青島版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二章解直角三角形復(fù)習(xí)

1、三邊之間的關(guān)系三邊之間的關(guān)系a a2 2b b2 2c c2 2（勾股定理）；（勾股定理）；銳角之間的關(guān)系銳角之間的關(guān)系 A A B B 9090邊角之間的關(guān)系（銳角三角函數(shù)）邊角之間的關(guān)系（銳角三角函數(shù)）tanAtanAa ab bsinA sinA ac1、cosAcosAb bc cabc解直角三角形的依據(jù)解直角三角形的依據(jù)2、30，45，60的三角函數(shù)值的三角函數(shù)值2232333123222121450450300600在解直角三角形及應(yīng)用時(shí)經(jīng)常接觸到的一些概念在解直角三角形及應(yīng)用時(shí)經(jīng)常接觸到的一些概念l lh（2 2）坡度）坡度tan tan h hl l概念反饋概念反饋（1 1）仰

2、角和俯角）仰角和俯角視線視線鉛鉛垂垂線線水平線水平線視線視線仰角仰角俯角俯角（3 3）方位角）方位角30304545B BO OA A東東西西北北南南為坡角為坡角解直角三角形解直角三角形：(如圖如圖)1.已知已知a,b.解直角三角形解直角三角形(即求：即求：AA，BB及及C C邊邊) )2. 已知已知A，a.解直角三角形解直角三角形 3.已知已知A，b. 解直角三角形解直角三角形4. 已知已知A，c. 解直角三角形解直角三角形bABCac只有下面兩種情況：只有下面兩種情況：【】題型題型1 三角函數(shù)三角函數(shù)1. 在在RtABC中，中，C=90，AB=5，AC=4，則則sinA的值為的值為_2.

3、在在RtABC中，中，C =90，BC=4，AC=3，則則cosA的值為的值為_3. 如圖如圖1，在，在ABC中，中，C =90，BC=5，AC=12，則，則cosA等于（等于（ ） 1312.,512.,135.,122.DCBA35 35D4. 如圖如圖2，在，在RtABC中，中，ACB =90，CDAB于點(diǎn)于點(diǎn)D，已知，已知AC=5BC=2，那么，那么sinABC=（ ）， A522 55.3352BCD AtanAED BcotAED CsinAED DcosAED5. 如圖如圖3所示，所示，AB是是 O的直的直徑，弦徑，弦AC、BD相交于相交于E，則，則CDAB等于（等于（ ）6計(jì)算

4、：計(jì)算：|-28|+（cos60-tan30）+A D 123題型題型2 解直角三角形解直角三角形1.如圖如圖4，在矩形，在矩形ABCD中中DEAC于于E， 設(shè)設(shè)ADE=a， 且且cos=35AB=4，則，則AD的長(zhǎng)為（的長(zhǎng)為（ ），162016.335CDA3 B2.2002年年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖如圖5所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形 若大正方若大正方形的面積是形的面積是13，小正方形的面積是，小正方形的面積是1，直角三角，直角三角形的較長(zhǎng)直

5、角邊為形的較長(zhǎng)直角邊為a，較短直角邊為，較短直角邊為b，則則a+b的值為（的值為（ ） A35 B43 C89 D97BB題型題型3 解斜三角形解斜三角形1.如圖如圖6所示，已知：在所示，已知：在ABC中，中，A=60，B=45，AB=8， 求求ABC的面積（結(jié)果的面積（結(jié)果可保留根號(hào)）可保留根號(hào)）2.如圖，海上有一燈塔如圖，海上有一燈塔P，在它周圍，在它周圍3海里處有暗礁，海里處有暗礁， 一艘客輪以一艘客輪以9海海里里/時(shí)的速度由西向東航行，行至?xí)r的速度由西向東航行，行至A點(diǎn)點(diǎn)處測(cè)得處測(cè)得P在它的北偏東在它的北偏東60的方向，的方向，繼續(xù)行駛繼續(xù)行駛20分鐘后，到達(dá)分鐘后，到達(dá)B處又測(cè)得處又

