數(shù)形結(jié)合思想在高中解題中的應(yīng)用

1、摘要 數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)中的一種重要而又實(shí)用的思想和方法，一方面它展現(xiàn)了“數(shù)”與“形”兩種信息的轉(zhuǎn)化及其優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)與整合的簡(jiǎn)單美，為高中的一些數(shù)學(xué)問題開辟了一種更簡(jiǎn)捷的新解題途徑；另一方面它還將抽象思維與形象思維完美地結(jié)合起來，對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造思維起著積極的促進(jìn)作用?；谝陨蠑?shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢(shì)，文章主要介紹了什么是數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)形結(jié)合思想在高中解題中的幾點(diǎn)應(yīng)用以及解題中存在的幾種誤區(qū)。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合 高中數(shù)學(xué) 解題誤區(qū)Abstract The number shape union is in the high school mathematics is a kind of import

2、ant and practical ideas and methods, on one hand it shows the number and shape of two kinds of information transformation and integration of complementary advantages and simple beauty, some mathematical problems for senior high school opened up a more simple way of solving problem; on the other hand

3、 it also the abstract thinking and the thinking in images combine perfectly, the students innovative consciousness and creative thinking plays a positive role in promoting. Based on the above the number shape union thought advantage, the article mainly introduces what is the number shape union thoug

4、ht, the number shape union thought in solving problems in senior high school a few applications and problem solving in the presence of the kinds of errors.Key words: Combination of number and shape The high school mathematicsThe problem-solving misunderstandings目錄摘要IAbstractII第一章 引言1第二章 數(shù)形結(jié)合思想的提出22.

5、1案例導(dǎo)入22.2 數(shù)形結(jié)合思想的提出4第三章 數(shù)形結(jié)合思想的概述53.1數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵53.2數(shù)形結(jié)合的基本原則53.3數(shù)形結(jié)合的三條途徑63.3.1 以形助數(shù)63.3.2 以數(shù)助形63.3.3 數(shù)形互助73.4 幾種常見代數(shù)式的幾何聯(lián)想8第四章 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用舉例114.1集合問題114.1.1 借助于數(shù)軸114.1.2借助韋恩圖124.2函數(shù)問題134.2.1求函數(shù)定義域134.2.2求函數(shù)值域144.2.3求函數(shù)的最值154.2.4求函數(shù)單調(diào)區(qū)間154.2.5比較數(shù)的大小164.2.6確定函數(shù)中參數(shù)范圍174.3三角函數(shù)問題184.4方程與不等式問題194.4.1方程根的分布1

6、94.4.2方程的根與參數(shù)的關(guān)系204.4.3不等式問題214.4.3.1求不等式的解集214.4.3.2求參數(shù)的取值范圍214.4.3.3證明不等式224.5數(shù)列問題234.6復(fù)數(shù)問題254.7解析幾何問題254.8立體幾何問題26第五章 數(shù)形結(jié)合的解題誤區(qū)28結(jié)束語(yǔ)32致謝33參考文獻(xiàn)34第一章 引言 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，學(xué)生對(duì)于純粹數(shù)的問題習(xí)慣從數(shù)的角度出發(fā)來思考問題，而對(duì)于純粹形的知識(shí)習(xí)慣從形的角度出發(fā)來思考問題，但對(duì)于一些比較復(fù)雜的純粹數(shù)問題或純粹形問題，如果此時(shí)學(xué)生還用習(xí)慣性的思維去分析它們，那解決問題的思維就會(huì)處于非常被動(dòng)的地位，思考問題的方向就會(huì)被局限起來，那該怎么辦呢？在學(xué)習(xí)了數(shù)形

7、結(jié)合思想后，我們能否走出這種困境，利用數(shù)形結(jié)合來解決這些難題呢？故本文首先帶領(lǐng)大家一起去欣賞數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的美，然后再向大家概述一下數(shù)形結(jié)合思想的相關(guān)知識(shí)，并一路詳細(xì)地介紹數(shù)形結(jié)合思想在“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”這兩大方面的具體應(yīng)用，最后還點(diǎn)出了運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解題時(shí)存在的誤區(qū)，以此更好地引導(dǎo)大家去掌握好數(shù)形結(jié)合思想。第二章 數(shù)形結(jié)合思想的提出2.1案例導(dǎo)入 在高中數(shù)學(xué)解析幾何這一模塊中，處理問題的方法常有代數(shù)法和幾何法，代數(shù)法是從“數(shù)”的角度解決問題，幾何法是從“形”的角度解決問題，這兩種方法相輔相成，相得益彰。1現(xiàn)舉案例如下：案例：證明自然數(shù)的三次冪和公式分析:由證明的思路可知要證明本題也

8、可以通過從到的個(gè)式子的累加來解決。證法一： 將以上所有等式的左邊相加，右邊相加，有 化簡(jiǎn)， 圖2.1證法二：如圖2.1所示，在第1行排列1個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，在第2行排列2個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，以此類推，在第行排列個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形,然后將點(diǎn)與點(diǎn)連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，得到直角三角形，圖中所有正方形的面積之和為.容易證明所有正方形的面積之和等于直角三角形的面積，即 所以 點(diǎn)評(píng)：證法一是一種常規(guī)的解法，也就是我們中學(xué)常說的代數(shù)法，主要是由“數(shù)”的相關(guān)信息入手，利用公式對(duì)所要證明的公式進(jìn)行相應(yīng)的變換，充分展現(xiàn)了推理過程的邏輯化與嚴(yán)謹(jǐn)化，但這種解題方法也存在一些缺點(diǎn)，例如對(duì)于普通學(xué)生就很難把解題思路與

