計(jì)算機(jī)數(shù)值方法試題

1、數(shù)值計(jì)算方法試題填空（共20分，每題2 分）1、設(shè)x =2.3149541.，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值x=2、設(shè)一階差商，/ma一 X2 1則二階差商3、數(shù)值微分中，已知等距節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值則由三點(diǎn)的求導(dǎo)公式，有4、求方程Q -125-0的近似根，用迭代公式，取初始值那么5、解初始值問(wèn)題 I近似解的梯形公式是掃 & 亍1丿，則A的譜半徑，A的sd（Ah =7、設(shè)f仗）二弓才+ 5,耳=吐上=0,12，則和&若線性代數(shù)方程組AX=b的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德?tīng)?迭代都9、解常微分方程初值問(wèn)題的歐拉Euler ）方法的局部截?cái)嗾`差為10、T0左A =0

2、1 aaa 1設(shè)當(dāng)對(duì)角線元素足條件時(shí)，必有分解式匚 ，其中L為下三角陣，當(dāng)其時(shí)，這種分解是唯一的、計(jì)算題(共60分，每題15分)(1)試求在上的三次Hermite插值多項(xiàng)式H (x)使?jié)M足乂二.| _ t二.- |二 二 g h(x)以升幕形式給出(2)寫(xiě)出余項(xiàng)R闔工詢-班曲的表達(dá)式2、已知K =祕(mì)彳)的譏兀)滿足|譏兀)耳弋1，試問(wèn)如何利用 ©S 構(gòu)造一個(gè)收斂的簡(jiǎn)單迭代函數(shù), ,使 0, 1收斂?3、 試確定常數(shù)A, B, C和，使得數(shù)值積分公式/必島妙(p) +附(0) +巧(口)Gauss型的？有盡可能高的代數(shù)精度。試問(wèn)所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為y 二 /D4、

3、 推導(dǎo)常微分方程的初值問(wèn)題的數(shù)值解公式：F斜1+ 專 A：+i +4?。蝗?、證明題(1) 寫(xiě)出解:;的Newton迭代格式(2) 證明此迭代格式是線性收斂的2、設(shè)R=I - CA如果，證明：(1) A、C都是非奇異的矩陣)卜參考答案:、填空題2、3、4、1.55、h6、7、&收斂9、0( h)1、2.315010、祁 町= 6;L/仏 jJTO 如,nJ4-16沁1，?！?=? J q,兀匚+立，g = 0*、計(jì)算題1、1、 (1)曰心旦八竺宀空丄人'2254了04了0251 5 -1°91 5(2)2、由，宀.，可得 ：一 >'*(護(hù)(R 因；* 故故

4、< | - ;.r- 1 Ld，k=0，1,收斂3、，該數(shù)值求積公式具有5次代數(shù)精確度，它是Gauss型的4、數(shù)值積分方法構(gòu)造該數(shù)值解公式：對(duì)方程/=在區(qū)間心如上積分，得，記步長(zhǎng)為h,對(duì)積分 V'- '/'臨-心_|用Simpson求積公式得P"映«尹7+*）+7 護(hù)+恢+血所以得數(shù)值解公式：，-J -'It；, I.三、證明題1、證明：（1）因'"，故-''，由 Newton迭代公式:* F1,/(©)得 i-+j（工：一口）5九 a： ，5,（2）因迭代函數(shù)' ，而： _、 ox6

5、3又廠 幾，貝U L -1 - ' - 爲(wèi) -._16 j6 J 2故此迭代格式是線性收斂的。2、證明：（1）因 惻1，所以I - R非奇異，因I - R=CA所以C, A都是非奇異矩 陣 （2） 丨-：| .故| -I - f 1 則有(2.1 )因 CA=I - R,所以 C= (I - R A1，即 £= (I - R)-1C又 ra'a1 - C,故由廠一廠I|-（這里用到了教材98頁(yè)引理的結(jié)論）(2.2)移項(xiàng)得結(jié)合（2.1 ）、（2.2）兩式，得模擬試題填空題（每空2分，共20分）1、解非線性方程f（x）=O的牛頓迭代法具有收斂2、迭代過(guò)程 H卻（k=1,2

