微積分之函數(shù)、極限與連續(xù)

1、函數(shù)是指f(_x) = f(x),關(guān)于x軸對(duì)稱。題中 1 / 10 作業(yè)(一) - 函數(shù)，極限和連續(xù) 一、填空題(每小題 2分，共 20 分) 1函數(shù)的定義域是 _.答案： 提示：對(duì)于，要求分 母不能為 0，即，也就是； 對(duì)于，要求，即；所以函數(shù)的定義域是 2. _ 函數(shù)的定義域是 .答案： 提示：對(duì)于，要求 分母不能為 o，即，也就是； 對(duì)于，要求，即；所以函數(shù)的定義域是 3函數(shù)的定義域是 _.答案： 提示：對(duì)于，要求分 母不能為 o，即,也就是； 對(duì)于，要求，即;對(duì)于，要求，即且； 所 以函數(shù)的定義域是 4函數(shù)，貝 U . 答案： 提示：因?yàn)椋?以 5 .函數(shù)，貝u _ .答案： 提示：

2、因?yàn)楫?dāng)是在區(qū)間，應(yīng)選擇進(jìn)行 計(jì)算，即 6 .函數(shù)，則 _ .答案：提示：因?yàn)?，所?7. _ 函數(shù)的間斷點(diǎn)是 .答案： 提示：若在有下列三種情況之一，則在間斷：在無(wú)定義；在極限 不存在；在處有定義，且 存在，但。題中在處無(wú)定義 8. _ . 答案：i ；提示： sin 4x 9 .若lim 2，則k = _ .答案：2提示：因 XT sin kx sin4x f(_x) = - = f(x)，所以函數(shù) 2 2 e n-ex 、， y 是偶函數(shù)。 2 2 .設(shè)函數(shù)y=x2sinx，則該函數(shù)是().答案：A A .奇函數(shù) B .偶函數(shù) C .非奇非偶函數(shù) D .既奇又偶函數(shù) 提示：因?yàn)?2 2 2

3、 f(-x)=(x) sin (-x)二 x (-s in x)二-x sin x=-f(x) ，所以y = x2 sin x是奇函數(shù)。 2x 2 3. 函數(shù)f(X)二X 的圖形是關(guān)于()對(duì)稱.答案：D 2 A . y=x B . x軸 C . y軸 D.坐標(biāo)原點(diǎn) 提示：因?yàn)?2.2 x) 2 一x.-2 x f (-x) = x x f (x)，是奇函數(shù)， 2 2 2 +2 所以f(x)二X 的圖形是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 2 4. 下列函數(shù)中為奇函數(shù)是( 無(wú)). A . xsi n x B . In x C .In (x . 1 x2) D . x x2 提示：A. f(x)二一xsin(x)

4、=-x(sinx)二 xsinx ,即 xsinx是偶函數(shù)；B. In x的圖形只在一、四象限，既非奇函數(shù), 也非偶函數(shù)；C . ln(J x2)的圖形只在一、四象限，既非 f (_x) _ -x (_x)2 _ _x x2 sin 4x sin kx 既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)。 所以本題沒(méi)有一個(gè)待選答案是奇函數(shù) kx 1 5 .函數(shù)y ln(x 5)的定義域?yàn)? sin3x 10若lim 2，則k = _ .答案：1.5；提示: XT kx sin 3x m m H H X X 為 因 sin 3x lim kx x 0 3x kx 3x =3 -2，所以 k -1.5 k 二、單項(xiàng)選擇題(每

5、小題 2分，共 24分) -x x e e 1設(shè)函數(shù) y = -，則該函數(shù)是().答案：B 2 A 奇函數(shù) B 偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D 既奇又偶函數(shù) 提示：奇函數(shù)是指 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；偶 x 4 A . x -5 ).答案：D C . x i 一5 且 x = 0 1 D . x占一5且x -4 提示：對(duì)于 ，要求分母不能為 ， x + 4 即 x = -4 ；對(duì)于 ln (x 5)，要求 x 5 0，即 x -5。 Tn(x 5)的定義域?yàn)閤 -5且x -4 6 .函數(shù)f (x) 1 ln (x-1) 的定義域是( ).答案：D A . (1,：:) B . (0,1) - (1/：