9、公式聯(lián)想到一起，再如代數(shù)法的解題過程較繁瑣冗長(zhǎng)等；相反，證法二則比代數(shù)法新穎、簡(jiǎn)單，它不但巧妙地將數(shù)轉(zhuǎn)化為幾何圖形，還利用圖形的性質(zhì)高效地解決問題，顯得直觀、簡(jiǎn)捷，這便是數(shù)學(xué)中另外的一種方法幾何法。 從這個(gè)案例的兩種不同解法中，我們發(fā)現(xiàn)恰當(dāng)?shù)剡x擇數(shù)學(xué)方法能夠使問題的順利解決起到事半功倍的效果，特別是這個(gè)案例中所涉及的思想方法，它把數(shù)學(xué)所研究的兩大對(duì)象“數(shù)”與“形”的特點(diǎn)展現(xiàn)得淋漓盡致、別有千秋，因此，如果能將這種思想應(yīng)用與數(shù)學(xué)解題中，將會(huì)開拓思維，簡(jiǎn)化問題。2.2 數(shù)形結(jié)合思想的提出 由2.1的案例我們看到了一些“數(shù)”的問題可以轉(zhuǎn)化為“形”的問題來研究，并且從“形”的角度能夠?qū)?fù)雜、抽象的問題

10、簡(jiǎn)單化、形象化，從而更直觀、更快捷地解決問題，這也就是我們數(shù)學(xué)中的一種重要思想數(shù)形結(jié)合思想。通過數(shù)形結(jié)合思想，人們將純粹數(shù)的知識(shí)與純粹形的知識(shí)聯(lián)系起來，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的另一新分支解析幾何，從而將數(shù)形結(jié)合思想推到了一個(gè)更高的發(fā)展階段。同時(shí)由于圖形具有直觀性與形象性的特點(diǎn)，人們還把數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于生活中各方面的問題解決，如概率問題，還有經(jīng)濟(jì)的最優(yōu)化決策、原料的最少消耗、路程的最短路等等問題。 那么什么是數(shù)形結(jié)合思想？它的基本原則又是什么？它有幾種轉(zhuǎn)換途徑?在接下來的第三章我們將對(duì)此做深入的學(xué)習(xí)。第三章 數(shù)形結(jié)合思想的概述3.1數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵 數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，數(shù)與

11、形是事物的兩個(gè)方面，正是基于對(duì)數(shù)與形的抽象研究才產(chǎn)生了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，才使人們能夠從不同側(cè)面認(rèn)識(shí)事物，把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，或者把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，這種解決問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略就是數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想就是要使抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來。理解并掌握數(shù)形結(jié)合的方法，能夠增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高分析問題和解決問題的能力。解析幾何就是數(shù)形結(jié)合的典范。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾寫過一首描寫數(shù)形結(jié)合的詩(shī)：數(shù)形本是兩相依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。切莫忘，幾

12、何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。4 利用數(shù)形結(jié)合研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，?？梢杂梢韵氯齻€(gè)途徑轉(zhuǎn)換：由數(shù)思形、以形思數(shù)、數(shù)形互助。3.2數(shù)形結(jié)合的基本原則（1）等價(jià)性原則：是指“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)與“形”的幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，即問題的形與數(shù)所反映的數(shù)量關(guān)系應(yīng)具有一致性，若圖形關(guān)系所考慮不周或作圖不準(zhǔn)確，將對(duì)所討論的問題產(chǎn)生影響，可能將造成解題失誤。（2）雙向性原則：是指既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索。代數(shù)表達(dá)及運(yùn)算比幾何圖形及結(jié)構(gòu)有其自身固有的優(yōu)越性，能克服幾何方法的許多局限性。（3）簡(jiǎn)單性原則：是指數(shù)形轉(zhuǎn)換時(shí)盡可能使作圖簡(jiǎn)單合理，既使幾何作圖優(yōu)美，又使代數(shù)運(yùn)算簡(jiǎn)潔、明了。3.3數(shù)形結(jié)

13、合的三條途徑3.3.1 以形助數(shù) 所謂以形助數(shù)，即根據(jù)給出的“數(shù)”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，畫出與之相應(yīng)的幾何圖形，用幾何方法解決代數(shù)問題。例1.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間是（ ）A B C D分析：只要畫出的圖像（圖3.1），就可以得到要選的選項(xiàng)。圖3.1例2.對(duì)，記，函數(shù)的最小值是（ ）分析：畫出函數(shù)和的圖像（圖3.2),由的定義可得， 則圖3.2 3.3.2 以數(shù)助形 所謂以數(shù)助形，即用代數(shù)方法研究幾何問題。例3.在中，所對(duì)的邊分別為a,b,c，且,P為的內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A,B,C的距離的平方和的最大值與最小值。解：由運(yùn)用正弦定理，有，因?yàn)?，所?由此可知是直角三角形.由,以及，可得如圖，設(shè)的內(nèi)切