6、,）收斂的充要條件是 回I3、已知數(shù)e=2.718281828，取近似值x=2.7182,那麼x具有的有效數(shù)字是 問(wèn))的迭代格式中求5、通過(guò)四個(gè)互異節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式p(x),只要滿足則p(x)是不超過(guò)二次的多項(xiàng)式6、對(duì)于n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式'ak至少具有次代數(shù)精度.7、插值型求積公式的求積系數(shù)之和4JtJ)乞念=JUO210_8A =12a0扌2,為使A可分解為A=LLt,其中L為對(duì)角線元素為正的下三角形，a的取值范圍9、若丄一-3則矩陣A的譜半徑J- (A)=10、解常微分方程初值問(wèn)題. I ： ! L的梯形格式是階方法計(jì)算題(每小題15分，共60 分)1、 用列主元消去法解線

7、性方程組2、已知y=f (x)的數(shù)據(jù)如下x023f （ X）132求二次插值多項(xiàng)式及f （2.5 ）3、用牛頓法導(dǎo)岀計(jì)算的公式，并計(jì)算， 要求迭代誤差不超過(guò)4、歐拉預(yù)報(bào)-校正公式求解初值問(wèn)題十尹一工=。 l_.y（o）= o取步長(zhǎng)k=0.1,計(jì)算y（0.1）,y（0.2）的近似值，小數(shù)點(diǎn)后保留5位.三、證明題 （20分每題10分）1、明定積分近似計(jì)算的拋物線公式f 了必柑十4了 （上具有三次代數(shù)精度2、證明用梯形公式計(jì)算積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值大,并說(shuō)明這個(gè)結(jié)論的幾何意義。參考答案:填空題1、局部平方收斂10 、二階方法5、三階均差為0n 7 、b-a< l39、1二、計(jì)算題1、2、P2兀）

8、227/(2.5)-xC2.3+-2.5+1 = 2.6667.25992（精確到,即保留小數(shù)點(diǎn)后5位）:：一 V©kFSSXOHL?1斗邂壬 嚴(yán) “一心彖屮出“一心筈占"1599:芒 H1IJ59915冷4, y(0.2) "0 .2903莎MM&- W&HHM&左邊:右邊:/w 具有三次代數(shù)精度2、證明：略一、 填空題（每空1分,1、如果用二分法求方程X3 （2、數(shù)值計(jì)算方法試題共17分）x 4 0在區(qū)間【1,2內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對(duì)分3、a)次。迭代格式Xk 1 Xk (Xkx3S( X) 13/(x 1) a(x 已知22）局部

9、收斂的充分條件是取值在（01)2 b(x 1) c 1),c=(=( ),b=(4> l0(x),l1(x),ln(x)是以整數(shù)點(diǎn) X0,X1,Xn 為節(jié)點(diǎn)的nlk(x)k 05、和6、nn4 Xklj(Xk)(Xk(),k 0()，當(dāng) n 2時(shí) k 0設(shè) f (x) 6x72x4 3x2 1 和節(jié)點(diǎn) Xkk/2,k 0,1,2,7 r3是三次樣條函數(shù)，則）。Lagra nge插值基函數(shù)，貝U2Xk 3）lk（x）( )。,貝y fX0,X1, ,Xn10 。5個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度為 公式最高代數(shù)精度為k（x）k0是區(qū)間叩上權(quán)函數(shù)（X） X的最高項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式族

10、，其10（x）1，則 0X 4（x）dx,5個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積7、給定方程組SOR迭代法收斂。8、Xi ax2 bi axi X2 b2,a為實(shí)數(shù)，當(dāng)a滿足，且02時(shí)，0yn 1 yn hf(Xn,yn) yf(x，y)h09、解初值問(wèn)題y(X0) y0的改進(jìn)歐拉法yn1 yn 2f(Xn,yn) f(Xn1,yn1)是 階方法。10 aA 01 a10、設(shè) a a 1，當(dāng)a （）時(shí)，必有分解式A LLT其中L為下三角陣，當(dāng)其對(duì)角線元素hi（i仁,3）滿足（）條件時(shí)，這種分解是唯一的。二、選擇題（每題2分）解方程組Ax b的簡(jiǎn)單迭代格式x（k1） Bx（k） g收斂的充要條件是 ）。1、(1) (A

