高中數(shù)學(xué)教案必修1第十一講：函數(shù)模型及其應(yīng)用

1、博途教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義（一）學(xué)員姓名：年 級：高一日期：輔導(dǎo)科目：數(shù) 學(xué)學(xué)科教師：劉云豐時間：課題第十一講：函數(shù)模型及其應(yīng)用授課日期教學(xué)目標(biāo)1、 培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)實際問題進(jìn)行信息綜合列出函數(shù)解析式；2、會利用函數(shù)圖象性質(zhì)對函數(shù)解析式進(jìn)行處理得出數(shù)學(xué)結(jié)論教學(xué)內(nèi)容-1 -2 -函數(shù)模型及其應(yīng)用K教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：根據(jù)實際問題分析建立數(shù)學(xué)模型和根據(jù)實際問題擬合判斷數(shù)學(xué)模型教學(xué)難點：根據(jù)數(shù)學(xué)模型解決實際問題K教學(xué)過程來源:Zxxk.Com一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題在課本第三章的章頭圖中，有一大群喝水、嬉戲的兔子，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了 腦筋.1859年，有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂

2、盛的牧草，而且沒有兔子的天敵， 兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們占領(lǐng)了整個澳大利亞，數(shù)量達(dá)到 75億只.可愛的兔子變得可惡起來，75億只兔子吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率 大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口 .這使澳大利亞人頭痛不已，他們采用各種方法消滅這 些兔子，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣.這段話道出了其中的意蘊：對于一個種群的數(shù)量，如果在理想狀態(tài)(如沒有天敵、食物充足等)下，那么它將呈指數(shù)增長；但在自然狀態(tài)下，種群數(shù)量一般符合對數(shù)增長模型.二、提出問題，探索新知 我市有甲、乙兩家乒乓球俱樂部，兩家設(shè)備和

3、服務(wù)都很好，但收費方式不同.甲家每張球臺每小時5元；乙家按月計費，一個月中30小時以內(nèi)(含30小時)每張球臺90元，超過30小時的部 分每張球臺每小時2元.小張準(zhǔn)備下個月從這兩家中的一家租一張球臺開展活動，其活動時間不 少于15小時，也不超過40小時.設(shè)在甲家租一張球臺開展活動 x小時的收費為f(x)元(15 < x<40)，在乙家租一張球臺開展 活動x小時的收費為g(x)元(15 <x< 40)，試求f(x)和g(x). A、B兩城相距100 km,在兩地之間距A城x km處D地建一核電站給A、B兩城供電，為保證 城市安全.核電站距城市距離不得少于10 km.已知供電

4、費用與供電距離的平方和供電量之積成正 比，比例系數(shù)入=0.25.若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月.把月供電總費用y表示成x的函數(shù)，并求定義域. 分析以上實例屬于那種函數(shù)模型討論結(jié)果： f(x)=5x(15 <x< 40).“、(90,15x30,g(x)=丿?x+90,30 < x 蘭40 y=5x2+ 5 (100 x) 2(10 < x < 90);2 分別屬于一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型三、應(yīng)用示例例1 一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時間的關(guān)系如圖所示(1) 求圖3-2-2-1中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義；(2) 假

5、設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km,試建立行駛這段路程時汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s km與時間t h的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象.-4 -圖 3-2-2-1活動：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師根據(jù)實際，可以提示引導(dǎo)：圖中橫軸表示時間，縱軸表示速度，面積為路程；由于每個時間段速度不斷變化，汽車?yán)锍瘫碜x 數(shù)s km與時間t h的函數(shù)為分段函數(shù).解： 陰影部分的面積為50X 1+80X 1+90X 1+75X 1+65X仁360. 陰影部分的面積表示汽車在這 5小時內(nèi)行駛的路程為360 km.50t +2004,0 Mt C1,80(t -1) +2054,1 Mt C2, 根據(jù)圖，

6、有 S= *90(t-2)+2134.2 Et c3,75(t 3) + 2224,3 Et v4,65(t - 4)2299,4 乞 t 乞 5.這個函數(shù)的圖象如圖3-2-2-2所示.圖 3-2-2-2-# -# -變式訓(xùn)練電信局為了滿足客戶不同需要，設(shè)有 A、B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案應(yīng)付話費(元)與通話-5 -時間(分鐘)之間關(guān)系如下圖(圖3-2-2-3)所示(其中MN/CD).(1) 分別求出方案A、B應(yīng)付話費(元)與通話時間x(分鐘)的函數(shù)表達(dá)式f(x)和g(x);(2) 假如你是一位電信局推銷人員，你是如何幫助客戶選擇A、B兩種優(yōu)惠方案？并說明理由圖 3-2-2-3解：(1)先列出

