統計學抽樣推斷

1、統計學授課題目第6章 抽樣推斷課次第8-9次授課方式講授課時安排第8教學周-第9教學周，共4課時教學目的： 通過本章的學習，要求掌握利用樣本統計資料來推斷總體數量特征的原理及方法；深刻理解抽樣推斷的概念及特點；了解抽樣誤差產生的原因，并對抽樣誤差、抽樣平均誤差、抽樣極限誤差加以區(qū)別，掌握抽樣平均誤差、抽樣極限誤差的計算；掌握點估計和區(qū)間估計的方法；掌握必要樣本單位數的確定方法。教學重點及難點提示： 重點：區(qū)間估計 難點：抽樣平均誤差的計算案例導入：大學生消費調查：一個月你花多少？第一節(jié) 抽樣推斷概述 一、抽樣推斷的概念及特點 （一）概念按隨機原則從總體中抽取部分單位，根據這部分單位的信息對總體

2、的數量特征進行科學估計與推斷的方法。 包括抽樣調查和統計推斷 抽樣調查：一種非全面調查，按隨機原則從總體中抽取部分單位進行調查以獲得相關資料，以推斷總體 統計推斷：根據抽樣調查所獲得的信息，對總體的數量特征作出具有一定程度的估計和推斷。 （二）特點 1.按隨機原則（等可能性原則）抽取調查單位.隨機抽樣的目的是為了排除人的主觀影響，使每個樣本都有系統的可能性被抽中，使樣本對總體具有充分的代表性。隨機性原則是保證抽樣推斷正確性的一個重要前提條件。隨機抽樣不是隨便抽樣。 2.根據部分推斷總體的數量特征 3.抽樣推斷的結果具有一定的可靠性和準確性，抽樣誤差可以事先計算和控制其他特點有經濟性、時效性、準

3、確性、靈活性等 （三）抽樣推斷的應用 1.不可能進行全面調查時 2.不必要進行全面調查時 3.檢查生產過程正常與否 4.對全面調查資料進行補充修正時 二、抽樣的幾個基本概念 1.樣本容量與樣本個數 （1）樣本容量：樣本是從總體中抽出的部分單位的集合，這個集合的大小稱為樣本容量，一般用n表示，它表明一個樣本中所包含的單位數。一般地，樣本單位數大于30個的樣本稱為大樣本，不超過30個的樣本稱為小樣本。 （2）樣本個數：又稱樣本可能數目，它是指從一個總體中可能抽取多少個樣本。樣本個數的多少與抽樣方法有關。 2.總體參數與樣本統計量 （1）總體參數：總體分布的數量特征就是總體參數，也是抽樣統計推斷的對

4、象。常見的總體參數有：總體的平均數指標，總體成數（比重）指標，總體分布的方差、標準差等等。 （2）樣本統計量：與總體參數對應的是樣本統計量。設（）是總體容量為n的樣本，若樣本函數（）中不含任何未知參數，則稱為一個統計量。例如就是一個統計量,稱為樣本均值（Sample mean），也是統計量,稱為樣本方差（Sample variance）， 3.重復抽樣與不重復抽樣 （1）重復抽樣：是指從總體中抽出一個樣本單位，記錄其標志值后，又將其放回總體中繼續(xù)參加下一次樣本單位的抽取。 （2）不重復抽樣：即每次從總體中抽取一個單位，登記后不放回原總體，不參加下一次抽樣。 第二節(jié) 抽樣推斷的方法 一、點估計

5、（一）點估計的概念及特點 參數估計：以樣本統計量對總體參數進行估計，有點估計和區(qū)間估計兩種。 點估計：直接以樣本統計量作為相應的總體參數的估計量。優(yōu)點:直接給出了總體參數的具體數值 缺點:未能反映誤差的大小 參數點估計有： （1）樣本均值估計總體均值 （2）樣本成數估計總體成數 （3）樣本方差估計總體方差 （二）估計的評價標準： （1）無偏性： 設是未知參數的一個點估計量，若滿足 即估計量的數學期望等于被估計參數則稱是的無偏估計量，否則稱為有偏估計量。需要注意的是，由于估計量是樣本的函數，樣本量是維隨機變量，所以對求平均是按樣本的概率分布求平均。無偏性是我們衡量點估計量好壞的一個評價標準，這個