11、) 1, (2) ® 1, bf(x)dxa2、在牛頓-柯特斯求積公式：時(shí)，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)（ 斯求積公式不使用。（1） n 8，（2） n 7，（3） n 10，（ 4） n 6，3、有下列數(shù)表（A） 1,（4）（B） 1n（b a） G（n）f（Xi）小i0中，當(dāng)系數(shù)C廠是負(fù)值）時(shí)的牛頓-柯特(n)x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25o所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是（4）五次h4 f（Xn，yn）求解初值問(wèn)題 1，試問(wèn)為保證該公式絕對(duì)穩(wěn)定，步長(zhǎng)h的取值范圍為 ）。（2）0 h 2,（3）0 h 2, 0 h 22a bx的經(jīng)驗(yàn)

12、公式擬合以下數(shù)據(jù)：（1）二次；（2）三次；（3）四次；hyn 1 yn hf（Xn “24、若用二階中點(diǎn)公式y(tǒng) 2y,y（0）（1）0 h三、1、Xi19253038yi19.032.349.073.325（8分）用最小二乘法求形如y10exdx 時(shí),2、（ 15分）用n 8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化 Simpson公式）計(jì)算 （1）（1）試用余項(xiàng)估計(jì)其誤差。（2）用n 8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化Simpson公式）計(jì)算出該積分的近似值。四、1、（ 15分）方程x3 x 1 0在x 1.5附近有根，把方程寫(xiě)成三種不同的等價(jià)形式（1） x 3x1對(duì)應(yīng)迭代格式xn 1 xn 1 (2)1xn 1I1 3

13、 對(duì)應(yīng)迭代格式 %. ； (3) x x3 1對(duì)應(yīng)迭代格式xn1 xn 1。判斷迭代格式在xo "的收斂性，選一種收斂格式計(jì)算x 1.5附近的根，精確到小數(shù)點(diǎn)后 第三位。選一種迭代格式建立 Steffe nsen迭代法，并進(jìn)行計(jì)算與前一種結(jié)果比 較，說(shuō)明是否有加速效果。2、( 8分)已知方程組AX f，其中24f 3024列出Jacobi迭代法和Gauss-Seide迭代法的分量形式。求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑，寫(xiě)出 SOR迭代法。3 y 1dx(15分)取步長(zhǎng)h 0.1，求解初值問(wèn)題y(0) 1用改進(jìn)的歐拉法求y©1)341(1)(2)4(1)(2)五、1、A 3的

14、值；用經(jīng)典的四階龍格 一庫(kù)塔法求y®1)的值。2、( 8分)求一次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式P(x)使它滿足P(X0) f(X0),p(X1) f(X1),P(X0)f(X0),p(X1) f(X1),p(X2) f(X2)六、(下列2題任選一題，4分)1、1、數(shù)值積分公式形如1(1)試確定參數(shù)A,B,C,D使公式代數(shù)精度盡量高；(2)設(shè)1f(x) C40,1，推導(dǎo)余項(xiàng)公式R(x) 0xf(x)dx S(x)，并估計(jì)誤差。 用二步法°yn1yn 1 h f (xn, yn) (1) f (Xn 1,n 1)y f (x,y)求解常微分方程的初值問(wèn)題y(x0)y0時(shí)，如何選擇參數(shù)0

15、, 1，使方法階數(shù)盡可能高，并求局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)，此時(shí)該方法是幾階的。0Xf(x)dx S(x) Af(0) Bf(1) Cf(O) Df(1)2、 2、yn 10,(1)數(shù)值計(jì)算方法試題一、判斷題：(共16分，每小題2分)1、若A是n n階非奇異陣，則必存在單位下三角陣L和上三角陣U ,使A LU唯一成立。()2、當(dāng)n 8時(shí)，Newton cotes型求積公式會(huì)產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定性。ba f（x）dx3、形如a的次數(shù)為4、矩陣2n210i1。1111 的高斯（Gauss）型求積公式具有最高代數(shù)精確度 （ ）012的2 范數(shù)A2 =9。5、設(shè)（6、設(shè)A區(qū)間2a007、8、00a)Rn則對(duì)任意實(shí)數(shù)a

