)，并求解得21 ,3B =B=125050ss-chap3-2018332018/6/83.3.3 微分方程的經(jīng)典求解（4）完全+ 21 sin 2t +3(t) = A e-t+ A e-

28、6tv (t) = y (t) + yt > 0（1）cos 2t,2hp125050R2R1+1W1W+-v1(t) +C1+C21 F3x(t)v2(t)-0.5F-由于已知電容C2上的初始電壓為零，因而有v2(0) = 0,又因為電容C1上的初始電壓也為零，于是流過R2，C2中的初始電流也為零，即 v2¢ (0) = 0 。A1 = -6 / 25,A2 = 9 / 5069+ 21 sin 2t +3v (t) = (-e-t+e-6tcos 2t)u(t)225505050ss-chap3-2018342018/6/83.3.4初始條件的確定為求系數(shù)A，我們利用了n個

29、條件。實際上，由于t = 0 時刻加入了激勵，在激勵的作用下，輸出y(t)及其各階導(dǎo)數(shù) 在t = 0時刻可能發(fā)生跳變而出現(xiàn)不連續(xù)。1. 起始狀態(tài)與初始狀態(tài)y(k ) (0- )y(k ) (0+ )起始狀態(tài)：在激勵接入之前的瞬的狀態(tài)初始狀態(tài)：在激勵接入之后的瞬的狀態(tài)由于用經(jīng)典法求解微分方程時，是考慮了激勵作用以后的解，時間范圍是 0+ t <¥ y(k ) (0+ )來確定系數(shù)A，所以要利用y(k ) (0- )而不能直接利用ss-chap3-2018352018/6/83.3.4初始條件的確定2. 初始條件的確定可以利用系統(tǒng)內(nèi)部儲能的連續(xù)性，這時有i (0+ ) = i (0

30、- )v (0+ ) = v(0- )LLCCvC(0-)和iL(0-)值，然后由儲能的連續(xù)性寫出首先vC(0+)和iL(0+)，再根據(jù)元件約束特性與拓?fù)浼s束即可求得0+時刻其他電壓、電流值。對于稍復(fù)雜的情況，跳變值往往不易直接求得，這時，可借助微分方程式兩端各奇異。(沖激函數(shù)平衡法)函數(shù)系數(shù)平衡的作出ss-chap3-2018362018/6/83.3.4初始條件的確定例3.3-7：如圖的電路中，若激勵為系統(tǒng)起始無儲能，試求i2(t)。階躍信號，x(t) = u(t)，MR·+-LRx(t)i1(t)（1）由例4.3-2的微分方程式，將x(t) = u(t)代入，得d2i (t)d

31、i (t)du(t)= M d (t)(L2 - M+ 2RL2+ R2i (t) = M2 )22dt 2dtdt（2）求初始條件i (0- ) = 0,i' (0- ) = 0由題意知22ss-chap3-2018372018/6/8·Li2(t)3.3.4 初始條件的確定d2i (t)di (t)du(t)= M d (t)(L2 - M+ 2RL2dt+ R2i (t) = M2 )22dt 2dt包含d2i (t)Md (t)(L - M22)2dt 2包含di2 (t)Mu(t)- MML22dt(t)包含itu(t)2- ML22i (0+ ) = 0ì

32、;+-i2 (0 ) - i2 (0 ) = 02ïíiMM' (0+ ) - i ' (0- ) =i ' (0+ ) =ïî22- ML222- M 2L2ss-chap3-2018382018/6/83.3.4初始條件的確定（3）求齊次解，寫出特征方程d2i (t)di (t)du(t)= M d (t)(L2 - M+ 2RL2+ R2i (t) = M2 )22dt 2dtdt(L2 - M 2 )a 2 + 2RLa + R2= 0RRaa求得兩特征根為：= -= -,12L + ML - Mi(t) = A ea1t

33、 + A ea2t2h12（4）求特解yp(t)由于在 t > 0以后，微分方程右端為零，顯然，其特解就是零。（5）求全響應(yīng)i2(t)i (t) = i(t) = A ea1t + A ea2t22h12ss-chap3-2018392018/6/83.3.4 初始條件的確定Mi (0+ ) = 0,i' (0+ ) =求系數(shù)A 、A利用初始條件2212- M 2L2i (t) = i(t) = A ea1t + A ea2t22h120 = A1 + A2ìïMí= a A + aAïî L2 - M1122211A =A =

34、-,解之得：122R2R所以1(ea1t- ea2t )u(t)i (t) =22Rss-chap3-2018402018/6/83.3.4初始條件的確定dy2 (t) +d2 x(t)dy(t)dx(t)+ 2 y(t) =+ 4例3.3-8 已知微分方程為3dt 2dt 2dtdty(t)x(t) = u(t),y(0- ) = 2,y' (0- ) = 3求y (t) = A e-2t + A e-t解：齊次解h12dd (t)dy2 (t) +dy(t)+ 4d (t)+ 2 y(t) =3dt 2dtdtyp (t) = 0,t > 0（因為方程右端等于0）特解 y(t