6、) C . (0,2) -(2,二) 奇函數(shù)，也非偶函數(shù); 2 / 10 D. (1,2) (2, ：) 提示：對(duì)于 1 ，要求分母不能為 0, ln(x _1) 即x = 2 ;對(duì)于ln(x 1)，要求x -1 0，即x .1。所以函數(shù) f(x) 1 的定義域是(1,2) 一(2, ln( x 1) 7設(shè) f (x 1) 2 =x2 -1，則 f(X)=( 答案：C A x(x 1) B. x2 c. x(x -2) D (x 2)(x _1) x 比(x 1) f(x) =(x -1)2 -1 =(x -2x 1) -1 二 x(x -2) 提示：當(dāng)lim f(x) = f(xo)時(shí)，稱函

7、數(shù)f (x)在xo連續(xù)。因?yàn)?lim f (x) = lim (ex 數(shù) f (x) = * ex 2, k, f(0) = k，所以當(dāng)k = 3時(shí)，函 x _ 3 12函數(shù)f (x) = r 的間斷點(diǎn)是( )答案：A x2 3x + 2 A . X=1,X=2 B. x = 3 C. x=1,x=2,x=3 D.無(wú)間斷點(diǎn) 提示：若f(X)在x0有下列三種情況之一，則 f (x)在X0間斷: 在X0無(wú)定義；在X0極限不存在；在X0處有定義，且 8 下列各函數(shù)對(duì)中，( )中的兩個(gè)函數(shù)相等答案: A. f (x) =( .X)2, g(x) B. C. 2 f (x) = ln x ， g(x)

8、= 2 ln 9. 3 D. f (x) = ln x g(x) = 3ln x提示：兩個(gè)函數(shù)相等, 必須是對(duì)應(yīng)的規(guī)則相同，定義域相同。上述答案中, 域不同；B對(duì)應(yīng)的規(guī)則不同；C定義域不同； 同，定義域相同 A定義 D對(duì)應(yīng)的規(guī)則相 當(dāng)x； 0時(shí)， 下列變量中為無(wú)窮小量的是( 答案：c. lim f (x)存在，但 lim f (x) = f (x0)。題中，分母 X 汽 Xx 2 x 一 3x 2 = (x -1)(x - 2),所以在 x0 = 1 和 x0 = 2 處無(wú)定 義 三、解答題(每小題 7分，共 56 分) X2 3x 十 2 1.計(jì)算極限lim x 3X 2 7 X2 -4 2

9、 x -3x 2 . (x-1)(x-2) x-1 1 lim 2 lim lim x x -4 x (x 2)(x 2) x x 2 4 x D 二 x x 0 時(shí), sin x B . x x 提示：以 0為極限的變量稱為無(wú)窮小量。上述答案中，當(dāng) A趨向a； B的極限為 1 ; C的極限為 0; D趨向。 c. ln(1 x) 2 2計(jì)算極限x2 x2 5x - 6 -1 10 當(dāng) k =()時(shí)，函數(shù) f (x)= “ ”X2 +1, J k, x = 0 ，在 x = 0 x = 0 limx2 嚴(yán)一6 x 11 x -1 lim(x 心) x 1 (x 1)(x -1) = lim 口

10、 xT x 1 處連續(xù).答案：B c. 2 提示：當(dāng)lim f (x) = f (x0)時(shí)，稱函數(shù)f (x)在x0連續(xù)。因 Xf lim f(x)巳im(x2 1) 二f(0)二k，所以當(dāng)k =1時(shí), 函數(shù)f (x) 時(shí)，函數(shù) f(x) 連續(xù)答案：D B. 1 3 3.純 x2 -9 2 x -2x -3 x2 9 (x+3)(x-3) x + 3 6 2 lim 2 - = lim lim = x x -2x-3 x3(x 1)(x-3) x x 1 4 3 4計(jì)算極限lim 4 x2 -6x 8 x25x 4 x2 -6x 8 lim 廠 XT x -5x 4 5 計(jì)算極限 二 lim x