16、 0 ,方程組Ax b都是病態(tài)的Rn n ,a,b上關(guān)于權(quán)函數(shù)W（x）的直交多項(xiàng)式是存在的，且唯Doolittle 分解：0 2 2 30 0 b 11 0 0 6，則a,b的值分別為a 2, b 2。每小題2分）2n，且有QTQ 1（單位陣），則有IIA2 QA2o（對(duì)矩陣A作如下的2 2472 4二、填空題：1、設(shè) f（x）f20,21,31 072 151 a(共 20 分,9x8 3x4,2821x 10，則均差 , f30,31, ,39 。2、設(shè)函數(shù)f（x）于區(qū)間a,b上有足夠階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，P a,b為f（x）的一個(gè)m重零x f（xk）xkxk 1 xk m點(diǎn)，Newton迭代公式f

17、（xk）的收斂階至少是3、區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù)S（x）在a,b上具有直到 連續(xù)導(dǎo)數(shù)。階。階的7T A4、向量x (1, 2)，矩陣3| AX | 1con d(A)>21 ，則5、為使兩點(diǎn)的數(shù)值求積公式:11f（x）dx f（x。）f（X1）具有最高的代數(shù)精確度，則其求積基點(diǎn)應(yīng)為 x1 , x2 。6、設(shè)A Rn n , AT A，貝S（A）（譜半徑）IA2。（此處填小于、大于、等于）(9 分)A7、設(shè)三、簡(jiǎn)答題:，則 kim A1、1、 方程x 4 2x在區(qū)間1,2內(nèi)有唯一根X*，若用迭代公式：xk i ln(4 xQ/ln2(k 0,1,2,)，則其產(chǎn)生的序列xk是否收斂于

18、x* ?說(shuō)明理由。2、2、使用高斯消去法解線性代數(shù)方程組，一般為什么要用選主元的技f(x)1 COSX術(shù)？3、3、設(shè)x 0.001，試選擇較好的算法計(jì)算函數(shù)值四、(10分)已知數(shù)值積分公式為：hh2''，使其0 f(x)dx尹f(h)hf(0) f(h)，試確定積分公式中的參數(shù)代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。五、(8分)已知求a(a 0)的迭代公式為：1 aXk 1 匚(Xk) x0 0 k 0,1,22 Xk證明：對(duì)一切k 1,2, ,xka，且序列xk是單調(diào)遞減的，從而迭代過(guò)程收斂。33六、(9分)數(shù)值求積公式0f(X)dX 2ff(2)是否為插值型求積公式？為

19、什 么？其代數(shù)精度是多少？七、(9分)設(shè)線性代數(shù)方程組AX b中系數(shù)矩陣A非奇異，X為精確解，b 0，若向量X是AX b的一個(gè)近似解，殘向量r b AX，證明估計(jì)式:X XIHIXCOnd(A) b (假定所用矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容)。八、(10分)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試求滿足下列插值條件的一個(gè)次數(shù)不超過(guò) 3的插值多項(xiàng)式H(x)，并導(dǎo)出其余項(xiàng)i012Xi012f (Xi)-113f '(Xi )31、4、7、K、1、九、(9分)設(shè)n(x)是區(qū)間Xi (i 1,2, ,n,n 1)為 n1li(x)(i1,2, ,n,n 1)是以 xbn 1a f (x)w(x