14、圓圓心為，切點(diǎn)分別為D,E,F，則,但上式中，所以內(nèi)切圓半徑，如圖3.3建立坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓方程為：，設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則=因?yàn)镻在內(nèi)切圓上，所以圖3.3，點(diǎn)評(píng)：此題的首要任務(wù)就是根據(jù)已知條件把三角形確定下來，注意到有三角函數(shù)，于是聯(lián)想到三角形的正弦定理，從而推出三角形是直角三角形并求出其余兩邊，接著我們又很容易由距離及直角三角形聯(lián)想到直角坐標(biāo)系的建立，通過直角坐標(biāo)系把直角三角形坐標(biāo)化，同時(shí)我們注意到P點(diǎn)是直角三角形內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，那么就必須通過內(nèi)切圓來確定出P點(diǎn)的軌跡，把以上所有相關(guān)信息坐標(biāo)化，用代數(shù)方法建立函數(shù)關(guān)系，問題迎刃而解，但若用幾何的方法去解決，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一時(shí)很難以入手，假如從

15、三角形三邊大小關(guān)系入手，由于這里涉及到多個(gè)三角形，對(duì)于等號(hào)的同時(shí)成立討論起來則會(huì)顯得十分吃力，反而把問題復(fù)雜化。因此，這道題恰當(dāng)?shù)胤椒ㄊ遣捎么鷶?shù)法，它會(huì)省去很多的麻煩。3.3.3 數(shù)形互助 所謂數(shù)形互助，即數(shù)形相互結(jié)合，使問題變得直觀、簡(jiǎn)明。例4.在x軸上找到一點(diǎn)，使得它到點(diǎn)和到點(diǎn)的距離之和最短。解：如圖3.4，將點(diǎn)表示在坐標(biāo)平面上，將點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接B交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為所求。設(shè)，將和代入，得 點(diǎn)P是直線和x軸的交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)， 點(diǎn)評(píng)：本題如果直接用代數(shù)的方法來解的話，圖3.4設(shè)，那么 很顯然這個(gè)式子的最大值僅用代數(shù)方法是很難求的，還是要變形為，理解為平面上的點(diǎn)與，的距離之和，利用數(shù)形結(jié)合的

16、方法在坐標(biāo)平面內(nèi)利用幾何的對(duì)稱性，解決起來就會(huì)非常容易。3.4 幾種常見代數(shù)式的幾何聯(lián)想（1)形如（或其變形，如）可看成兩點(diǎn)間的距離。5例5.平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（ ）。分析：該題如果采用化簡(jiǎn)將浪費(fèi)很多時(shí)間，而利用方程表示的幾何意義，則很容易知道點(diǎn)滿足橢圓的定義，所以點(diǎn)的軌跡應(yīng)該是橢圓。答案：橢圓。(2) 形如可看成數(shù)軸上（或與坐標(biāo)軸平行）的兩點(diǎn)間的距離。例6.解不等式。分析：該不等式的常規(guī)解法是對(duì)進(jìn)行討論，以去絕對(duì)值（如解法一）；但如果能利用絕對(duì)值的幾何意義來分析就更簡(jiǎn)單了（解法二），如圖3.5所示,數(shù)軸上與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是、，那么不等式的解集就是數(shù)軸上到,兩點(diǎn)的距離之和大于的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)

17、的實(shí)數(shù)。解法一：當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得即不等式組的解集為.當(dāng)時(shí)，原不等式化為，即，矛盾，所以不等式組的解集為.當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得，所以不等式組的解集為綜上所述，原不等式的解集為。解法二：如圖3.5，數(shù)對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的點(diǎn)、，數(shù)對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的點(diǎn)、，在上的點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和都是不大于，而在、的點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和都是大于，所以原不等式的解集為。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于類似的不等式求解，我們一般都是從絕對(duì)值的幾何意義來入手思考的，也就是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來更直觀地剖析問題的本質(zhì)，使問題的解決更簡(jiǎn)單化、快捷化。對(duì)于該例題，還有一些變式，如“若不等式的解集為R，求的取值范圍”，也可仿照例題來解決。圖3.5(3)

18、 形如（或）可聯(lián)想到點(diǎn)到直線的距離。例7.方程所表示的曲線是（ ）分析：原方程可化為，而可看成點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)雙曲線的第二定義可知，該方程表示的曲線是是雙曲線。答案：雙曲線。（4） 形如可看成點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率。9例8.已知點(diǎn)滿足，求的最大值。圖3.6分析：該題是線性規(guī)劃的變形，可當(dāng)成動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線的斜率。解：如圖3.6所示，動(dòng)點(diǎn)落在內(nèi)部（不包括邊界），的幾何意義是點(diǎn)和點(diǎn)連線的斜率。，由圖可知，由圖可知，即.第四章 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用舉例4.1集合問題集合是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，也體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)不同于初中數(shù)學(xué)的理念，并且集合知識(shí)無論在內(nèi)在關(guān)系（交集、并集、補(bǔ)集等）上，還是在外在表達(dá)式（如）上

19、，都暗含著圖形的意味。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決集合問題，實(shí)際上是將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體的、形象的圖形問題，幫助學(xué)生更直觀地認(rèn)識(shí)集合和集合之間的包含、交叉等關(guān)系。在解題過程中，數(shù)軸和韋恩圖則是最常用的兩種圖形表達(dá)。24.1.1 借助于數(shù)軸 高中階段，我們經(jīng)常借助于數(shù)軸來表示集合間的包含關(guān)系，或用數(shù)軸進(jìn)行集合的相關(guān)運(yùn)算，從而使問題得以簡(jiǎn)化，使運(yùn)算快捷明了。例9.若集合，則集合 ( ）A B C D圖4.1分析：此題主要考察了交集的運(yùn)算，運(yùn)用數(shù)軸將集合,表示出來，（如圖4.1），故選。例10.已知集合，（1）若,求的范圍；（2）若,求的范圍。分析：先在數(shù)軸上表示出集合的范圍，要使，由包含于的關(guān)系可知