6、測(cè)得燈塔燈塔P在它的北偏東在它的北偏東45方向，問客方向，問客輪不改變方向繼續(xù)前進(jìn)有無(wú)觸礁的危輪不改變方向繼續(xù)前進(jìn)有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？險(xiǎn)？解：過C作CDAB于D， 設(shè)CD=x在RtACD中，cot60=ADCD3 在RtBCD中，BD=CD=x 33x+x=8 解得x=4（3-）33=16（3-）=48-16，33AD=x12123ABCD=84（3-SABC=）2解：過P作PCAB于C點(diǎn)，據(jù)題意知： AB=926=3，PAB=90-60=30， PBC=90-45=45，PCB=90 PC=BC 在RtAPC中， PC3 客輪不改變方向繼續(xù)前進(jìn)無(wú)觸礁危險(xiǎn)3PCPCPCACABBCPC tan30

7、=，333 33,32PCPCPC 即=，3.如圖，某校九年級(jí)如圖，某校九年級(jí)3班的一個(gè)學(xué)生小組進(jìn)行測(cè)班的一個(gè)學(xué)生小組進(jìn)行測(cè)量小山高度的實(shí)踐活動(dòng)部分同學(xué)在山腳點(diǎn)量小山高度的實(shí)踐活動(dòng)部分同學(xué)在山腳點(diǎn)A測(cè)測(cè)得山腰上一點(diǎn)得山腰上一點(diǎn)D的仰角為的仰角為30，并測(cè)得，并測(cè)得AD 的長(zhǎng)的長(zhǎng)度為度為180米；另一部分同學(xué)在山頂點(diǎn)米；另一部分同學(xué)在山頂點(diǎn)B測(cè)得山腳測(cè)得山腳點(diǎn)點(diǎn)A的俯角為的俯角為45，山腰點(diǎn)，山腰點(diǎn)D的俯角為的俯角為60請(qǐng)請(qǐng)你幫助他們計(jì)算出小山的高度你幫助他們計(jì)算出小山的高度BC（計(jì)算過程和（計(jì)算過程和結(jié)果都不取近似值）結(jié)果都不取近似值） 在RtADF中，AD=180，DAF=30， DF=90

8、，AF=9033解：如圖設(shè)BC=x，3 解得x=90+90（x-90） FC=AC-AF=x-90 BAC=ABC=45， AC=BC=x BE=BC-EC=x-90 在RtBDE中，BDE=60， DE=33333BE=（x-90）=x-90333 DE=FC， 4.如圖，在觀測(cè)點(diǎn)如圖，在觀測(cè)點(diǎn)E測(cè)得小山上鐵塔頂測(cè)得小山上鐵塔頂A的仰角的仰角為為60，鐵塔底部，鐵塔底部B的仰角為的仰角為45已知塔高已知塔高AB=20m，觀察點(diǎn)，觀察點(diǎn)E到地面的距離到地面的距離EF=35m，求，求小山小山BD的高（精確到的高（精確到0.1m，3 1.732）4解：如圖，過C點(diǎn)作CEAD于Cx-x 解得x=10

9、AB=AC-BC， 即20=33BD=BC+CD=BC+EF3設(shè)BC=x，則EC=BC=x 在RtACE中，AC=x，+103+10+3545+101.73262.3（m） 所以小山BD的高為623m=10題型題型4 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例1有人說，數(shù)學(xué)家就是不用爬樹或把樹砍倒就有人說，數(shù)學(xué)家就是不用爬樹或把樹砍倒就能夠知道樹高的人小敏想知道校園內(nèi)一棵大樹能夠知道樹高的人小敏想知道校園內(nèi)一棵大樹的高（如圖的高（如圖1），她測(cè)得），她測(cè)得CB=10米，米，ACB=50，請(qǐng)你幫助她算出樹高，請(qǐng)你幫助她算出樹高AB約為約為_米（注：米（注：樹垂直于地面；樹垂直于地面；供選供選用數(shù)據(jù)：用數(shù)據(jù)：sin500.