35、) = y (t) = A e-2t + A e-tt > 0h12ss-chap3-2018412018/6/83.3.4初始條件的確定dy2 (t) +dy(t)3+ 2 y(t) = d ¢解：d (t)(t) + 4dt 2包含dtd ¢(t)d2 y(t)+d (t)dt 2dy(t)3 dy(t)包含包含d (t) +u(t)3d (t) +3u(t)dtdty(t)包含包含u(t)2u(t)= 32 y(t)ìï y' (0+ ) - y' (0- ) = 1ì亦即íîÞy(0+

36、 ) = A + A所以í12+-ïî y(0 ) - y(0 ) = 1¢y (0 ) = -+2 A - A = 412A = -7ìy' (0+ ) = y' (0- ) +1 = 4y(0+ ) = y(0- ) +1 = 3即1í= 10î A2 y(t) = (-7e-2t +10e-t )u(t)ss-chap3-2018422018/6/83.4零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)1零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)經(jīng)典法求解系統(tǒng)的完全響應(yīng)可分為：完全響應(yīng)=響應(yīng)+強迫響應(yīng)y(t) = yh (t) + yp (t)系統(tǒng)

37、的完全響應(yīng)也可分為：完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)y(t) = yzi (t) + yzs (t)ss-chap3-2018432018/6/83.4零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)yzi (t)：當(dāng)激勵信號 x(t) = 0時，由起始狀零輸入響應(yīng)態(tài)y(k ) (0- )所產(chǎn)生的響應(yīng)。由于激勵信號x(t) = 0，所以系統(tǒng)的起始時刻產(chǎn)生y(k) (0+ ) = y(k) (0- )跳變。所以ny (t) = å Aeakt零輸入響應(yīng)應(yīng)的形式，即zizikk =1其中系數(shù)A由起始條件 y(k ) (0- )來確定。zikss-chap3-2018442018/6/83.4零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)

38、零狀態(tài)響應(yīng) yzs (t) ：當(dāng)起始狀態(tài)y(k) (0- ) = 0 時，由激勵信號x(t) 所產(chǎn)生的響應(yīng)。n(t) = å Aeakt+ y零狀態(tài)響應(yīng)的形式為：y(t)zszskpk =1由跳變量y(k) (0+ ) = y(k) (0+ ) - y(k) (0- )其中系數(shù)A來確定。zszsky(k) (t)y(k ) (0+ )y(k ) (0- )(k ) (0- )：確定全響應(yīng)的系數(shù)：確定零輸入響應(yīng)的系數(shù)y(k ) (0+ )：確定零狀態(tài)響應(yīng)的系數(shù)zst0+ss-chap3-2018452018/6/8y(k ) (0+ )y(k ) (0- )y(k) (0+ ) = y

39、(k) (0+ ) - yzs0-3.4 零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)nny(t) = å A+ å Aeakteakt+ y(3.4 - 3)(t)zikzskp1k =412431k =144424443零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)n= å（A+ A)eakt +(3.4 - 4)y(t)pzikzsk1k =144424443響應(yīng)強迫響應(yīng)例3.4-1 已知系統(tǒng)的微分方程為dy(t) + 3y(t) = 3u(t)dty(0- ) = 3且，應(yīng)、強迫響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零2狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。ss-chap3-2018462018/6/83.4零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)：起始條件，

40、確定零輸入響應(yīng)的系數(shù)，y(0- ) = 3y(0- )解：2y(0+ ) ：初始條件，確定全響應(yīng)的系數(shù)，y(0+ ) = y(0- ) = 32+yzs (0 )：跳變量，確定零狀態(tài)響應(yīng)的系數(shù),1）求全響應(yīng)y(t)+yzs (0 ) = 0-3t特征根為 a = -3，所以 ， yh (t) = Aeyp (t) = 1而y(t) = Ae-3t +1這樣，全響應(yīng)為由初始條件 y(0+ ) = 3 / 2可求出系數(shù) A= 1/ 2 ，所以y(t) = 1 e-3t +1 2(t ³ 0)y (t) = 1 e-3t ,(t) = 1 (t ³ 0)yhp2ss-chap3-

41、2018472018/6/83.4零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)y (t) = A e-3t2）求零輸入響應(yīng)y (t)ziziziy(0- ) = 33=可求出系數(shù)A，所以由起始條件22ziy (t) = 3 e-3t(t ³ 0)zi23）求零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)y (t) = y(t) - y (t) = 1 e-3t+1- 3 e-3t2= -e-3t+1(t ³ 0)zszi2+1e-3ty (t) = A或：zszs+yzs (0 ) = 0可求出系數(shù)Azs= 1，所以(t ³ 0)由跳變量-3tyzs (t) = -e+1ss-chap3-2018482018