20、集合應(yīng)該覆蓋集合，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)端點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)行限制；若，則分為兩種情況，第一種是，即，第二種是，這時(shí)集合應(yīng)該覆蓋集合，并進(jìn)行對(duì)應(yīng)端點(diǎn)的限制。圖4.2 解：（1）如圖4.2，此時(shí)顯然，即，由于，則方程組的解集為，所以的值不可能存在。（2）如圖4.2，由于，若，則若，則，解得綜上兩種情況，可知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)評(píng)：此題利用數(shù)軸來討論集合之間的包含關(guān)系，生動(dòng)直觀，特別是集合端點(diǎn)的大小關(guān)系，借助數(shù)軸上的集合更是清楚直觀，把枯燥的數(shù)字問題轉(zhuǎn)化為形象的圖形問題，更有利于思考問題的思維拓展，鮮明地展現(xiàn)出以形助數(shù)的優(yōu)勢(shì)。4.1.2借助韋恩圖 利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問題，一般用圓來表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公

21、共元素，兩圓相離則表示兩個(gè)集合沒有公共元素。利用韋恩圖法能直觀地解答有關(guān)集合之間的關(guān)系問題。例11.有名學(xué)生，每人至少參加一個(gè)活動(dòng)小組，參加數(shù)理化小組的人數(shù)分別為，同時(shí)參加數(shù)理小組的人，同時(shí)參加數(shù)化小組的人，同時(shí)參加理化小組的人，問同時(shí)參加數(shù)理化小組的有多少人？圖4.3分析：我們可用圓、分別表示參加數(shù)理化小組的人數(shù)（圖4.3），則三圓的公共部分正好表示同時(shí)參加數(shù)理化小組的人數(shù)，兩圓重合的部分表示同時(shí)參加某兩小組的人數(shù)，然后再根據(jù)韋恩圖各部分的關(guān)系列出等式。解：設(shè)參加數(shù)、理、化小組的人員分別為集合A、B、C，n表示集合的元素個(gè)數(shù)，則, ,因?yàn)樗约赐瑫r(shí)參加數(shù)理化小組的有一人。4.2函數(shù)問題4.2

22、.1求函數(shù)定義域 面對(duì)求函數(shù)的定義域問題，有些人常常是顧此失彼，所以在看到題目后，首先應(yīng)該把所有使函數(shù)有意義的條件列出，待求出所有滿足條件的解后用相應(yīng)的圖形表示出來，再逐一判斷，這樣才能盡量避免失誤，得出正確的答案。例12.求函數(shù)的定義域.分析：若要解決該函數(shù)的定義域，圖4.4則有，要解決此類不等式的解集，需要借助圖像，如上圖4.4，由圖像可以看出，若要，只需或，再由，得出該函數(shù)的定義域即為：。解：函數(shù)的定義域?yàn)?，作出二次函?shù)的圖像（圖4.4），觀察可知在或上，函數(shù)，或又因?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)?。點(diǎn)評(píng)：本題雖然是求定義域，但實(shí)際上是考察二次函數(shù)圖像的理解程度，學(xué)會(huì)已知函數(shù)值范圍來確定自變量的范

23、圍，學(xué)生可以通過對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像來直觀地判斷出自變量的范圍，但隨著學(xué)生做題熟練程度的增強(qiáng)，二次不等式的求解已不用再畫圖，而是多見于畫數(shù)軸來選擇出取值范圍。4.2.2求函數(shù)值域 對(duì)于一些給了定義域求值域的函數(shù)，若只采用代數(shù)的方法思考問題，往往會(huì)太過于抽象或無從下手，但如果根據(jù)函數(shù)的定義，引入圖像，使所求的問題具體化、一目了然化，則起到事半功倍的效果。例13.求函數(shù)的值域。分析：就自變量的范圍討論去掉絕對(duì)值，將函數(shù)表示為分段函數(shù)，畫出分段函數(shù)的圖像，由圖像即可得到的范圍。解：函數(shù)等價(jià)于分段函數(shù)畫出分段函數(shù)的圖像（圖4.5 ），觀察圖像可知圖4.5的值域?yàn)?。點(diǎn)評(píng)：由于此題涉及到絕對(duì)值，按照常規(guī)的解

24、法我們一般是先去掉絕對(duì)值號(hào)，也就是分零點(diǎn)討論，然后再結(jié)合不同的情況對(duì)相應(yīng)的函數(shù)范圍進(jìn)行求解，最后把各種情況的值域合并起來就是所求函數(shù)的值域。但這種解法由于要對(duì)每種情況下的函數(shù)值域進(jìn)行討論，工作顯得重復(fù)、單調(diào)，所以不如用數(shù)形結(jié)合思想，把分段函數(shù)用圖像表示出來，這樣值域就比較直觀化、形象化，從而把抽象問題直觀地獲解，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們要多注意這種數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。4.2.3求函數(shù)的最值例14.求函數(shù)的最小值。分析:由可聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，則該題等價(jià)于求動(dòng)點(diǎn)圖4.6到點(diǎn)，的距離之和的最小值。解：如圖4.6，該式子可看做點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和，設(shè)AB與x軸交于C，則當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)C重合時(shí)，y最小，4.2.4求