20、)dxAkf (Xk)ak 1(1)(2)(1) 當(dāng) 0 k, jbalk(x)lj (x)w(x)dxan 1 b 2l k (x)w(x)dxk 1 aa,b上關(guān)于權(quán)函數(shù) w(x)的直交多項(xiàng)式序列，(x)的零點(diǎn)，為基點(diǎn)的拉格朗日(Lagra nge)插值基函數(shù),為高斯型求積公式，證明:n,k j 時(shí)，0 (kba W(X)dXAi k(Xi) j(Xi)0j)(3) 十、(選做題8分)若 f(x)xi(i 0,1, ,n)互異，求 f x0, X1, ,xp的值，其中n1(X) (X X°)(XXi) (xXn)'數(shù)值計(jì)算方法答案一、填空題(每空1分，共17分)22( ,

21、0)(0,)、22 )(10 )2、(3、a =(37!Xj)、( x4x23)5、(2)三、1、( 8分)解:1 1252312AtAC& a 1選擇題(每題2分)2、( 1)9、10、()，622 ,b= ( 3)，9454236.25)、(c=( 1 )lii 0)3、span1, x2(1)4、(3)1192解方程組at1382ATy19.032.3 49.0 73.3其中ata43391 35296033391ATy173.6179980.7C解得：0.92555770.05010252、( 15 分) T(8)尹2“|RT【f解：7f (Xk)k 1所以詈 h2f()O.9

22、255577，1 112 82f (b)0.05010250.00130276812 (0.88249690.7788008160.606530660.53526140.472366550.41686207)0.367879470.6329434四、1、（15 分）解：（1）1(X)3(x°（W O.18 1，故收斂;(2)（3） 選擇（X）(x)X0(1):X51.5，為1.32476(1.5)0.1723151，故發(fā)散。1.3572 x21.3309x61.324721，故收斂;x3 1.3259， x41.3249Steffe nsen 迭代:XkXk2(Xk) Xk)(Xk)

23、 2 (Xk)Xk2計(jì)算結(jié)果：Xo1.5X1xk 33Xk 11.324899 x2(3 Xk1Xk)1 23 Xk 1 11.324718有加速效果。(kX1k 1)(kX32、（ 8分）解:Gauss-Seide 迭代法:BjD 1(L U)SOR迭代法:1丄(24 3x2k)4丄(30 3x1k)x3k)41)1 -4、k 0,123,-(24 x2k)Jacobi迭代法：X1(k1)丄(244-(30 3x1k 141丄(24 x2k4k 0,1,2,3,(k 1)x23x2k)x3k)1)(k 1)X1(kX21 (1(k 1)X30340(Bj)v'10(或 )0.7905

24、694)x1(k)(24 3x2k)4)x2k)(30 3x(k1)x3k)4(1)x3k) -( 24 x2k1)4k 0,1,2,3,(1五、1、（ 15分）解：改進(jìn)的歐拉法:yn0)1yn hf(Xn,yn) 09丫. 0.1yn 1 yn - f(Xn, yn) f X 1, 丫補(bǔ)0)1)0.905丫.0.0952所以 y(0.1)y1 1 ；經(jīng)典的四階龍格一庫(kù)塔法：hyn 1 yn -k1 2k2 2k3 k4k1f (Xn, yn)k2f (Xnh丁 *k3f (Xnh2 yn矢）k4f (Xnh,ynhk3)k1k2k3 k40，所以 y(0.1)屮 1H3(Xi)f(Xi)2、

25、（8分）解：設(shè)H3（x）為滿足條件2 2則 p（x） H3（x） k（x X0） （x X1）出（人）f （xj i 0,1的Hermite插值多項(xiàng)式, 代入條件P（x2）f（x2）得：f(X2) H3(X2)k2(X2 X0) (X2X1)2六、（下列2題任選一題，4分）1、解：將 f（X） 13A A B,x,x ,x分布代入公式得：20 ,KxJ f(Xi)H3(xJ f (Xi) iAB 2,D120構(gòu)造Hermite插值多項(xiàng)式H3（x）滿足0,1其中X00, X11則有:10 xH 3(x)dx S(x)f(X)H3(x)(4)()1)2R(x)10X f(x) S(x)dx 嚴(yán)()

