第23章一元二次方程-

1、23.1 一元二次方程（第1課時）學習目標1、經(jīng)歷由實際問題抽象出一元二次方程的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型2、了解一元二次方程的概念和它的一般形式，會根據(jù)實際問題列一元二次方程學習重、難點重點：一元二次方程的概念和一般形式難點：正確理解和掌握一般形式中的a0，“項”和“系數(shù)”學習過程：一、情境創(chuàng)設1、小區(qū)在每兩幢樓之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，則綠地的長和寬各為多少？2、學校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預計到明年年底增加到7.2萬冊，求這兩年的年平均增長率？3、一個正方形的面積的2倍等于15，這個正方形的邊長是多少？4、一個數(shù)比另一個數(shù)

2、大3，且兩個數(shù)之積為10，求這兩個數(shù)。二、探索活動上述問題可用方程解決：問題1中可設寬為x米，則可列方程： x（x+10）= 900問題2中可設這兩年的平均增長率為x，則可列方程： 5（1x）2 = 7.2問題3中可設這個正方形的連長為x，則可列方程： 2x2 = 15問題4中可設較小的一個數(shù)為x，則可列方程： x（x3）= 10觀察上面列出的4個方程，它們有哪些相同點？（從方程的概念看）歸納：像上述方程這樣，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程。注：符合一元二次方程即符合三個條件：一個未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)為2；整式方程任何一個關于x的一元二次方程都可以化成下面

3、的形式：ax2bxc = 0（a、b、c是常數(shù)，且a0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分別叫做二次項、一次項和常數(shù)項，a、b分別叫二次項系數(shù)和一次項系數(shù)。三、例題教學例 1 根據(jù)題意，列出方程：（1）某學校圖書館去年年底有圖書1萬冊，預計到明年年底增加到1.44萬冊。求這兩年圖書的年平均增長率。（答案：設這兩年圖書館的年平均增長率是x，根據(jù)題意，得1（1x）2=1.44）（2）一塊面積為600平方厘米的長方形紙片，把它的一邊剪短10厘米，恰好得到一個正方形。求這個正方形的連長。（答案：設這個正方形的連長是x厘米，根據(jù)題意，得x（x10）= 600）例2 判斷下列關于x

4、的方程是否為一元二次方程： 2（x21）= 3y （x3）2= （x5）2 mx23x2 = 0 （a21）x2（2a1）x5a = 0例3 把下列方程化成一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項： 2（x21）= 3 x 3（x3）2=（x2）27三、課堂練習P81 練習 1、2四、課堂小結引導學生總結：1、一元二次方程定義的三要素。2、一元二次方程的一般形式及二次項系數(shù)不能為零。五、作業(yè)P81 練習 1、2 P82 習題4.1 1六、課后感23.2.1 一元二次方程的解法（第1課時）學習目標1、了解形如（xm）2= n（n0）的一元二次方程的解法 直接開平方法;2、會用直接開平方

5、法解一元二次方程.學習重、難點重點：會用直接開平方法解一元二次方程;難點：理解直接開平方法與平方根的定義的關系.學習過程：一、情境創(chuàng)設我們曾學習過平方根的意義及其性質，現(xiàn)在來回憶一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性質?如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根。用式子表示：若x2=a，則x叫做a的平方根。平方根有下列性質：(1)一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根是互為相反數(shù)的；(2)零的平方根是零；(3)負數(shù)沒有平方根。如何求出適合等式x2=4的x的值呢?二、探索活動根據(jù)平方根的定義，由x24可知，x就是4的平方根，因此x的值為2和2即 根據(jù)平方根的定義，得 x24 x2 即此一元二次

6、方程的解為： x1=2，x2 =2這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。三、例題教學例1 解下列方程：（1）x22 （2）4x210分析：第1題直接用開平方法解；第2題可先將1移項，再兩邊同時除以4化為x2a的形式，再用直接開平方法解之。例 2 解下列方程： （x1）2= 2 （x1）24 = 0 12（3x）23 = 0分析：第1小題中只要將（x1）看成是一個整體，就可以運用直接開平方法求解；第2小題先將4移到方程的右邊，再同第1小題一樣地解；第3小題先將3移到方程的右邊，再兩邊同除以12，再同第1小題一樣地去解即可。小結：如果一個一元二次方程具有（xm）2= n（n0）的形式，那么就可