25、函數(shù)單調(diào)區(qū)間 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條重要性質(zhì)，也是高考中的熱點(diǎn)問題之一。在解決有關(guān)問題時(shí)，我們常需要先確定函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，數(shù)形結(jié)合是確定函數(shù)單調(diào)性常用的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間形象直觀地反映在函數(shù)的圖像中。例15.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：畫出函數(shù)的草圖（圖4.7），由圖像可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為。 圖4.8圖4.7點(diǎn)評(píng)：對(duì)于函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，我們也可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)來解決，這是用單純數(shù)的角度來思考問題，但有時(shí)由于所涉及的函數(shù)是一些常見的函數(shù)，例如一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)等，這些函數(shù)的圖像我們是很熟悉的，可以直接判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此就沒有必要再

26、去用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，那樣只會(huì)重復(fù)一些沒多大意義的工作量。 4.2.5比較數(shù)的大小 一些數(shù)值大小的比較，我們可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值，利用它們圖像的直觀性進(jìn)行比較。8 例16.試判斷，三個(gè)數(shù)之間的大小順序。分析：如圖4.8，這三個(gè)數(shù)可以看成三個(gè)函數(shù)：，在時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這三個(gè)函數(shù)的圖像，從圖像可以直觀地看出當(dāng)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的位置，從而可得出結(jié)論：。答案：點(diǎn)評(píng)：對(duì)于數(shù)大小的比較我們一般有作差法和作商法，但有些數(shù)很難用這兩種方法來很快地比較大小，例如指數(shù)式、對(duì)數(shù)式，注意到這些式子都有對(duì)應(yīng)的函數(shù)，所以我們可以通過建立相應(yīng)的函數(shù)，然后再判斷出相同自變量下函數(shù)值的大小或相同函數(shù)值

27、下自變量的大小，或者借助函數(shù)所經(jīng)過的公共點(diǎn)來比較大小，這樣就直觀、快捷地判斷出相應(yīng)式子的大小關(guān)系了。4.2.6確定函數(shù)中參數(shù)范圍例16.設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)總有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍。8 圖4.10圖4.9解法一：函數(shù)總有意義，則，即在上總成立。設(shè)，即當(dāng)時(shí)，總成立，依拋物線的特征，將其定位，有，如圖4.9所示。 解得.解法二：對(duì)于不等式，因?yàn)?，所以，不等式可化為因?yàn)橹灰淖畲笾导纯?，設(shè)，的圖像如圖4.10所示，可知的最大值為10，故得最大值為4，則點(diǎn)評(píng)：解法一抓住了拋物線的特征，由實(shí)數(shù)的不等式組，將拋物線定位，再求解范圍。另外，由于涉及到一元二次方程根的分布，所以又提供了一次數(shù)形結(jié)合的機(jī)會(huì)。解

28、法二將實(shí)數(shù)從不等式中分離出來后，對(duì)后便函數(shù)中換元后，利用典型函數(shù)圖像直觀地求最大值，求得的范圍，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，也不失為一個(gè)好辦法。4.3三角函數(shù)問題 數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)在三角函數(shù)中是利用三角函數(shù)圖像、單位圓中的三角函數(shù)線來求三角函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間、解不等式、比較大小等。對(duì)于前兩方面的應(yīng)用主要是利用三角函數(shù)的圖像，相對(duì)于后兩方面比較簡(jiǎn)單，故下面重點(diǎn)舉例介紹數(shù)形結(jié)合思想如何利用三角函數(shù)線來解決比較大小及不等式證明的問題。例17.，從小到大的順序是（ ）。分析：這些角都不是特殊角，求出值來再比較行不通，注意到，相差較大，容易利用單位圓上的三角函數(shù)線區(qū)分它們各自函數(shù)值的大小。設(shè)，（如圖4.11

29、 所示），可知。答案：。 圖4.12圖4.11例18.已知，求證。分析：對(duì)于本題中給出的三個(gè)量，可用作差法比較出與的大小，但是與的比較就較困難了。若想到借助三角函數(shù)線來比較，就比較容易。證明：如圖4.12，在單位圓中作，過點(diǎn)作切線交于，連結(jié)，作于點(diǎn)，記扇形的面積為，顯然由三角形的面積可知有下列不等式存在：，即，即，也就是說。4.4方程與不等式問題 在利用數(shù)形結(jié)合思想來處理不等式時(shí)最主要的是要把握一個(gè)思想，就是哪一部分圖像在上面，則在這部分圖像所對(duì)應(yīng)得區(qū)間上，在上面的圖像的函數(shù)值就要大于在下面的圖像的函數(shù)值；另一種情況則反之。對(duì)于方程的話正好是兩個(gè)圖像相交的問題。此外，還可以利用數(shù)形結(jié)合來解決高

30、次不等式的問題，即我們平時(shí)所說的穿針引線法，方便快捷。但這些簡(jiǎn)單的判斷都是建立在比較準(zhǔn)確的圖形上的，所以能準(zhǔn)確地畫出圖像是解題的關(guān)鍵。處理方程問題時(shí)，把方程的根的問題看做兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題；處理不等式時(shí)，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。74.4.1方程根的分布例19.求方程解的個(gè)數(shù)。圖4.13解：函數(shù),的圖像很容易能畫出（圖4.13），可以看出當(dāng)和時(shí)這兩個(gè)函數(shù)不可能有三個(gè)交點(diǎn)，而當(dāng)時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)。顯然方程的解的個(gè)數(shù)即時(shí)這兩個(gè)函數(shù)，的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，據(jù)數(shù)形結(jié)合知它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3，故原方程有3個(gè)不同的解。點(diǎn)評(píng)：此題如果用其它一般的求方程的方法來