26、4!132Ox (x 1) dx丄 x3(x4!f(4)( ) J4! 601)2dx：(4)()14402、解:£2! h2°y(Xn)1(y(Xn) hy (Xn) 萬(wàn) yRn,hy(Xn 1)yn 1y(Xn) hy (Xn)y(Xn) -3!h3 3! yh3y (Xn)(Xn)(Xn)h y (Xn) (1)(y (Xn) hy (Xn)h2(Xn)h /石 y (Xn)(1 0h(11主項(xiàng):111221011011125 3h y(Xn)y (Xn)001)y(Xn)h21所以21)y (Xn)h3(6 土10324)y (Xn) O(h )該方法是二階的。數(shù)值

27、計(jì)算方法試題一、(24分)填空題(1) (1)(2分)改變函數(shù)f(x)x 1 x (x 1)的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確(2)(2分)若用二分法求方程fx 0在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對(duì)分 次。(3)f X(2分)設(shè)2 2X1X2X1X2，貝y f' x2x3,0 x 1Sx32“(4)(3分)設(shè)x ax bx c, 1 x 2是3次樣條函數(shù)，則a=,b=,c=。(5) (5)(3分)若用復(fù)化梯形公式計(jì)算0edX，要求誤差不超過(guò)10 6，利用余項(xiàng)公式估計(jì)，至少用 個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。為 1.6x21(6) (6)(6分)寫(xiě)出求解方程組°4x1 x2 2的Gauss-

28、Seide迭代公式，迭代矩陣為， 此迭代法是否收斂。5 4AAl（4 分）設(shè)4 3，則 IA , Cond A 。（8）（8）（2分）若用Euler法求解初值問(wèn)題710y，y。1，為保證算法的絕對(duì)穩(wěn)定，則步長(zhǎng)h的取值范圍為 二. （64 分）(1)（1）（6分）寫(xiě)出求方程4x cosx 1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式,并證明其收斂性。（2）（12分）以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算115的近似值,并利用余項(xiàng)估計(jì)誤差。式。(5)(10分)求f xex在區(qū)間0,1上的1次最佳平方逼近多項(xiàng)（4）（10分）用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分"1 sin xdx ,，亠“0

29、x 的近似值，要求誤差限為0.5 10 5。(5)（10分）用Gauss列主元消去法解方程組:X14x22x3243捲X25x3342xi6x2X327%X2(8)(6)（8分）求方程組（8分）已知常微分方程的初值問(wèn)題:521的最小二乘解。dy dx x y, 1 x 1.2 y(1) 2用改進(jìn)的Euler方法計(jì)算y（12）的近似值，取步長(zhǎng)h 0.2。三. （12分，在下列5個(gè)題中至多選做3個(gè)題）pl 15p' 120p'' 130 p 257 p' 272> > >（6分）構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度:1xf0x d

30、xA0 f 1A1 f 1210 1A（6分）用幕法求矩陣11的模最大的特征值及其相應(yīng)的單位特征向量，迭代至特征值的相鄰兩次的近似值的距離小于0.05,取特征向量的初始近似值為0 丁。（4）（6分）推導(dǎo)求解常微分方程初值問(wèn)題y' x f x, y x , ab, y a y°的形式為yi 1 yi hi1 ,i=12 ,N(5)、1、6、1、7、三、1、2、的公式，使其精度盡量高,其中i f XiXi a ih, i=0,1,N,（5）（6分）求出用差分方法求解常微分方程的邊值問(wèn)題y''pxy'qxy r x 0, a x by'a a yb

31、0所得到的三對(duì)角線性方程組。數(shù)值計(jì)算方法試題答案、判斷題：（共10分，每小題2分）X ）2、（ V ）3> （ X ）X ） （共10分，每小題2分）（X ）2、（ V ）3、（V ） 7、（ X ）8（二、填空題：9 8!、Q 2、 0三、簡(jiǎn)答題：1、 解:3、(x)（15 分） 迭代函數(shù)為 丄4 x I n 24> ( V )4、16、905、(x) ln(4 x)/l n2匚丄142 In 22、5、( X )答：Gauss消去法能進(jìn)行到底的條件是各步消元的主元素akk）全不為0,如果在消元過(guò)程中發(fā)現(xiàn)某個(gè)主元素為 0,即使det(A) 0，貝y消元 過(guò)程將無(wú)法進(jìn)行；其次，即使