6、評價標準的直觀意義如下：由于樣本的出現帶有隨機性，所以基于一次具體抽樣所得的參數估計值未必等于參數真值，這是由樣本的隨機性造成的。我們希望當大量使用這個估計量對參數進行估計時，一系列估計值的平均值應該與待估參數真值相等。這就從平均效果上對估計量的優(yōu)劣給出一個評價標準。 （2）有效性：設，均為未知參數的無偏估計量，如果對參數的一切可能取值有，則稱無偏估計量比有效一個無偏估計量并不意味著他就非常接近被估計的參數，他還必須與總體參數的離散程度比較小。對同一總體參數的兩個無偏點估計量，方差小者更有效。 （3）一致性：指隨著樣本單位數n的增大，樣本估計量將在概率意義下越來越接近于總體真實值若對于任意&g

7、t;0，有 二、區(qū)間估計法在參數估計中，雖然點估計可以給出未知參數的一個估計，但不能給出估計的精度。為此人們希望利用樣本給出一個范圍，要求它以足夠大的概率包含待估參數真值。這就是導致區(qū)間估計問題。所謂區(qū)間估計，就是估計總體參數的區(qū)間范圍，并要求給出區(qū)間估計成立的概率值。設是未知參數，是來自總體的樣本，構造兩個統計量，對于給定的（01），若、滿足 則稱隨機區(qū)間，是參數的置信水平為的置信區(qū)間, 稱為，的置信度，稱為置信限。這里有幾點需要說明：(1)區(qū)間，的端點，及長度都是樣本的函數，從而都是隨機變量，因此，是一個隨機區(qū)間。(2) 是說隨機區(qū)間，以的概率包含未知參數真值，區(qū)間長度描述估計的精度，置信

8、水平描述了估計的可靠度。(3)因為未知參數是非隨機變量，所以不能說落入區(qū)間，的概率是，而應是隨機區(qū)間，包含的概率是。通俗地說，在點估計的基礎上，給出總體參數的一個范圍稱為區(qū)間估計。 （二）總體均值的區(qū)間估計 1.正態(tài)總體且方差已知；或非正態(tài)總體、方差未知、大樣本情況下在這種情況下，樣本均值的抽樣分布呈正態(tài)分布，其數學期望為總體均值，方差為。則稱為總體均值在置信水平下的置信區(qū)間。u 區(qū)間估計步驟：1.計算樣本統計量2.計算抽樣平均誤差3.計算極限誤差4.確定置信區(qū)間5.估計總量指標l 注意抽樣方法的不同例保險公司從投保人中隨機抽取36人,計算得36人的平均年齡歲，已知投保人平均年齡近似服從正態(tài)分

9、布，標準差為7.2歲，試求全體投保人平均年齡的置信水平為99%的置信區(qū)間。解：查表得故全體投保人平均年齡的置信水平為99%的置信區(qū)間為36.41,42.59² 若總體方差未知，可用樣本方差S2代替即39.5±2.13=(37.37，41.63)，投保人平均年齡在90的置信水平下的置信區(qū)間為37.37歲41.63歲。2.正態(tài)總體、方差未知、小樣本情況下如果總體服從正態(tài)分布,無論樣本容量大小,樣本均值的抽樣分布都服從正態(tài)分布。只要總體方差已知，即使在小樣本情況下，也可以計算總體均值的置信區(qū)間。如果總體方差未知，需用樣本方差S2代替，在小樣本情況下，應用分布來建立總體均值的置信區(qū)

10、間。分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，他通常要比正態(tài)分布平坦和分散。隨著自由度的增大，分布逐漸趨于正態(tài)分布。正態(tài)總體、方差未知、小樣本情況下，總體均值在置信水平下的置信區(qū)間為： （重復抽樣條件下） （6.18） （不重復抽樣條件下） （6.19）其中為t分布臨界值，可以查t分布臨界值表得到 （三）成數的區(qū)間估計在大樣本（一般經驗規(guī)則：）條件下，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似。在這種情況下，數理統計已經證明如下結論：置信水平為的置信區(qū)間為： （重復抽樣） （不重復抽樣） 例某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例，采取重復抽樣方法隨機抽取了100名下崗職工，其中65人為女性。試以95的置信水平