42、/6/83.4零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)3 e-3t2+1 = 1 e-3t +1y(t) =-e-3t142432零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)y(0- ) = 32= 3 e-3t - e-3t12 4243+(t ³ 0)1強迫響應(yīng)響應(yīng)假設(shè)：x(t) = 6u(t)，其余不變，求其解。由于x(t) = 6u(t)，其特解變?yōu)椋簓p(t) = 2。e-3t+ 2 = -2e-3t + 2y(t) = A零狀態(tài)響應(yīng)y(t):zszs 2zs 2因為起始狀態(tài)不變：故其零輸入響應(yīng)不變，仍為：y (t) = 3 e-3t(t ³ 0)zi2(t) + y (t) = - 1 e-3t + 2

43、完全響應(yīng)y(t):y(t) = yzs 2zi2ss-chap3-2018492018/6/83.4零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)2零輸入線性與零狀態(tài)線性常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)在下面幾點上是線性的（1） 響應(yīng)的可分解性：系統(tǒng)響應(yīng)可分狀態(tài)響應(yīng)。（2） 零狀態(tài)響應(yīng)線性：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與各激勵信號成零輸入響應(yīng)和零線性分特性。，且系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)，所以零狀態(tài)響應(yīng)滿足微積（3）零輸入響應(yīng)線性：系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與各起始狀態(tài)成線性。ss-chap3-2018502018/6/83.4零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)2零輸入線性與零狀態(tài)線性線性時不變系統(tǒng)一定滿足均勻性與疊加性及微特性。但這種線性時不變特性是在一定條件下

44、滿足的。dy(t) + 2 y(t) = x(t)的微分方程為dtx (t) = e-t的全響應(yīng)為y(0- ) = 2時，則系統(tǒng)對激勵當(dāng)起始狀態(tài)1y (t) = e-2t+ e-t時，則可以求得全響應(yīng)為1x (t) = 5e-t若把激勵信號變?yōu)?-2t-ty2 (t) = -3e+ 5ey2 (t) ¹ 5 y1(t)因為系統(tǒng)的起始儲能未變ss-chap3-2018512018/6/83.4零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)y (t) = 2e-2t + (-e-2t + e-t )零輸入響應(yīng)14243零狀態(tài)響應(yīng)1y (t) = 2e-2t + 5(-e-2t + e-t )零輸入響應(yīng)1 424

45、43零狀態(tài)響應(yīng)2比較可見，零狀態(tài)響應(yīng)滿足線性系統(tǒng)的特性。若把 y(0- )也按照同樣的比例放大，得y(0- ) = 10，則在激勵x (t) = 5e-t 作用下，全響應(yīng)為：2y (t) = 10e-2t + 5(-e-2t + e-t )零輸入響應(yīng)1 42443零狀態(tài)響應(yīng)3 這時 y3(t)與 y1(t) 滿足線性系統(tǒng)的均勻性 ss-chap3-2018522018/6/8例題:Page 56： 3-2t<0, switch at “1”, t=0, S turn to “2”. Where L=1H, R=3W,C=0.5FFind current i(t), and determi

46、ne the zero input response and zero state response.vL (t) + vR (t) + vC (t) = x(t)+x(t)_i(0- ) = 0; v(0- ) = 5VCx(t)5L di(t) + 1 ò i(t)dt + Ri(t) = x(t)dt( )Ct0d2i t+ RC di(t) + i(t) = C dx(t)-5LCdt2dtdtss-chap3-2018532018/6/8例題:Page 56： 3-2d2i(t) +di(t)+ 2i(t) = -10d (t)ip (t) = 0, t > 03dt

47、2dt(1) Forced response:i (t) = C e-t + C e-2t , t > 0(2) Natural response:(3) Completed response:h12i(t) = i (t) = C e-t + C e-2t , t > 0h12i(0- ) = 0; v(0- ) = 5VCQi(0+ ) = i(0- ) = 0;v (0+ ) =v (0- ) = 5VCCLi¢(0+ ) = v(0+ ),v (0+ ) + v(0+ ) + v(0+ ) = -5LCLRÞ i(0+ ) = 0;i¢(0+ ) = -10Þ i(t) = 10e-2t -10e-t , t > 0ss-chap3-2018542018/6/8例題:Page 56： 3-2zero input response+i(0- ) = 0; v(0- ) = 5VCx(t)5x(t)_t0d2i(t)di(t)dx(t)+ RC+ i(t) = CLCdt2dtdti(0- ) =