32、主元素不為 0,但若主元素akk)的絕對(duì)值很 小，用它作除數(shù)，將使該步消元的乘數(shù)絕對(duì)值很大，勢(shì)必造成舍入誤差 的嚴(yán)重?cái)U(kuò)散，以致于方程組解的精確程度受到嚴(yán)重影響，采用選主元的技術(shù)，可避免主元素akk)=o或akk)很小的情況發(fā)生，從而不會(huì)使計(jì)算中 斷或因誤差擴(kuò)大太大而使計(jì)算不穩(wěn)定。四、五、3、3、1 COSXCOSX解：2X2?2X4!f(x)2四、解：f(x)f (X) X 時(shí),hxdx4 X4!2X2i4 X4!1)2nX麗x2n1)n1)n1 (2n!)2n 21 X(2n!)1顯然精確成立;£0 hh22h211hh3h rch 32 .x2dx-0h2h202h2 hf (X

33、)x時(shí)，0322h 3 ,h4h皿.3 ,1 , 2 _ _c2=f (X)X3時(shí)，x dx0420h h 013h h 4h5h413h5f (X)x4時(shí)，x dx05尹h h 014h 6 ；所以,其代數(shù)精確度為3。0Xk 1五、證明：12(xkXk - a2aXka k 0,1,212 ；故對(duì)一切k 1,2,1)所以Xk 1 Xk，即序列Xk是單調(diào)遞減有下界,從而迭代過(guò)程收斂六、六、解：是因?yàn)閒(x)在基點(diǎn)1、2處的插值多項(xiàng)式為p(x)X 2f(1)以 f(2)1 2 2 1330P(X)dX尹f(2)。其代數(shù)精度為1七、七、證明：由題意知：AX b,AX b rA(X X) r X X

34、 1X XA 1rAA 1rAX b |b AX 又AX所以八、解：設(shè)H(x)1A AbN2(x)所以N2(x) ax(xf(0)f0,1(x1)(x 2)0)f0,1,2(x0)(x 1)H(x) 1 2x x(x 1) ax(x 1)(x2)2(0)3得： h(x) 4x3-x2 3x 141 2x (x0)( x 1)2所以令 R(x) f(x)則g(t)在0,3上也具有4階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且至少有4個(gè)零點(diǎn)：'()4!，( g(4)( ) 0) ，"()2 4TX(X 1)(x 2)h(x)，作輔助函數(shù) g(t) f(t)H(t)反復(fù)利用羅爾定理可得：k(X)所以 R(x) f

35、(x) H(x) k(x)x2(x 1)(x 2)2k(x)t (t 1)(t2)t x,0,1,2bn 1f (x)w( x)dx Ak f (xk)ak 1九、證明：形如 有最高代數(shù)精度2n+1次，它對(duì)f(x)取所有次數(shù)不超過(guò)2n+1次的多項(xiàng)式 均精確成立九、的高斯(Gauss)型求積公式具1)n 1Ai k (xi ) j (xi )i 1bak(X)j(x)w(x)dx 02)因?yàn)閘i(x)是n次多項(xiàng)式, bnl k(x)l j (x)w(x)dx所以a且有l(wèi)i(Xj)1Ailk(xJj(Xi)i 1取f(x)(X)，代入求積公式：因?yàn)閚 1b2ali(x)w(x)dxAjli(Xj)

36、2 A所以ajin 1 b 2n 1blk(x)w(x)dxAkw(x)dxk i ak ia0(k2li (x)是2n次多項(xiàng)式,j)故結(jié)論成立十、十、解：fX°,Xi,Xpf (Xi)fXo,Xi,Xn 1(Xij o(n 1)(n 1)!Xj)數(shù)值計(jì)算方法試題一、(24分)填空題(9) (1)(2分)改變函數(shù)f(x) X 1 X (x 1)的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確(10) (2)(2分)若用二分法求方程f X 0在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對(duì)分 次。2 2(11) (3)f X(2分)設(shè)x1x2X1X2，貝y f'X(12)Sx(3分)設(shè)2x3,0 x