11、 4 (x - 4)(x -2) (x - 4)(x -1) 2 x 6x+8 lim 廠 x 2 x -5x 6 3 / 10 解 lim x2 -6x lim (x-4)(x-2)= lim = 2 x 2 x2 -5x 6 x)2(x3)(x 一2) xx3 的切線方程為y 一 y0 = k。題中f (x) = (ex)丄ex，將x = 0代 X - X。 入上式，得k二f (x)二e =1，所以通過(guò)點(diǎn)(0,1)切線方程為 = lim - = - = lim x 卩 x( . 1 -x 1) x 0 . i -x 1 處的斜率為k = f(X)。若給定曲線上的一點(diǎn)(X0, y0)，則通過(guò)

12、該 計(jì)算極限lim sin4x T lx +4 2 解 lim lim sin4x( x 4 2) -2 x 0 (、x 4 -2)( x 4 2) x 0 x 4 5若 y = X (X -1)(x -2)(x -3)，貝U y (0) = _ 答案：6 提示：根據(jù)有限多個(gè)函數(shù)的乘積的求導(dǎo)法則(見(jiàn) P45)， sin 4x( Jx+4 +2) , sin 4x z , “ = lim lim 4 ( x 亠4 亠2) =4 1 4 =16 X_Q x X_Q 4x 作業(yè)(二) - 導(dǎo)數(shù)、微分及應(yīng)用 一、填空題(每小題 2分，共 20 分) 1 1曲線f(x) .X 1在(1,2)點(diǎn)的斜率是

13、_ 答案：- 2 提示：若已知曲線方程y = f(x)，則它在任一點(diǎn)x處的斜率 1 為k = f (x)。題中f (x) =(. x 1) ，將x =1代入上式， 2 Jx 1 得 f (x) = _ 2 2曲線f(x) =ex在(0,1)點(diǎn)的切線方程是 _ 答案: y - X =1 提示：若已知曲線方程y = f (x)，則它在任一點(diǎn)x處 的斜率為k = f (x)。若給定曲線上的一點(diǎn) (x0,y0)，則通過(guò)該點(diǎn) y =x(x-1)(x2)(x3) x(x-1)(x2)(x-3) x(x1)(x2)(x3) + x(x-1)(x -2)(x -3) y 丄(x 1)(x 2)(x -3) -

14、 x(x 2)(x 3) x(x 1)(x 3) x(x1)(x 2) y (0) = (-1)(-2)(-3)6 6.已知 f (XX3 3X，則 f(3)= 答案 :27(1 Tn 3) 提 示 ： f (x) = (X3) (3X)= 3x2 3 X ln 3 f (3) =3 32 33 ln 3 =27(1 ln 3) 7 .已知 f (x) = ln x、則 f (x)= 答案： 1 2 X 1 1 提示：f (x) = (ln x) ， f (x)=()=- X X 1 2 X x 8若 f (x)二 xe ，則 f (0)二 答案： -2 = lim( xWx x 卩 x( ,

15、J -x 1) 1 3 曲線y 在點(diǎn)(1, 1)處的切線方程是 答案: _x _1 7 計(jì)算極限lim xT s i r4x 點(diǎn)的切線方程為 X -Xo 1 f (xH(x 2)- 3 1 -2 X 2 lim 匕口 =lim x 0 sin4x x 0 (1gx 1)( Jgx -1) (、1 x 1) sin4x = lim x ：0( 1 -x 1)si r4x 4x 4 1 1 1 11 1 =lim , - =lim () . - - = x X1 =一 x 0(.1 _x 1)sin4x x 0 4 ( 1 _x 1) sin4x 4 2 8 4x 將X =1代入上式，得k = f

