小學六年級奧數(shù) 第十八章 圓的周長和面積

1、第十八章 圓的周長和面積知識要點如右圖所示，當一條線段OA繞著固定端點O在平面內旋轉一周，它的另一端點A在平面內畫出了一條封閉的曲線，這條封閉的曲線叫做圓。圍成圓的曲線叫做圓周，線段OA叫做圓的半徑，通常用r或R表示。O點是這個圓的圓心。 在同一個圓中，所有的半徑都相等。通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。在同一個圓內，所有直徑都相等，且等于半徑的2倍。圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。 無論什么圓，它的周長除以直徑的商是一個固定的數(shù)，這個數(shù)叫圓周率，用表示。如果用C表示圓周的長度，d表示這個圓的直徑，那么，。 是一個無限不循環(huán)小數(shù)： 3.14159265358979323846 圓的

2、周長：C2r或Cd 圓的面積：Sr2()2()2 扇形是由圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形。如果扇形的圓心角是n，那么當圓周長C2r時，扇形的弧長計算方法： L×2r×r例1 (第五屆“希望杯”邀請賽試題)如圖，ABCD是邊長為10厘米的正方形，且AB是半圓的直徑，則陰影部分的面積是 平方厘米。(取3.14)點撥 過E點作AB的垂線，垂足為O，因為CAB45°，所以點O是半圓的圓心，則陰影部分的面積等于梯形OECB的面積，減去圓O面積的。解 過E點作AB的垂線，垂足為0。 CAB45°，點0是半圓的圓心。 則S陰影S梯形OECBSO (510)

3、×5÷2×52 17.875(平方厘米)例2 將半徑分別是4厘米和3厘米的兩個半圓，如圖放置。求陰影部分的周長。點撥 陰影部分的周長為小半圓的弧長加上大半圓的弧長，再加兩條線段的長。兩個半圓的半徑分別為4厘米和3厘米；兩條線段分別是4厘米和3×242(厘米)。解 (1)兩個半圓的弧長是： 2×3.14×4÷22×3.14×3÷2 12.569.42 21.98(厘米) (2)兩條線段的長： 4(3×24) 6(厘米) (3)陰影部分的周長為： 21.98627.98(厘米) 答：陰影部

4、分的周長是29.98厘米。例3 直徑均為1分米的四根管子被一根金屬帶緊緊地捆在一起，如下圖。試求金屬帶的長度和陰影部分的面積。點撥 要想求金屬帶的長度，我們必須把它分成8個部分來觀察，金屬帶的長度正好是管子直徑的4倍和一根管子圓周長度的總和。中心陰影部分的面積等于中間正方形的面積減去一個圓的面積，其中正方形的邊長等于直徑。解 金屬帶的長度： 1×43.14×17.14(分米) 陰影面積：1×13.14×()2 10.7850.215(平方分米) 答：金屬帶的長度為7.14分米，陰影部分的面積為0.215平方分米。說明 我們在計算比較復雜的周長和面積時，要

5、善于把這個圓形分解再重新組合，這樣才會看得清楚明白。例4 如圖，圓的周長是12.56厘米，圓的面積是長方形面積的，求陰影部分的周長。點撥 陰影部分的周長是半圓的弧長，加上兩條長方形的長和一條寬。已知圓的周長，容易求出半徑，再求出圓的面積。求出圓的面積，就可以求出長方形的面積，長方形的寬就是圓的直徑，從而可以求出長方形的長，這樣就可以求出陰影部分的周長了。解 半圓的弧長： 12.56÷26.28(厘米) 長方形的面積： 3.14×(12.56÷3.14÷2)2÷ 3.14×4÷31.4(平方厘米)長方形的長： 31.4

6、7;(12.56÷3.14)7.85(厘米)陰影部分的周長： 6.287.85×212.56÷3.146.2815.7425.98(厘米)答：陰影部分的周長為25.96厘米。例5 如右圖，半圓的半徑為15厘米，AOB90°，COD120°，CD26厘米，半圓中陰影部分的面積是多少平方厘米？點撥 本題是一道比較復雜的問題，需要引輔助線和求扇形面積等方面的知識。解 三角形COD的面積： 過點O作CD的垂線交互于F，交CD于E，連接DF，因為FOD60°，則DFO是正三角形。DE為DFO的對稱軸，所以FEEO7.5(厘米)。則三角形COD的