7、以用直接開平方法求解。（用直接開平方法解一元二次方程就是將一元二次方程的左邊化為一個完全平方式，右邊化為常數(shù)，且要養(yǎng)成檢驗的習慣）三、課堂練習P84 練習 1、2、3四、課堂小結引導學生總結：1、用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟；2、任意一個一元二次方程都可以用直接開平方法解嗎？五、作業(yè)P84 練習1、2 P93 習題4.2 1六、課后感23.2.2 一元二次方程的解法（第2課時）學習目標1、經(jīng)歷探究將一元二次方程的一般（xm）2= n（n0）形式的過程，進一步理解配方法的意義2、會用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程，體會轉化的思想方法學習重、難點重點：使學生掌握配方法，解一元二次方

8、程難點：把一元二次方程轉化為的（xm）2= n（n0）形式學習過程：一、情境創(chuàng)設我們已經(jīng)學過了用直接開平方法解形如（xm）2= n（n0）的一元二次方程，那么如何解方程x26x4 = 0呢?二、探索活動我們能否將方程x26x4 = 0轉化為（xm）2= n的形式呢？ 先將常數(shù)項移到方程的右邊，得 x26x = 4 即 x22x3 = 4在方程的兩邊加上一次項系數(shù)6的一半的平方，即32后，得 x22x3 32 = 432 （x3）2 = 5 解這個方程，得 x3 = 所以 x1 = 3 x2 = （注：可以多舉幾例，綜合得出“兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方”的結論）由此可見，只要先把一個一元二次方

9、程變形為（xm）2= n的形式（其中m、n都是常數(shù)），如果n0，再通過直接開平方法求出方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法。三、例題教學例1 將下列各進行配方：8x_（x_）2 5x_（x_）2x_（x_）2 6x_（x_）2分析：本題應用“方程兩同時加上一次項系數(shù)一半的平方”來配方。例2 解下列方程：（1） x24x3 = 0 （2）x23x1 = 0小結：用配方法解一元二次方程的一般步驟： 1、把常數(shù)項移到方程右邊；2、在方程的兩邊各加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊成為完全平方；3、利用直接開平方法解之。 思考：為什么在配方過程中，方程的兩邊總是加上一次項系數(shù)一半的平方？四、課堂

10、練習P87 練習 1、2、3五、課堂小結引導學生總結：1、配方法解一元二次方程的作用是什么？配方時要注意什么？2、用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？六、作業(yè)P87 練習1、2 P93 習題4.2 2、3七、教后感.23.2.3 一元二次方程的解法（第3課時）學習目標1、掌握用配方法解一元二次方程的基本步驟和方法2、會正確運用配方法解一元二次方程，進一步體會配方法是一種重要的數(shù)學方法學習重、難點重點：使學生掌握用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程難點：把一元二次方程轉化為的（xm）2= n（n0）形式學習過程：一、情境創(chuàng)設我們已經(jīng)學過了用直接開平方法與配方法解一元二次方程，那么如何解方

11、程2x25x2 = 0呢?二、探索活動由于該方程不是（xm）2= n（n0）的形式，因此不能用直接開平方法解，而且也不符合上節(jié)課用配方法所解的方程的形式，但如果將方程兩邊同時除以二次項系數(shù)的話就和上節(jié)課所學的一樣了。即方程兩邊同時除以2，得 x2x 1= 0再用上節(jié)課的知識解決即可。小結：對于二次項系數(shù)不為1的一元二次方程，我們可以先將兩邊同時除以二次項系數(shù)，再利用配方法求解。三、例題教學例 1 解下列方程： 3 x28x1 = 0 3 x24x1 = 0分析：第1小題先將方程兩邊同時除以3，將二次項系數(shù)化為1，再用配方法解之；而第2小題的二次項系數(shù)是負數(shù)，同樣只需兩邊同除以二次項系數(shù)3，再用