10、77，cos500.64，tan501.2）12 2.如圖如圖2，小華為了測(cè)量所住樓房的高度，他請(qǐng)，小華為了測(cè)量所住樓房的高度，他請(qǐng)來(lái)同學(xué)幫忙，測(cè)量了同一時(shí)刻他自己的影長(zhǎng)和來(lái)同學(xué)幫忙，測(cè)量了同一時(shí)刻他自己的影長(zhǎng)和樓房的影長(zhǎng)分別是樓房的影長(zhǎng)分別是0.5米和米和15米，已知小華的身米，已知小華的身高為高為1.6米，米，那么分所住樓房的高度那么分所住樓房的高度為為_米米3如圖如圖3，兩建筑物，兩建筑物AB和和CD的水平距離為的水平距離為30米，從米，從A點(diǎn)測(cè)點(diǎn)測(cè)得得D 點(diǎn)的俯角為點(diǎn)的俯角為30，測(cè)得，測(cè)得C點(diǎn)的俯角為點(diǎn)的俯角為60，則建筑物，則建筑物CD的高為的高為_米米48 203 4.如圖，花叢

11、中有一路燈桿如圖，花叢中有一路燈桿AB在燈光下，小明在燈光下，小明在在D 點(diǎn)處的影長(zhǎng)點(diǎn)處的影長(zhǎng)DE=3米，沿米，沿BD方向行走到達(dá)方向行走到達(dá)G點(diǎn)，點(diǎn)，DG=5米，這時(shí)小明的影長(zhǎng)米，這時(shí)小明的影長(zhǎng)GH=5米米 如如果小明的身高為果小明的身高為1.7米，求路燈桿米，求路燈桿AB的高度（精的高度（精確到確到0.1米）米）1.73,3CDDEABBExy即1.75,10FGGHABBExy即4解：設(shè)AB=x米，BD=y米 由CDEABE得 由FGHABH得 由，得y=7.5，x=5.956.0米 所以路燈桿AB的高度約為6.0米5.如圖，在兩面墻之間有一個(gè)底端在如圖，在兩面墻之間有一個(gè)底端在A點(diǎn)的梯

12、點(diǎn)的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在B點(diǎn)；點(diǎn)；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在D點(diǎn)已知點(diǎn)已知BAC= 65，DAE=45，點(diǎn)，點(diǎn)D到地面的垂直距離到地面的垂直距離DE=3 m，求點(diǎn)，求點(diǎn)B到地面的垂直距離到地面的垂直距離BC（精確到（精確到0.1m）22DEADBCAB5解：在RtADE中，DE=3DAE=45， sinDAE=AD=6 又AD=AB， 在RtABC中，sinBAC=BC=ABsinBAC=6sin655.4 答：點(diǎn)B到地面的垂直距離BC約為5.4米，6.如圖，我市某廣場(chǎng)一燈柱如圖，我市某廣場(chǎng)一燈柱A

13、B被一鋼纜被一鋼纜CD固固定，定，CD 與地面成與地面成40夾角，且夾角，且DB=5m，現(xiàn)要，現(xiàn)要在在C點(diǎn)上方點(diǎn)上方2m處加固另一條鋼纜處加固另一條鋼纜ED，那么，那么EB的高為多少米？（的高為多少米？（ 結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字）結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字）6解：在RtBCD中，BDC=40，DB=5m， tanBDC=BCDB BC=DBtanBDC=5tan404.195 EB=BC+CE=4.195+26.20 答：略，7.如圖，在電線桿上的如圖，在電線桿上的C處引位線處引位線CE、CF固定固定電線桿，拉線電線桿，拉線CE和地面成和地面成60角，在離電線桿角，在離電線桿6米的米的B處安置測(cè)角儀，

14、在處安置測(cè)角儀，在A處測(cè)得電線桿處測(cè)得電線桿C處的仰處的仰角為角為30，已知測(cè)角儀，已知測(cè)角儀AB高為高為1.5米，求拉線米，求拉線CE的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）7解：過點(diǎn)A作AHCD，垂足為H 由題意可知四邊形ABDH為矩形， CAH=30， AB=DH=1.5，BD=AH=6 在RtACH中，tanCAH=CHAH333 ， CH=AHtanCAH=6tan30=6=2CDCE在RtCDE中 ， CED=60，sinCED=2 31.5sin6032CDCE=3=（4+）（米）3DH=1.5，CD=2+1.5 答：拉線CE的長(zhǎng)為（4+3）米8已知：如圖，在山腳的已知：如圖，在