31、求是不適宜的，例如通過移項(xiàng)，兩邊同乘，除同一個(gè)數(shù)，平方，開方，積分，微分等常用的解方程的方法將無濟(jì)于事。根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分段的討論又將很復(fù)雜，而且很容易就出錯(cuò)，甚至得不出正確的結(jié)果。但是用了數(shù)形結(jié)合的方法卻清晰、快速、準(zhǔn)確地求出了答案。例20.已知，則方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)（ ）。圖4.14分析：判斷方程的根的個(gè)數(shù)就是判斷圖像與的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出兩個(gè)函數(shù)圖像（圖4.14），易知兩圖像只有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程有2個(gè)實(shí)根。點(diǎn)評(píng)：解題過程中遇到復(fù)雜函數(shù)（如指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角）討論方程解得個(gè)數(shù)，其基本解題路徑是先把方程兩邊的代數(shù)式看做是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式，然后在同一坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)的圖像，圖像的交點(diǎn)

32、即為方程解得個(gè)數(shù)。4.4.2方程的根與參數(shù)的關(guān)系例21.設(shè)，關(guān)于的一元二次方程有兩實(shí)根，且，求的取值范圍。分析：此題告訴我們方程有兩個(gè)根，所以可考慮解出兩根，再把兩根帶入求解不等式即可。顯然這樣的思路想來簡(jiǎn)單，但求解卻是非常困難的事情，所以我們不得不考慮其他辦法。若我們令:，那么問題就可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與軸應(yīng)有兩個(gè)交點(diǎn)，而交點(diǎn)的位置一個(gè)在內(nèi)、一個(gè)在內(nèi)，由圖4.15可列出圖像應(yīng)滿足的條件并求解：或 圖4.154.4.3不等式問題不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，而利用數(shù)形結(jié)合法能快速地求出不等式的解集，解決不等式含參問題，以及證明一些較復(fù)雜的不等式。104.4.3.1求不等式的解集例22.解不等式。解法

33、一（常規(guī)解法）：原不等式等價(jià)于或解（1）得，解（2)得綜上所述，原不等式的解集為或。解法二（數(shù)形結(jié)合法）：令，則不等式的解就是使的圖像在的上方的那段對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)。圖4.16如圖4.16，不等式的解集為，而可由解得，故不等式的解集為。點(diǎn)評(píng)：本題若按常規(guī)的代數(shù)解法需要分多種情況討論，過程比較繁瑣并且容易產(chǎn)生遺漏現(xiàn)象，但在解法二中我們采用的是用數(shù)形結(jié)合和的方法，把不等號(hào)的兩邊分別構(gòu)造成兩個(gè)函數(shù)，然后利用圖像來找出所要滿足不等關(guān)系的自變量范圍，這樣得出答案非常直觀、簡(jiǎn)潔。4.4.3.2求參數(shù)的取值范圍例23.若不等式的解集是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）。 分析：令，則的圖像是以為圓心，為半徑的圓的上半部

34、分，包括點(diǎn)，不包括點(diǎn)，的圖像是斜率為的直線，由已知的解集是，即要求半圓在直線的上方，由圖4.17可知，所以選。圖4.18圖4.17點(diǎn)評(píng)：本題也可以從與這兩種情況來討論，前一種情況顯然成立，對(duì)于后一種情況，可等價(jià)于，這里由于開口向上，判別式大于0，則需要限制，最后是無解，綜合兩種情況得出。對(duì)比例題的解法，它要求學(xué)生有較強(qiáng)的分類討論能力及數(shù)形結(jié)合的能力，同是從形的角度思考問題，例題的數(shù)形結(jié)合就顯得直觀，并且易懂。4.4.3.3證明不等式例24.，求證：。分析：初看此題，似乎毫無思緒，仔細(xì)觀察不等式左側(cè)，我們可以將其看做是四個(gè)距離的和，從而將不等式問題轉(zhuǎn)化成幾何問題，利用數(shù)形結(jié)合思想便可以輕松求證了

35、。證明，如圖4.18，建立直角坐標(biāo)系，其中,，在中，,，同理在中，由+即可得到欲證不等式，與，與同時(shí)共線時(shí)取等號(hào)，即此時(shí)點(diǎn)為正方形的中心。點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)形結(jié)合處理不等式問題時(shí)，可以將不等式通過轉(zhuǎn)化，放在三角形中，利用三角形三邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，來證明不等式，從而使問題直觀易解。4.5數(shù)列問題數(shù)列可看成是以為自變量的函數(shù)，其里面蘊(yùn)含著許多數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想來解決數(shù)列問題不僅使解題過程直觀簡(jiǎn)潔，而且還有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、直覺性，優(yōu)化學(xué)生的思維。在利用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，我們可借助相應(yīng)的函數(shù)圖象來解決：等差數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于的函數(shù)，即

36、，其圖像是同一直線上一群離散的點(diǎn)，若它的公差，則是常數(shù)函數(shù)，若它的公差，則是關(guān)于的“一次函數(shù)”；等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是關(guān)于的“二次函數(shù)”，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一拋物線上，此拋物線一定過原點(diǎn)，而點(diǎn)在直線上；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，其圖像是指數(shù)型函數(shù)曲線。例25.若數(shù)列為等差數(shù)列，求。圖4.20圖4.19分析：如圖4.19，不妨設(shè)，根據(jù)等差數(shù)列關(guān)于的圖像是一條直線上均勻排開的一群孤立的點(diǎn)，故三點(diǎn)，共線，。解：不妨設(shè)，由于等差數(shù)列可看成是自然數(shù)的一次函數(shù)，點(diǎn)是該直線上的一群孤立的點(diǎn)，故三點(diǎn)，共線，有，即，得，即。點(diǎn)評(píng)：本題也可以從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式入手，通過列方程組解出首項(xiàng)與公差，然后再代入公式求出