16、(X)二 為紅1 = _丄，即2y x = 3 x -1 2 4. (2) = _ 提示：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算。 -，所以通過(guò)點(diǎn)(0,1)切線方程 2 答案: 6計(jì)算極限lim V X -1 X -X 2y - x =3 提示：若已知曲線方程 y = f (x)，則它在任一點(diǎn)x (2 )丄2 ln2C x) 2 x l n2 2、x sin4x 4 / 10 9函數(shù)y =3(x -1)的單調(diào)增加區(qū)間是 _ .答案：(1, ：) 10函數(shù)f (x) =ax2 1在區(qū)間(0, ：)內(nèi)單調(diào)增加，則 a應(yīng)滿 足 _ 答案：a 0 提示；當(dāng)f (x) . 0時(shí)， 函數(shù)f (x)單調(diào)增加。題中，f (

17、x) =(ax2 1)、2ax . 0，所 2 以函數(shù)f(x) =ax -1在區(qū)間(0,亠)內(nèi)單調(diào)增加，a應(yīng)滿足 a 0。 二、單項(xiàng)選擇題(每小題 2分，共 24分) 2 1 函數(shù)y =(x T)在區(qū)間(-2,2)是( ) 答案：D A .單調(diào)增加 B .單調(diào)減少 C.先增后減 D .先減后增 提示： 當(dāng)f (x) . 0時(shí)，函數(shù)f (x)單調(diào)增加當(dāng)f (x) ：0時(shí)， 函數(shù)f (x)單調(diào)減少。題中，yJ2(x 1)，令y=0，得駐點(diǎn) x = 1。當(dāng)2 ： x ： 1時(shí)，y = 0，函數(shù)單調(diào)減少；當(dāng) 2 1 ： x 2時(shí)，y 0 ,函數(shù)單調(diào)增加。所以函數(shù)y = (x 1) 在區(qū)間 (-2,2)

18、 是先減后增。 2滿足方程f (x) =0的點(diǎn)一定是函數(shù) y = f (x)的()答案：C. A .極值點(diǎn) B.最值點(diǎn) C.駐點(diǎn) D 間斷點(diǎn) 提示：使f(X)=0的點(diǎn)，成為函數(shù)f (x)的駐點(diǎn)(P69定理 3.2) 3若 f (x) = e 亠 cosx，則 f (0) = ( )答案：C A. 2 B. 1 C. -1 D. - 2 提示： f (x) = (e ) cosx e (cosx)二-e* cosxe sin x ，f (0) = _e cos0 _e0sin 0 =-1 1-1 0 =-1 4設(shè) y = Ig2 x，則 d y = ( ) 答案：B df (cos2x) = _

19、 f(cos2x)(si n2x)2dx= _f(cos2x)(_i n2x)d2x 2x 6 .曲線y =e 1在x=2處切線的斜率是( ). 答案：C 4 2 小 4 c A . e B . e C . 2e D . 2 提示：若已知曲線方程 y = f (x)，則它在任一點(diǎn) x處的斜率為 k = f (x)。f (x) =(e2x): =e2x *(2x): =2e2x，將 x = 2代 入上式得 f (2) = 2e2 2 二 2e4 7 .若 f (x)二 xc o x ，貝U f (x)二( ).答案：C A cosx xsinx B . cosx-x sinx C . -2sin

20、xxcosx D . 2sinx xcosx 提示： f (x) = (xcosx) = x cosx x(c osx) = cosx - xsinx f (x) =(cosx) -(xsinx) -sinx-(x sinx) -x(sin x) -sin x-sinx-xcos =-2 s in x - xcosx 8 若f (x) = sin x a3，其中a是常數(shù)，貝u f ”(x) = ()答案C 2 A cosx 3a B . sinx 6a C . -sinx 3 D . cosx 提示：f (x) = ( s ixn (a )二 c oxs， f (x) = (cosx) = -