15、山腳的C處測(cè)得山頂處測(cè)得山頂A的仰的仰角為角為45，沿著坡度為，沿著坡度為30的斜坡前進(jìn)的斜坡前進(jìn)400米到米到D處（即處（即DCB=30，CD=400米），測(cè)得米），測(cè)得A的的仰角為仰角為60，求山的高度，求山的高度AB9.如圖，在一個(gè)坡角為如圖，在一個(gè)坡角為15的斜的斜坡上有一棵樹，高為坡上有一棵樹，高為AB當(dāng)太當(dāng)太陽(yáng)光與水平線成陽(yáng)光與水平線成50時(shí)，測(cè)得該時(shí)，測(cè)得該樹在斜坡的樹影樹在斜坡的樹影BC的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為7m，求樹高（精確到求樹高（精確到0.1m）在矩形DEBF中，BE=DF=200米， 在RtACB中，ACB=45，AB=BC， 即8解：如圖，作DEAB于E，作DFBC于F，在Rt

16、CDF中DCF=30，CD=400米， DF=CDsin30= 400=200（米）1232CF=CDcos30=400=200 （米）3+xx+200=20033x=200， AB=AE+BE=（200+200）米在RtADE中，ADE=60，設(shè)DE=x米， AE=tan60 x=3x（米）3 BCD=15， ACD=50， 在RtCDB中， CD=7cos15， BD=7sin15 在RtCDA中， AD=CDtan50=7cos15tan50 AB=AD-BD =（7cos15tan50-7sin15） =7（cos15tan50-sin15）6.2（m） 答：樹高約為6.2m9解：如圖

17、，過點(diǎn)C作水平線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，則ADCD題型題型5 綜合與創(chuàng)新綜合與創(chuàng)新1.小明騎自行車以小明騎自行車以15千米千米/小時(shí)的速度在公路上向小時(shí)的速度在公路上向正北方向勻速行進(jìn)，如圖正北方向勻速行進(jìn)，如圖1，出發(fā)時(shí)，在，出發(fā)時(shí)，在B點(diǎn)他點(diǎn)他觀察到倉(cāng)庫(kù)觀察到倉(cāng)庫(kù)A在他的北偏東在他的北偏東30處，騎行處，騎行20分鐘分鐘后到達(dá)后到達(dá)C點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)此時(shí)這座倉(cāng)庫(kù)正好在他的東南點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)此時(shí)這座倉(cāng)庫(kù)正好在他的東南方向，則這座倉(cāng)庫(kù)到公路的距離為方向，則這座倉(cāng)庫(kù)到公路的距離為_千千米（參考數(shù)據(jù)：米（參考數(shù)據(jù)：31.732，結(jié)果，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）保留兩位有效數(shù)字）1.8 2.先將一矩形先將一矩形ABC

18、D置于直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)置于直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)A 與坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，邊與坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，邊AB、AD分別落在分別落在x軸、軸、y軸上（如圖軸上（如圖2），）， 再將此矩形在坐標(biāo)平再將此矩形在坐標(biāo)平面內(nèi)按逆時(shí)針方向繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)面內(nèi)按逆時(shí)針方向繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)30（如圖（如圖3），），若若AB=4，BC=3，則圖（，則圖（2）和圖（）和圖（3）中點(diǎn)）中點(diǎn)B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_，點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_3答案：圖（2）中：B（4，0），圖（3）中：B（2 ，2）；4 33 3 34,22圖（2）中：C（4，3），圖（3）中：C（）3.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小敏、小穎分別畫了數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小敏、小穎分別畫了ABC

19、和和DEF， 數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫的三角數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫的三角形面積記作形面積記作SABC，小穎畫的三角形面積記作，小穎畫的三角形面積記作SDEF，那么你認(rèn)為（，那么你認(rèn)為（ ）ASABC SDEF BSABC SDEF CSABC =SDEF D不能確定不能確定小敏畫的三角形 小穎畫的三角形C4.已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AD是邊是邊BC上的高，上的高，E 為邊為邊AC 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BC= 14，AD=12，sinB=，求：（，求：（1）線段）線段DC的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；45（2）tanEDC的值的值125ADCDCD=BC-BD=14-9=5（2）E是RtADC斜邊AC

20、的中點(diǎn)， DE=EC，EDC=C tanEDC=tanC=124sin5ADB4解：（1）在RtABD中，AB=1522ABADBD=95.某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)土坡，坡上面是一某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)土坡，坡上面是一塊平地，塊平地， 如圖所示，如圖所示，BCAD，斜坡，斜坡AB長(zhǎng)長(zhǎng)22m，坡角坡角BAD=68，為了防止山體滑坡，保障安全，為了防止山體滑坡，保障安全， 學(xué)校決定對(duì)該土坡進(jìn)行改造經(jīng)地質(zhì)人員勘測(cè)，學(xué)校決定對(duì)該土坡進(jìn)行改造經(jīng)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過當(dāng)坡角不超過50時(shí)，時(shí)， 可確保山體不滑坡可確保山體不滑坡（1）求改造前坡頂與地面的距離求改造前坡頂與地面的距離BE的長(zhǎng)（精確到的長(zhǎng)（