37、 132x ax bx c,1 x 2是3次樣條函數(shù)，則a=,b=,c=0(13) (5)(3分)若用復(fù)化梯形公式計(jì)算0edX，要求誤差不超過(guò)10 6，利用余項(xiàng)公式估計(jì)，至少用 個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。X-!1.6x21(14) (6)(6分)寫(xiě)出求解方程組1 X2 2的Gauss-Seide迭代公式，迭代矩陣為， 此迭代法是否收斂。5 4AAl(15) (7)(4 分)設(shè)4 3 ,則 IA , Cond A 。(16) (8)(2分)若用Euler法求解初值問(wèn)題y10y，y0 1，為保證算法的絕對(duì)穩(wěn)定，則步長(zhǎng)h的取值范圍為二. (64 分)(9) (1)(6分)寫(xiě)出求方程4x cosx 1在區(qū)間0,1的

38、根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(10) (2)(12分)以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算115的近似值,并利用余項(xiàng)估計(jì)誤差。(11) (3)(10 分)求 f xex在區(qū)間0,1上的1次最佳平方逼近多項(xiàng)式。(12) (4)(10分)用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分"1 sin x ,dx0 x的近似值，要求誤差限為0.5 10 5。(13) (5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程組:X14x22x3243捲X25x3342X16x2X327X1X2(14) (6)(15) (8分)求方程組(8分)已知常微分方程的初值問(wèn)題:521的最小二乘解。dy dx

39、xy, 1 x 1.2 y(1) 2用改進(jìn)的Euler方法計(jì)算y(12)的近似值，取步長(zhǎng)h 0.2。三. (12分，在下列5個(gè)題中至多選做3個(gè)題)p1 15p' 120p'' 130 p 257 p' 272> > >（6分）構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度:1xf x dx0A0 f 1A1 f 1210 1 A(8)（3）（6分）用幕法求矩陣11的模最大的特征值及其相應(yīng)的單位特征向量，迭代至特征值的相鄰兩次的近似值的距離小于0.05,取特征向量的初始近似值為0 丁。（6分）推導(dǎo)求解常微分方程初值問(wèn)題y' x f

40、 x, y x ,ab, y ay°的形式為yi 1yihi1 ,i=1,2，,N的公式，使其精度盡量高,其中i f xi, yixi a ih(9) i=0,1,N,（10） （5）（6分）求出用差分方法求解常微分方程的邊值問(wèn)題y'' p x y' y' a0,0, a x b所得到的三對(duì)角線性方程組。數(shù)值計(jì)算方法試題答案 (24 分)(1) (2 分)（2分）10(6) (6 分)2x1X22x2X1(4) (3 分)3 -3k 1kX11 停2k 010x2k 12 0.4x1k 1 , ,01(5) (3 分)4771.60.64 收斂（4分）

41、991(8) (2 分)h<0.2二.（64 分）(1) (6 分)xn1Xn11 COS Xnc 4, n=0,1,2，. 1 .'x sin x41 14二對(duì)任意的初值X。0,1,迭代公式都收斂。（12分）用Newton插值方法：差分表:1001211441011120.04761900.0434783-0.0000941136115 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)= 10.7227555115 100 115 121 115 144 3!(3) (10 分)設(shè) x C1 1 x C2 2 x C1 C

42、2X1 , 11 ? 2C1f, 12 , 12 ? 2C2f, 21 ? 11 2112? 2x dx03，f, 1oexp(x)dx e1 1 2C1e 1C0.87311.2 1 3C21C21.69051 32100 215 6 290.001636811 f, 2°xe)p(x)dx 1x 0.8731 1.690x11 1dx 101 ? 2xdx -0 2x 4e 10 18 6ex=0.873127+1.69031xSi0.94614588S22f4f10.94608693S2 1；S2Si0.39310-5S20.94608693sin xx2x4x6x8或利用余項(xiàng):3!5!7!9!(4) x1 x257 2!4x9 4!5 a42880 n42880 5n0.510S2(5) (10 分)3.00001.00005.000034.00000.