173復(fù)數(shù)的幾何意義和三角形式

1、南京商業(yè)學(xué)校教案授課日期2015年 月 日第 周時 數(shù) 課型新課課題 §17.3復(fù)數(shù)的幾何意義和三角形式教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：了解復(fù)平面的概念；掌握復(fù)數(shù)的幾何表示和向量表示；理解復(fù)數(shù)的模、輻角及輻角主值的概念；掌握復(fù)數(shù)的三角形式及其特征。能力目標(biāo)：會在復(fù)平面內(nèi)描出表示復(fù)數(shù)的點及向量；會求復(fù)數(shù)的模和輻角、和輻角主值（特殊角）；會進(jìn)行復(fù)數(shù)的三角形式與代數(shù)形式的互化。情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和辯證唯物主義思想。教學(xué)重點 用復(fù)平面上的點、向量和三角形式表示復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的模和輻角、輻角主值的概念。教學(xué)難點 復(fù)數(shù)幾何表示法的理解 ；復(fù)數(shù)幾種表示形式的互化；復(fù)數(shù)輻角的求法。 教學(xué)資源課本，教

2、學(xué)參考書，學(xué)習(xí)指導(dǎo)書，網(wǎng)絡(luò)教法與學(xué)法教師啟發(fā)、引導(dǎo)，學(xué)生自主閱讀、思考，討論、交流學(xué)習(xí)成果。學(xué)情分析（含更新、補(bǔ)充、刪節(jié)內(nèi)容） 復(fù)數(shù)的幾何表示和向量表示是復(fù)數(shù)的兩種常見形式，復(fù)數(shù)的向量表示學(xué)生不易理解的，教學(xué)時要充分揭示復(fù)數(shù)與向量之間的關(guān)系，并借助向量進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對復(fù)數(shù)的理解。板書設(shè)計 17.3復(fù)數(shù)的幾何意義和三角形式1. 復(fù)平面例1例32. 復(fù)數(shù)的幾何表示3復(fù)數(shù)的向量表示 例24復(fù)數(shù)的三角形式教后記教學(xué)程序和教學(xué)內(nèi)容（包括課外作業(yè)和板書設(shè)計）師生活動一、引入新課根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)表示為的形式，我們把這種形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，復(fù)數(shù)還有其他表現(xiàn)形式嗎？這些表示形式之間有什么關(guān)系？二、講授新

3、課1復(fù)平面在平面上建立直角坐標(biāo)系，橫軸、縱軸上的坐標(biāo)分別表示復(fù)數(shù)的實部和虛部，這樣的平面叫做復(fù)平面，其中橫軸叫做實軸，縱軸叫做虛軸。2復(fù)數(shù)的幾何表示有序?qū)崝?shù)對（與直角坐標(biāo)系內(nèi)的點一一對應(yīng)的，由復(fù)數(shù)代數(shù)形式可以知道，任何一個復(fù)數(shù)，都可以有一個有序的實數(shù)對（）唯一確定，即復(fù)數(shù) 圖1與有序?qū)崝?shù)對（）之間一一對應(yīng)。由此可知，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點之間是一一對應(yīng)的（如圖1所示），即任何復(fù)數(shù)都可以用復(fù)平面內(nèi)的點來表示。我們把這種表示形式叫做復(fù)數(shù)的幾何表示。想一想：實數(shù)、純虛數(shù)、虛數(shù)表示的點分別在復(fù)平面的什么位置？（復(fù)平面內(nèi)，表示實數(shù)的點都在實軸上，表示純虛數(shù)的點都在虛軸上，表示非純虛數(shù)的點分別在四個象限內(nèi)）3

4、. 復(fù)數(shù)的向量表示直角坐標(biāo)系內(nèi)的點與始點在原點的向量是一一對應(yīng)的，因此，復(fù)數(shù)也與向量一一對應(yīng)，其中復(fù)數(shù)0對應(yīng)零向量，任何復(fù)數(shù)可以表示為復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量，我們把這種表示像是叫做復(fù)數(shù)的向量表示法。Z() r 圖2圖1把復(fù)數(shù)表示為向量，那么把向量的模（長度）叫做復(fù)數(shù)的模，記作由圖2容易得到，特別地，時，是實數(shù)，它的模就等于。復(fù)數(shù)的模有以下性質(zhì)：復(fù)數(shù)的模是一個非負(fù)實數(shù)，即；互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)的模相等，即。必須注意，兩個不全是實數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小，但是它們的模可以比較大小。以軸的正半軸為始邊，向量所在的射線為終邊的角稱為復(fù)數(shù)的輻角，它表示向量的方向，復(fù)數(shù)0的輻角是任意的。一個不等于零的復(fù)

5、數(shù)的輻角不唯一，這些值相差的整數(shù)倍，即若是復(fù)數(shù)的一個輻角，那么也是復(fù)數(shù)的輻角，我們把復(fù)數(shù)在內(nèi)的輻角叫做輻角的主值，記作。想一想：實數(shù)、純虛數(shù)的三角形式分別是什么？由圖2可知，復(fù)數(shù)的輻角主值所在的象限與復(fù)數(shù)相對應(yīng)的點所在的象限相同，并且。例1求下列復(fù)數(shù)的模和輻角主值（1） （2）解：（1） 又=1，點（1,1）在第一象限。所以（2）有，點（）在第四象限，所以想一想：怎樣求復(fù)數(shù)的輻角?4.復(fù)數(shù)的三角形式如圖2所示，設(shè)復(fù)數(shù)的模為，輻角為，則于是=我們把復(fù)數(shù)的表示形式稱為復(fù)數(shù)的三角形式，這種表示形式是用復(fù)數(shù)的模和輻角來表示復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的三角形式仍然是 想一想：復(fù)數(shù)的三角形式有哪些特征？下列各式是復(fù)數(shù)的三

6、角形式嗎？（1） （2）（3）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和三角形式之間可以相互轉(zhuǎn)化，把復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式時，通常取為復(fù)數(shù)的輻角主值。例2 把下列復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式（1） （2）解：（1）=（2）例3 把下列復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式（1）-1；（2）； （3） 解：（1）=1，輻角主值為=，所以-1=（2） 輻角主值為=，所以=（3），由和點在第四象限，得，所以=想一想：怎樣把復(fù)數(shù)表示成三角形式？復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為復(fù)數(shù)的三角形式一般方法步驟是：求復(fù)數(shù)的模：；由及點所在象限求出復(fù)數(shù)的一個輻角（一般情況下，只須求出復(fù)數(shù)的輻角主值即可）；寫出復(fù)數(shù)的三角形式。三、課堂練習(xí)課本P64練習(xí)1、2四、課堂小結(jié)1、 復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點及向量一一對應(yīng)；2、復(fù)數(shù)的模、輻角及輻角主值；3、復(fù)數(shù)三角形式的三個特征及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式一般方法步驟。五、布置作業(yè) 課本P68 練習(xí)1、2、3、4 學(xué)生思考并回答學(xué)生思考并回答師生共同完成學(xué)生討論并回答學(xué)生討論并回答復(fù)數(shù)的三角形式有三個特征：模r;括號內(nèi)的實部是余弦，虛部是正弦，且是