21、精確到0.1m）；（）；（2）為確保安全，學(xué)校計(jì)劃改造時(shí)保持）為確保安全，學(xué)校計(jì)劃改造時(shí)保持坡腳坡腳A不動(dòng)，坡頂不動(dòng)，坡頂B沿沿BC削進(jìn)到削進(jìn)到F點(diǎn)處，點(diǎn)處， 問問BF至至少少是多少米（精確到是多少米（精確到0.1m）？）？（參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)：sin680.927 2，cos680.374 6，tan682.475 1，tan500.766 0，cos500.642 8，tan501.191 8）5解：如圖，（1）作BEAD，E為垂足AE=ABcos68=22cos688.24， BF=AG-AE=8.888.9 （m） 即BF至少是8.9m則BE=ABsin68=22sin6820.40=

22、20.4（m）（2）作FGAD，G為垂足，連結(jié)FA，則FG=BE AG=tan50FG=17.12，1.73）6.如圖，小島如圖，小島A在港口在港口P的南偏西的南偏西45方向，距方向，距離港口離港口81海里處甲船從海里處甲船從A出發(fā)，沿出發(fā)，沿AP方向以方向以9海里海里/時(shí)的速度駛向港口，乙船從港口時(shí)的速度駛向港口，乙船從港口P 出發(fā)，出發(fā)， 沿南偏東沿南偏東60方向，以方向，以18海里海里/時(shí)的速度駛離時(shí)的速度駛離港口，現(xiàn)兩船同時(shí)出發(fā)，港口，現(xiàn)兩船同時(shí)出發(fā)，（1）出發(fā)后幾小時(shí)兩船與港口）出發(fā)后幾小時(shí)兩船與港口P的距離相等？的距離相等？（2）出發(fā)后幾小時(shí)乙船在甲船的正東方向？）出發(fā)后幾小時(shí)乙船

23、在甲船的正東方向？（結(jié)果精確到（結(jié)果精確到0.1小時(shí)）小時(shí)）（參考數(shù)據(jù)：（參考數(shù)據(jù)：231.41，6解：（1）設(shè)出發(fā)后x小時(shí)時(shí)兩船與港口P的距離相等 根據(jù)題意，得81-9x=18x， 解這個(gè)方程，得x=3 出發(fā)后3小時(shí)兩船與港口P的距離相等 在RtCEP中，CPE=45， PE=PCcos45 在RtPED中，EPD=60， PE=PDcos60 （81-9x）cos45=18xcos60 解這個(gè)方程，得x3.7 出發(fā)后約3.7小時(shí)乙船在甲船的正東方向（2）如圖，設(shè)出發(fā)后x小時(shí)乙船在甲船的正東方向，此時(shí)甲、乙兩船的位置分別在點(diǎn)C、D處，連結(jié)CD過點(diǎn)P作PECD，垂足為E則點(diǎn)E在點(diǎn)P的正南方向1.如圖如圖，一架長(zhǎng)，一架長(zhǎng)4米的梯子米的梯子AB斜靠在與地面斜靠在與地面OM 垂直的墻垂直的墻ON上，梯子與地面的傾斜角上，梯子與地面的傾斜角為為60（1）求）求AO與與BO的長(zhǎng)；（的長(zhǎng)；（2）若梯子頂端）若梯子頂端A沿沿NO下滑，同時(shí)底端下滑，同時(shí)底端B沿沿OM向右滑行向右滑行如圖如圖，設(shè)設(shè)A點(diǎn)下滑到點(diǎn)下滑到C點(diǎn)，點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到點(diǎn)向右滑行到D點(diǎn)，并且點(diǎn)，并且AC：BD=2：3， 試計(jì)算梯子頂端試計(jì)算梯子頂端A沿沿NO下滑多少米；下滑多少米；如圖如圖，當(dāng)，當(dāng)A點(diǎn)下