11、估計該城市下崗職工中女性所占比例的置信區(qū)間。解：已知，根據公式得： 即65±9.35%=(55.65%，74.35%)，95的置信水平下估計該城市下崗職工中女性所占比例的置信區(qū)間為55.65%74.35%。例某企業(yè)共有職工1000人，企業(yè)準備實行一項改革，在職工中征求意見，采用不重復抽樣方法，隨機抽取200人作為樣本，調查結果顯示，由150人表示贊成這項改革，有50人表示反對。試以95的置信水平確定贊成改革的人數比例的置信區(qū)間。解：已知，根據公式得：即75±5.37%=(69.63%，80.37%)，95的置信水平下估計贊成改革的人數比例的置信區(qū)間為69.63%80.37%

12、。 三、樣本容量的確定 （一）影響樣本容量的意義在抽取樣本時樣本容量應多大是一個很實際的問題。樣本容量取得比較大，收集的信息就比較多，從而估計精度比較高，但進行觀測所投入的費用、人力及時間就比較多；樣本容量取得比較小，則投入的費用、人力及時間就比較少，但收集的信息也比較少，從而估計精度比較低。這說明精度和費用對樣本量的影響是矛盾的，不存在既使精度最高又使費用最省的樣本量。一個常用的準則是在使精度得到保證的前提下尋求使費用最省的樣本量。由于費用通常是樣本量的正向線性函數，故使費用最省的樣本量也就是使精度得到保證的最小樣本量。 （二）估計總體均值時樣本容量的確定重復抽樣條件下： 在簡單隨機不重復抽

13、樣條件下， 或S通常未知。一般按以下方法確定其估計值：過去的經驗數據；試驗調查樣本的S。 例 在某企業(yè)中采用簡單隨機抽樣調查職工月平均獎金額，設職工月獎金額服從標準差為10元的正態(tài)分布，要求估計的絕對誤差為3元，可靠度為95%，試問應抽多少職工？解：已知則即需抽取43名職工作為樣本進行調查。 （三）估計成數時樣本大小的確定在簡單隨機重復抽樣條件下，得到樣本容量： （重復抽樣條件下）在簡單隨機不重復抽樣條件下，我們可以得出估計總體比例時樣本容量的計算公式為：（不重復抽樣條件下）例根據以往的生產統計，某種產品的合格率為90%，現要求絕對誤差為5%，在置信水平為95%的置信區(qū)間時，應抽取多少個產品作

14、為樣本？已知， 則=u 必要樣本容量的影響因素1.總體方差的大??；2.允許誤差范圍的大小；3.概率保證程度；4.抽樣方法；5.抽樣的組織方式。 第三節(jié) 抽樣的組織形式Ø 抽樣的組織形式有純隨機抽樣、機械抽樣、類型抽樣、整群抽樣和多階段抽樣。一、純隨機抽樣1.含義：對總體單位逐一編號，然后按隨機原則直接從總體中抽出若干單位構成樣本2.特點：最符合抽樣調查的隨機原則，是基本形式。簡便易行。3.范圍：僅適用于單位數不多、標志變異較小、分布較均勻的總體二、類型抽樣1.含義：先將全及總體中的所有單位按某一主要標志分組，然后在各組中采用純隨機抽樣或機械抽樣方式，抽取一定數目的調查單位構成所需的樣

15、本。又叫分層抽樣或分類抽樣。2.方法：A比例分配法 ni/n=Ni/NB 最佳分配法 根據各層單位的變異程度的大小來分配C經濟分配法 除了考慮單位數目和變異程度外，還有調查費用。3.特點：能保證分布的均勻性，提高樣本的代表性，誤差較??；能同時推斷總體指標和各子總體的指標三、機械抽樣1.含義：是先將全及總體所有單位按某一標志順序編號排列，然后按照固定順序和相等的空間距離或間隔，從中抽取樣本單位的一種抽樣組織方式。又叫等距抽樣或系統抽樣。2.方法：根據需要計算抽取各個樣本單位之間的距離或間隔；然后，按此間隔依次抽取必要的樣本單位。3.特點：能保證樣本較均勻地分布。是不重復的抽樣。4.形式：按無關標志排隊，其抽樣效果相當于簡單隨機抽樣；按有關標志排隊，其抽樣效果相當于類型抽樣。四、整群抽樣1.含義：將全及總體單位劃分為若干群或組，然后按純隨機抽樣或等局抽樣方式，從中成群或成組的抽取樣本單位