12、配方法解之。小結：用配方法解一元二次方程的一般步驟： 1、方程兩邊同時除以二次項系數(shù)；2、把常數(shù)項移到方程右邊；3、在方程的兩邊各加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊成為完全平方；4、利用直接開平方法解之。三、課堂練習P88 練習 1四、課堂小結引導學生總結：1、配方法解一元二次方程的作用是什么？配方時要注意什么？2、用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？五、作業(yè)P88 練習1 P93 習題4.2 3六、課后感23.2.4 一元二次方程的解法（第4課時）學習目標1、體驗用配方法推導一元二次方程求根公式的過程，明確運用公式求根的前提條件是b24ac02、會用公式法解一元二次方程學習重、難點重點：

13、掌握一元二次方程的求根公式，并應用它熟練地解一元二次方程難點：求根公式的結構比較復雜，不易記憶；系數(shù)和常數(shù)為負數(shù)時，代入求根公式常出符號錯誤學習過程：一、情境創(chuàng)設1、用配方解一元二次方程的步驟是什么？2、用配方法結合直接開平方法解一元二次方程，計算比較麻煩，能否研究出一種更好的方法，迅速求得一元二次方程的實數(shù)根呢？3、如何解一般形式的一元二次方程ax2bxc = 0（a0）？二、探索活動能否用配方法把一般形式的一元二次方程ax2bxc = 0（a0）轉化為呢？回顧用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的過程，讓學生分組討論交流，達成共識：因為，方程兩邊都除以，得 移項，得 配方，得 即 當，且時，大

14、于等于零嗎？讓學生思考、分析，發(fā)表意見，得出結論：當時，因為，所以，從而到此，你能得出什么結論？讓學生討論、交流，從中得出結論，當時，一般形式的一元二次方程的根為，即。由以上研究的結果，得到了一元二次方程的求根公式： （）這個公式說明方程的根是由方程的系數(shù)、所確定的，利用這個公式，我們可以由一元二次方程中系數(shù)、的值，直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。思考：當時，方程有實數(shù)根嗎？三、例題教學例 1 解下列方程： x23x2 = 0 2 x27x = 4分析：第2小題要先將方程化為一般形式再用求根公式求解。四、課堂練習1、P90 練習 1、22、思維拓展：用配方法解方程x2pxq =

15、0(p24q0)五、課堂小結引導學生總結：1、用公式法解一元二次方程時要注意什么？2、任何一個一元二次方程都能用公式法求解嗎？舉例說明。3、若解一個一元二次方程時，b24ac0，請說明這個方程解的情況。五、作業(yè)后進生：P90 練習1 優(yōu)生：P93 習題4.2 2、3六、課后感23.3 實踐與探索教學設計（第1課時）教學目標： 1、學生在已有的一元二次方程的學習基礎上，能夠對生活中的實際工資問題進行數(shù)學建模解決問題，從而進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效數(shù)學模型。2、讓學生積極主動參與課堂自主探究和合作交流，并在其中體驗發(fā)現(xiàn)問題、提出問題及解決問題的全過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用能力。3、學生感

16、受數(shù)學的嚴謹性，形成實事求是的態(tài)度及進行質疑和激發(fā)思考的習慣；獲得成功的體驗和克服困難的經(jīng)歷，增進應用數(shù)學的自信心。重點難點：1、重點：利用一元二次方程對實際問題進行數(shù)學建模，從而解決實際問題。2、難點：學生分析方程的解，自主探索得到解決實際問題的最佳方案。教學過程：一、鞏固舊知識1、解方程，并敘述解一元二次方程的解法。2、說說你對實踐問題的解決時，有何經(jīng)驗，有何體會？二、創(chuàng)設問題情境 小明把一張邊長為的正方形硬紙板的四周剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方形盒子。 （1）如果要求長方體的底面面積為81cm2，那么剪去的正方形邊長為多少？（2）如果按下表列出的長方體底面面積的數(shù)據(jù)要

17、求，那么剪去的正方形邊長會發(fā)生什么樣的變化？折合成的長方體的體積又會發(fā)生什么樣的變化？三、嘗試解決問題 1、長方形的底面、正方形的邊長與正方形硬紙板中的什么量有關系？ （長方形的底面正方形的邊長與正方形硬紙板的邊長有關系） 2、長方形的底面正方形的邊長與正方形硬紙板的邊長存在什么關系？ （長方形的底面正方形的邊長等于正方形硬紙板的邊長減去剪去的小正方形邊長的2倍） 3、你能否用數(shù)量關系表示出這種關系呢？并求出剪去的小正方形的邊長。解：設剪去的正方形邊長為，依題意得：，因為正方形硬紙板的邊長為，所以剪去的正方形邊長為。4、請問長方體的高與正方形硬紙板中的什么量有關系？求出此時長方體的體積。（長方