37、，但如果采用例題的解法，則解題思維顯得創(chuàng)新，并且把等差數(shù)列通項(xiàng)公式的本質(zhì)：一次函數(shù)，挖掘出來，充分利用斜率來列出各個(gè)式子的關(guān)系。例26.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，若公差，問，中的哪一個(gè)數(shù)值最大，并說明理由。分析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，令，則是拋物線的圖像（圖4.20)上的點(diǎn)。又，故拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足由于，離最近的整數(shù)點(diǎn)為6，則最大。點(diǎn)評(píng)：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式可以看做是關(guān)于正整數(shù)的函數(shù)。例27.已知數(shù)列成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，公比且，試比較與的大小。解:等差數(shù)列的圖像為直線，等比數(shù)列的圖像為指數(shù)函數(shù)，是開口向上的凹函數(shù)，由于直線與指數(shù)函數(shù)相交于和，所以直線的中點(diǎn)應(yīng)

38、在指數(shù)函數(shù)的中點(diǎn)的上方，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，為常數(shù)列時(shí)等號(hào)成立。4.6復(fù)數(shù)問題例28.已知復(fù)數(shù)的模為，則的最大值為（ ）。 解：如圖4.21，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，由復(fù)數(shù)加減法的三角形法則和模的定義知：點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合法”，把復(fù)數(shù)的性質(zhì)與復(fù)平面上的向量表示、代數(shù)運(yùn)算的幾何意義等都表達(dá)得淋漓盡致，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的生動(dòng)活潑。一般地，復(fù)圖4.21數(shù)問題可以利用復(fù)數(shù)的幾何意義而將問題變成幾何問題，也可利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、復(fù)數(shù)性質(zhì)求解。例如，本題也可這樣求解：，所以 4.7解析幾何問題 在前面所提及的各類應(yīng)用問題中，我們往往是將一些數(shù)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為圖形問題以輔助求解，而解析幾何問題

39、卻恰恰相反。數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本思想，在應(yīng)用時(shí)要將圖像與相關(guān)定義與性質(zhì)結(jié)合起來，因此要求對(duì)圓、橢圓、雙曲線、拋物線等圖形的性質(zhì)與幾何意義理解。同時(shí)每年的高考中解析幾何是必出的題目，因此，數(shù)形結(jié)合思想在本處的應(yīng)用具有重要的實(shí)際意義。雖然，在解此類題時(shí)，有時(shí)沒畫出圖形來，但在進(jìn)行的過程中是離不開圖像的，或在草紙或在腦中進(jìn)行。例29.已知圓，為圓上的任一點(diǎn)，求（1） 的最大值與最小值；（2） 的最大值與最小值。分析：由易聯(lián)想到其幾何意義是點(diǎn)與點(diǎn)所確定的直線的斜率，而由又可聯(lián)想到“目標(biāo)函數(shù)”，可視為動(dòng)圖4.22直線截距的最值問題。解：（1）如圖4.22，設(shè)，由得,的最大、最小值分別為過點(diǎn)的圓的

40、兩條切線的斜率。將整理為， 解得的最大值為，最小值為。（2） 令，則可視為一組平行直線系，當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，的范圍可求，最值必是直線與圓相切時(shí)取得， 解得，的最大值為，最小值為4.8立體幾何問題 與解析幾何問題一樣，我們也是從“以數(shù)輔形”來解決立體幾何問題，因?yàn)榇蠖鄶?shù)幾何問題用純圖形知識(shí)求解（如幾何法），較麻煩、困難，但若恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化成數(shù)的問題，則顯得較為簡(jiǎn)單（如向量法、向量坐標(biāo)法)，下面就舉一個(gè)例子進(jìn)行說明。例30.在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，求證：面.證明（幾何法）：如圖4.23，連結(jié), 面是在面上的陰影又是正方形 又、分別是、的中點(diǎn) 圖4.23 進(jìn)而由三垂線定理知：. 同理可證面證明

41、（向量法）：如圖4.24，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，并建立坐標(biāo)系，則,， 即 ,圖4.24 即面點(diǎn)評(píng)：從這兩種解法看，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把原來較為復(fù)雜的純幾何邏輯推理轉(zhuǎn)化成了現(xiàn)在較為簡(jiǎn)單的向量計(jì)算問題，大大節(jié)省了解題的時(shí)間，而在立體幾何中，像這樣的轉(zhuǎn)化方法不勝枚舉。 從以上各方面的應(yīng)用看到數(shù)形結(jié)合思想具有如下特點(diǎn)：思路上的靈活，過程上的簡(jiǎn)便，方法上的多樣化，它為我們提供了多條解決問題的通道，使學(xué)生靈活性、創(chuàng)造性的思維品質(zhì)在其中得到了更大限度的發(fā)揮。因此，在高中數(shù)學(xué)解題中，我們要靈活地使用數(shù)形結(jié)合方法來思考、分析問題，從而提高解題的效率。 第五章 數(shù)形結(jié)合的解題誤區(qū)當(dāng)我們將一個(gè)數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)特定