7、兩種優(yōu)惠方案所對應(yīng)的函數(shù)解析式：20,0WxG00,50,0WxW50Qf(x)=3g(x)= 3 x-10,x 100,x-100,x 500.10 103 當(dāng) f(x)=g(x)時，3 x-10=50,10 x=200.二當(dāng)客戶通話時間為200分鐘時，兩種方案均可； 當(dāng)客戶通話時間為0WxV200分鐘，g(x)>f(x),故選擇方案A;當(dāng)客戶通話時間為x>200分鐘時，g(x)<f(x),故選方案B.點評：在解決實際問題過程中，函數(shù)圖象能夠發(fā)揮很好的作用，因此，我們應(yīng)當(dāng)注意提高讀圖的 能力另外，本例題用到了分段函數(shù)，分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實問題的重要模型例2人口問題是當(dāng)今世界各

8、國普遍關(guān)注的問題.認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù)早在1798年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯(T.R.Malthus,17661834)就提出了自然 狀態(tài)下的人口增長模型：rty=yoe ,其中t表示經(jīng)過的時間，y。表示t=0時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率.F表是19501959年我國的人口數(shù)據(jù)資料:年份1950195119521953195419551956 :195719581959人數(shù)/5519563057485879602661456282645665996720萬人6026668347(1)如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率(精確到0.00

9、0 1),用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符； 如果按表的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口達(dá)到13億？解：(1)設(shè)19511959年的人口增長率分別為訂2,3,9.由 55196(1+r 1)=56300，可得1951年的人口增長率為仟0.020 0.同理，可得0.0210，0.0229，40.0250，0.0197，心0.0223，3"0.0276， 0.0222， m0.0184.于是，19501959年期間，我國人口的年平均增長率為r=(r 汁2+r0 寧 9" 0.0221.令y°=55 196

10、，則我國在19511959年期間的人口增長模型為y=55 196e ,t N.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出散點圖，并作出函數(shù)y=55 196e 0.0221t(t N)的圖象(圖3-2-2-4).J系列。圖 3-2-2-4由圖可以看出，所得模型與19501959年的實際人口數(shù)據(jù)基本吻合 將 y=130000 代入 y=55 196e 0.0221t,由計算器可得t38.76.所以，如果按表的增長趨勢，那么大約在1950年后的第39年(即1989年)我國的人口就已達(dá)到13億.由此可以看到，如果不實行計劃生育，而是讓人口自然增長，今天我國將面臨難以承受的 人口壓力.變式訓(xùn)練一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500

11、 g,按每年10%衰減.(1)求t年后,這種放射性元素質(zhì)量3的表達(dá)式； 由求出的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期(剩留量為原來的一半所需的時間叫做半衰 期).(精確到 0.1.已知 lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)解： 最初的質(zhì)量為500 g.經(jīng)過 1 年后，3 =500(1 10%)=500X 0.9 1;經(jīng)過 2 年后，3 =500X 0.9(1 10%)=500X 0.92;由此推知,t年后,3 =500X 0.9t. 解方程 500X 00=250,則 0.9、0.5,所以 t= lg 0.5 =_lg2 6.6(年),lg0.9 2lg3-1即這種放射性元素的半衰

12、期約為6.6年.知能訓(xùn)練某電器公司生產(chǎn)A型電腦.1993年這種電腦每臺平均生產(chǎn)成本為 5 000元，并以純利潤20% 確定出廠價.從1994年開始，公司通過更新設(shè)備和加強(qiáng)管理，使生產(chǎn)成本逐年降低.到1997年,盡 管A型電腦出廠價僅是1993年出廠價的80%但卻實現(xiàn)了 50%屯利潤的高效益.(1) 求1997年每臺A型電腦的生產(chǎn)成本；(2) 以1993年的生產(chǎn)成本為基數(shù)，求1993年至1997年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分?jǐn)?shù).(精確到0.01,以下數(shù)據(jù)可供參考:,.5=2.236,6=2.449)活動：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師根據(jù)實際，可以提示引導(dǎo).出廠價=單位商品的成本+單位商品的利潤.

13、解：(1)設(shè)1997年每臺電腦的生產(chǎn)成本為x元,依題意，得 x(1+50%)=5000X (1+20%) X 80%解得 x=3200(元). 設(shè)1993年至1997年間每年平均生產(chǎn)成本降低的百分率為 y,則依題意，得5000(1 y) 4=3200, 解得 y1=1 2 5,y 2=1 + 2 5(舍去).55所以 y=1 LI.0.11=11%,5即1997年每臺電腦的生產(chǎn)成本為 3 200元,1993年至1997年生產(chǎn)成本平均每年降低11%. 點評：函數(shù)與方程的應(yīng)用是本章的重點，請同學(xué)們體會它們的關(guān)系.拓展提升某家電企業(yè)根據(jù)市場調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準(zhǔn)備每周(按120個工時計算