21、sin x 9 .下列結(jié)論中( )不正確. 答案：C A . f(x)在X=X0 處連續(xù)，則一定在x0處可微.B . f (x)在X = X0處不連續(xù)，則一 定在X0處不可導(dǎo). C .可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上 . D .若f(X)在a，b內(nèi)恒有(x) ： 0，則在a，b內(nèi)函數(shù)是單調(diào)下 降的. 提示：極大值可能出現(xiàn)在：駐點(diǎn)(駐點(diǎn)是 f (x) = 0 C . 2 f (cos 2x) sin 2xdx D . -f (cos2x)sin 2xd2x 提示： f (cos 2x) = f(cos2x)(cos 2x) = A 丄 dx 2x B dx x ln10 D 丄 dx x 的點(diǎn)

22、)：f (x)連續(xù)但導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。 提示: 1 2xl n10 *(2x)= 2xln 10 *2 1 xln 10 5 設(shè)y二f (x)是可微函數(shù)，則df (cos2x)二().答案：D A . 2 f (cos2x)dx B . f (cos 2x)sin 2xd2x 10 .若函數(shù) f (x)在點(diǎn) X0處可導(dǎo)，則()是錯(cuò)誤的. 答案：B A.函數(shù) f (X)在點(diǎn) X0處有定義 B. lim f (X) = A，但 A f (x0) C .函數(shù) f (x)在點(diǎn) X0處連續(xù) D 函數(shù) f (X)在點(diǎn) X0 (P83 定2.5 mj(x) 5 / 10 f(cos 2x)(-sin 2x)(

23、2x) =-f ( c o2x) ( s i2ix)2 處可微 提示：若函數(shù)f (X)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，則它在點(diǎn)X0 一定連續(xù) =A，但 A = f (x0)即 f (x)在點(diǎn) x0 不連續(xù)。6 / 10 B不正確，因?yàn)轳v點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；C不正確，f lx。) = 0 就是駐點(diǎn)， 駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)； D不正確，因?yàn)闃O大值可能出現(xiàn)在：駐點(diǎn)和 f(X)連續(xù)但導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。 三、解答題(每小題 7分，共 56 分) 1 1 設(shè)y=xex，求y . 解 1 1 1 1 1 1 1 y =(x2)ex2) =2x$ x2e(1) =2xex x x 1 1 1 = 2xex -e =(2x _1)e匚

24、 2設(shè) y = sin 4x cos3 x，求 y . 解 y =(si4x) (coS)=coS)(4x) 2coSXcos) =4coSk-2coSxsirx 3 .設(shè) yeX1，1，求 y . 解 x x 1 y =(e 蘆)(丄)=eh(、x 1) -一2 e 1 x x 2、：x+1 x 4. 設(shè) y = x , x In cosx，求 y . 解 y * = (x wG) +( I nc o 幺)= 3 寸 x 2 cos: 5. 設(shè)y=y(x)是由方程x2 y2-xy=4確定的隱函數(shù)，求dy. -sin(x y)/sin(x y) y e si n(x + y) dysin(x

25、y) dx e -sin(x + y) 作業(yè)(三) - 不定積分，極值應(yīng)用問(wèn)題 一、填空題(每小題 2分，共 20 分) 1 若f (x)的一個(gè)原函數(shù)為ln x ，貝U f (x)二 _ 。 答案： 2 (c為任意常數(shù)) 提示：參見(jiàn)教材 P90, x 根據(jù)定義 4.1，若F (x)二f (x)，則稱F (x)為f (x)的原函數(shù)， 2 根據(jù)題意，對(duì)In x 求導(dǎo)的結(jié)果就是f (x)，即 1 2 1 f(x)=(lxi) 2(x) 22X=_ x x x 2.若f(x)的一個(gè)原函數(shù)為xex，貝U f (x)= 。 答 案：1 2ex 提示：參見(jiàn)教材 P90，根據(jù)定義 4.1，若 F (x f (x)，則稱F(x)為f (x)的原函數(shù)，根據(jù)題意，對(duì) x-ex 求導(dǎo)的結(jié)果就是 f(x)， 即 f (x) = (x - e x)=1 2e，所以 f (x) = -4e 3若 f (x)dx = xex c