18、體的高與正方形硬紙板式剪去的小正方形的邊長一樣；體積為）5、完成表格，與你的同伴一起交流，并討論剪去的正方形邊長發(fā)生什么樣的變化？折合成的長方體的體積又會發(fā)生什么樣的變化？6、在你觀察到的變化中、你感到折合而成的長方體的體積會不會有最大的情況？以剪去的正方形的邊長為自變量，折合而成的長方體體積為函數(shù)，并在直角坐標系中畫出相應的點，看看與你的感覺是否一致。四、試一試 如圖，的邊，高，長方形DEFG的一邊EF落在BC上，頂點D、G分別落在AB和AC上，如果這長方形面積，試求這長方形的邊長。五、拓展練習什么情況下，長方形的面積最大。小結：1、談談本節(jié)的收獲。2、談談本節(jié)的體會。3、談談本節(jié)的疑惑。作

19、業(yè)：42 習題122.3實踐與探索（第2課時）教學目標： 1、使學生利用一元二次方程的知識解決實際問題，學會將實際問題轉化為數(shù)學模型。2、讓學生經(jīng)歷由實際問題轉化為數(shù)學模型的過程，領悟數(shù)學建模思想，體會如何尋找實際問題中等量關系來建立一元二次方程。3、通過合作交流進一步感知方程的應用價值，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力，通過交流互動，逐步培養(yǎng)合作的意識及嚴謹?shù)闹螌W精神。重點難點：1、重點：列一元二次方程解決實際問題。2、難點：尋找實際問題中的相等關系。教學過程：一、考考你1、有一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)學字比個位上的數(shù)字大3，這兩個數(shù)位上的數(shù)字之積等于這兩位數(shù)的，求這個兩位數(shù)。（這個兩位數(shù)是63

20、）2、如圖，一個院子長，寬，要在它的里沿三邊辟出寬度相等的花圃，使花圃的面積等于院子面積的，試求這花圃的寬度。（花圃的寬度為）二、創(chuàng)設問題情境 陽江市市政府考慮在兩年后實現(xiàn)市財政凈收入翻一番，那么這兩年中財政凈收入的平均年增長率應為多少？三、嘗試探索，合作交流，解決問題 1、翻一番，你是如何理解的？ （翻一番，即為原凈收入的2倍，若設原值為1，那么兩年后的值就是2） 2、“平均年增長率”你是如何理解的。 （“平均年增長率”指的是每一年凈收入增長的百分數(shù)是一個相同的值。即每年按同樣的百分數(shù)增加，而增長的絕對數(shù)是不相同的）3、獨立思考后，小組交流，討論。4、展示成果，相互補充。解：設平均年增長率應

21、為，依題意，得 ， ，因為增長率不能為負數(shù)所以增長率應為。四、拓展應用若調整計劃，兩年后的財政凈收入值為原值的1.5倍、1.2倍、，那么兩年中的平均年增長率相應地調整為多少？又若第二年的增長率為第一年的2倍，那么第一年的增長率為多少時可以實現(xiàn)市財政凈收入翻一番？獨立思考完成后，與同伴交流，教師分析示范與學生交流。五、做一做 1、某鋼鐵廠去年1月某種鋼產(chǎn)量為5000噸，3月上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？2、某種藥品，原來每盒售價96元，由于兩次降價；現(xiàn)在每盒售價54元。平均每次降價百分之幾？小結：談談你對本節(jié)所探討的知識有何體會，你能否結合你的體會編制一道應用題，在小組內交流。請一些小組展示成果。作業(yè)：42 習題2、3、4、52.3 實踐與探索（第3課時）教學目標： 1、引導學生在已有的一元二次方程解法的基礎上，探索出一元二次方程根與系數(shù)的關系，及其此關系的運用。2、通過觀察、實踐、討論等活動，經(jīng)歷從發(fā)現(xiàn)問題，發(fā)現(xiàn)關系的過程。3、在積極