14、)生產(chǎn)空調(diào)、 彩電、冰箱共360臺，且冰箱至少生產(chǎn)60臺.已知生產(chǎn)這些家電產(chǎn)品每臺所需工時和每臺產(chǎn)值如F表:家電名稱空調(diào)彩電冰箱每臺所需工時111234每臺產(chǎn)值(千元)432問每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱各多少臺，才能使周產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少?(以千元為單位) 解：設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱分別為x臺、y臺、z臺，每周產(chǎn)值為f千元，則 f=4x+3y+2z，'x+y+z = 360,(1)111其中&x +丄 y +丄 z=120,(2)234x >0,0, 60,(3)由可得y=360-3x,z=2x,x >0,代入得 360 -3x 0,則有30< x&

15、lt; 120.2x 一 60,故 f=4x+3(360-3x)+2 2x=1080-x,當(dāng) x=30 時，fma= 080-30=1050.此時 y=360-3x=270,z=2x=60.答:每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)30臺，彩電270臺，冰箱60臺，才能使每周產(chǎn)值最高，最高產(chǎn)值為1 050千元.點評：函數(shù)方程不等式有著密切的關(guān)系，它們相互轉(zhuǎn)化組成一個有機(jī)的整體，請同學(xué)們借助上面的實例細(xì)心體會.四、課堂小結(jié)本節(jié)重點學(xué)習(xí)了函數(shù)模型的實例應(yīng)用， 包括一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型等; 另外還應(yīng)關(guān)注函數(shù)方程不等式之間的相互關(guān)系.五、課后練習(xí)1 按復(fù)利計算利率的儲蓄，銀行整存一年，年息 8%,零存每月

16、利息2%,現(xiàn)把2萬元存入銀行 3年半，取出后本利和應(yīng)為人民幣()A. 2(1 8%)3'5 萬元B. 2(1 8%)3(1 2%)6 萬元3C. 2(1 8%)2 2% 5 萬元D. 2(1 8%)3 2 (1 8%)3(1 2%)6萬元解析：3年半本利和的計算問題，應(yīng)轉(zhuǎn)為 3年按年息8%計算，而半年按6個月(月息2%)計 算，又由于是復(fù)利問題，故只有選 B.2. 某學(xué)生離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，一開始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路，下圖中，縱軸 表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則下列四個圖形中較符合該生走法的是()解析：由于d表示學(xué)生的家與學(xué)校的距離，因而首先排除 A、C選項，

17、又因為圖中線段的斜率的 絕對值表示前進(jìn)速度的大小，因而排除 B,故只能選擇B3. 商店某種貨物的進(jìn)價下降了 8%,但銷售價沒變，于是這種貨物的銷售利潤由原來的r %增加到(r + 10)%，那么r的值等于()A. 12B. 15C. 25D. 50解析：銷售利潤=銷售價/人進(jìn)價x 100% .設(shè)銷售價為y，進(jìn)價為x，進(jìn)價y - x100% =r%則 x解之得r = 15。I y x(1 8%) 100% =(r 10)%.x(1 _8%)4如下圖所示，點P在邊長為1的正方形的邊上運動，設(shè) M是CD邊的中點，則當(dāng)點P沿著 A- B C-M運動時，以點P經(jīng)過的路程x為自變量，三角形APM的面積函數(shù)

18、的圖象形狀大致是（）解析：本題主要考查求分段函數(shù)的解析式，如圖所示，11當(dāng) 0Wx< 1 時，y = x 1 = x;221 1113當(dāng) 1 <x< 2 時，y = 1(x 1)(2 x)=x+ ;2 44441 551當(dāng) 2<x<2.5 時，y = (x) X 1=x.2 2421x(0 蘭 x 蘭1)213貝U y =彳一一 x(1 £ x蘭2) 圖形為 Ao4415x + (2 ex 乞2.5).245. 有一質(zhì)量均勻的杠桿的支點在它的一端，而距支點1m處掛一個490kg的物體，同時加力于杠桿的另一端，使杠桿保持水平，若杠桿本身每米重5kg，則最省

19、力的桿長為 o答案：14m解析：如圖所示，設(shè)桿長為xm,向上用力為F.1依杠桿原理易得490X 1 + 5x 1x = Fx，2則 F= 5x + 490 >70,當(dāng)且僅當(dāng) 5x = 490，2 x2 x即x = 14m時，F(xiàn)的最小值為70kg o6. 甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過 ckm/h，已知汽車每小時的 運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 vkm/h的平方成正比，比 例系數(shù)為b，固定部分為a元.(1) 把全程運輸成本y (元)表示為速度v (km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；(2) 為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？答案：(1) y = S(bv2 + a), Ov vvc;v(2)當(dāng)c JF, v = £時，最小值為2s JOB ;當(dāng)cv J? , v =