42、的圖形之后，我們便可創(chuàng)造性地分析問題的解法；代數(shù)演算的確切性可以幫助我們定量地探討幾何圖形的位置及關(guān)系，當(dāng)我們將一個(gè)幾何問題代數(shù)化以后，我們便可抽象性地探索問題的解法。然而，在第二章我們也說過，數(shù)形轉(zhuǎn)化的過程中必須遵循三條原則：等價(jià)性原則，雙向性原則，簡(jiǎn)單性原則。如果違反了上述原則，常常會(huì)步入數(shù)形結(jié)合的誤區(qū)。本章從以下五個(gè)方面闡述數(shù)形結(jié)合不當(dāng)將會(huì)引起的錯(cuò)誤。3誤區(qū)一：“形”的不精確。幾何圖形的優(yōu)點(diǎn)是具有直觀性，但是構(gòu)圖不精確往往造成錯(cuò)覺性的誤解。例31.求函數(shù)與在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。分析：根據(jù)題意，考慮函數(shù)與在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)是我們熟知的三角函數(shù)，所以我們常利用函數(shù)的圖像解決問題，因此，如圖所

43、示。誤解：認(rèn)為與在上有一個(gè)交點(diǎn)，因此根據(jù)對(duì)稱性，函數(shù)與圖5.1在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)。正解：事實(shí)上，函數(shù)與在上并沒有交點(diǎn)。因?yàn)楦鶕?jù)，即，解得或，因此。故函數(shù)與在上的交點(diǎn)只有一個(gè)，即坐標(biāo)原點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：本題所犯的錯(cuò)誤時(shí)由于對(duì)正切函數(shù)與正弦函數(shù)的幾何性質(zhì)認(rèn)識(shí)不清而導(dǎo)致作圖不精確，從而出現(xiàn)無中生有的錯(cuò)誤。從上面這個(gè)例子我們想到，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”解題時(shí)，既要利用圖形的直觀性觀察，又要利用“數(shù)”的精確性，準(zhǔn)確繪制圖像，不要講“數(shù)形結(jié)合”片面理解為“用純粹圖形解決數(shù)量問題”。只有數(shù)形結(jié)合且為補(bǔ)充才能求得正確的解答。誤區(qū)二：形的不全面。對(duì)于某些數(shù)學(xué)問題所對(duì)應(yīng)的圖形可能不止一種，這時(shí)要根據(jù)不同情況分別進(jìn)行討論求解。

44、例32.過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線與曲線交于，兩點(diǎn)，試用離心率及、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，表示弦。分析：求焦點(diǎn)弦長(zhǎng)可用焦半徑公式，注意到、兩點(diǎn)的不同位置，就不會(huì)出現(xiàn)只考慮、的位置只在雙曲線的右支上，而也可能分別在左右兩支上的情形，如圖1，當(dāng)、同在雙曲線的右支上時(shí)(圖5.2），；當(dāng)、分別在雙曲線左、右兩支上時(shí)（圖5.3），。本題計(jì)算的性質(zhì)由幾何圖形的性質(zhì)而來，考慮到圖形各種不同位置可能引起的不同結(jié)果，使得解答全面準(zhǔn)確。y 圖5.2圖5.3誤區(qū)三：數(shù)形結(jié)合邏輯循環(huán)。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解決問題時(shí)，有些同學(xué)會(huì)習(xí)慣地將要證的熟悉結(jié)論當(dāng)已知條件用，這時(shí)，數(shù)形結(jié)合就會(huì)出現(xiàn)邏輯循環(huán)，不僅解決不了問題，還制造出了錯(cuò)誤。例33.

45、用解析法證明直角三角形斜邊上的中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。誤解：如圖，是任意直角三角形，設(shè)，,則斜邊AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，。點(diǎn)評(píng)：本題犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤。命題“直角三角形中斜邊的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半”與本題要證的結(jié)論屬于同一層次的等價(jià)命題，圖5.4兩個(gè)命題中的任何一個(gè)命題都是另一個(gè)命題的直接推論，用其中一個(gè)命題作依據(jù)來說明另一個(gè)正確，屬于循環(huán)論證的推斷錯(cuò)誤。誤解中坐標(biāo)系的建立，看上去是考慮了直角三角形位置的一般情況，具有普遍意義，其實(shí)是不理解解析法，從形式上看進(jìn)行了數(shù)量化的分析，但其中關(guān)鍵的等量關(guān)系還是由幾何定理直接得出，使得證明中的數(shù)量化成為形式擺設(shè)，固而也不符合題目在方法上的要求。誤區(qū)四：數(shù)

46、形轉(zhuǎn)化的不等價(jià)。利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題時(shí)要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，我們常常是由“形”觀察出“數(shù)”，由“數(shù)”構(gòu)造出“形”，這中間的觀察與構(gòu)造并未進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯推理，加之審題不周到，造成數(shù)形轉(zhuǎn)化的不等價(jià)而出現(xiàn)誤解。10例34.已知方程有兩個(gè)實(shí)根在與之間，求的滿足條件。錯(cuò)解：令，結(jié)合題意畫出圖5.5中的，再由圖像列出不等式組 圖5.5正解：事實(shí)上，不等式組并不與題意等價(jià)，圖5.5中的也滿足不等式組，但兩實(shí)根均大于，還可以舉出兩實(shí)根均小于的反例。若不等式組與圖 的等價(jià)，需加上對(duì)對(duì)稱軸條件限制：，即。誤區(qū)五：忽略數(shù)形結(jié)合的簡(jiǎn)單性。數(shù)形結(jié)合的核心與靈魂是“結(jié)合”。解題時(shí)由于觀察與聯(lián)想的視角不同，會(huì)出現(xiàn)不同的“結(jié)合”，“結(jié)合”得好就得到好的解題方法，“結(jié)合”得不好就使解題