7、面積為：26×7.5×97.5(平方厘米) 圓心角為120°的扇形的面積： ×12075×3.14235.5(平方厘米) 由弦CD和弧圍成的弓形面積： 235.597.5138(平方厘米) 圓心角為90°的扇形面積： ×90176.625(平方厘米) 三角形AOB的面積： 15×15×112.5(平方厘米)由弦AB和弧圍成的弓形的面積：176.625112.564.125(平方厘米)陰影部分的面積：13864.12573.875(平方厘米)答：陰影部分的面積是73.875平方厘米。例6 如圖，在半徑AB為

8、20厘米，圓心角為45°的扇形中，以半徑AB的中點O為圓心，以OA為半徑畫一個半圓，交BC于D。求陰影部分的面積。點撥 圖中陰影部分看似兩個毫不相干的圖形，但如果我們連接AD就會發(fā)現(xiàn)：弓形BD和弓形AD的面積相等，如果用圓心角45°的扇形面積減去中間等腰直角三角形的面積，就可以求出兩個陰影部分的面積的和。解 圓心角45°的扇形的面積： ×45157(平方厘米) 等腰直角三角形ADB的面積： 20×(20÷2)÷2100(平方厘米) 陰影部分的面積： 15710057(平方厘米) 答：陰影部分的面積是57平方厘米。說明 在求兩

9、塊或兩塊以上陰影部分的面積時，有時也把這幾塊合在一起求。例7 如右圖所示，大圓的直徑是4厘米，黑色面積大還是陰影面積大？是黑色部分周長大，還是陰影部分的周長大？并求出各自的面積。點撥 大圓面積×()24(平方厘米)，4個小圓面積×()2×44(平方厘米)，由此我們可以看出，黑色部分面積之和正好等于四個小圓互相重疊的部分面積之和，所以這兩部分的面積應相等。 黑色部分的周長應該等于大圓周長再加上8個的小圓周長，而陰影部分的周長恰好等于8個小圓的周長，所以黑色部分的周長大于陰影部分的周長。解 S大圓×()24(平方厘米) S小圓×()2(平方厘米)

10、S陰8×(1×1÷2)24(平方厘米)2.28(平方厘米) S黑S大圓(4S小圓S陰)4(42.28)2.28(平方厘米) S陰S黑 C大圓×44 C小圓×22 C黑48××28 C陰8××2 C黑C陰解題技巧 計算周長時，首先要分清圍成這一圖形的邊有哪些，再正確計算。計算組合圖形的面積，有很多圖形都是不規(guī)則的，很難直接用公式計算出它們的面積，必須將組合圖形進行分解，看清組合圖形是由哪幾個基本圖形合并起來的，或是從哪一個基本圖形里去掉哪一個或幾個基本圖形得到的。有時需要把其中的部分圖形進行平移、翻轉、添加

11、輔助線、割補、等積變形等方法，化難為易，這需要精巧的構思和恰當?shù)慕忸}策略，從而提高自己的形象思維和抽象思維能力。競賽能級訓練A 級1.(第十一屆“華羅庚金杯”邀請賽試題)如下左圖，圓O中直徑AB與CD互相垂直，AB10厘米，CA50厘米。以C為圓心，CA為半徑畫弧。求月牙ADBEA(陰影部分)的面積。2.(第五屆“希望杯”邀請賽試題)如上右圖，大圓直徑上的黑點是五等分點，則A、B、C三部分的面積比為 。3.如下左圖所示，正方形的邊長為10厘米，在正方形中畫了兩個四分之一圓，試求圖中陰影面積。4.如上右圖，三角形ABC是直角三角形，陰影工的面積比陰影的面積小23平方厘米。問BC的長度是多少厘米？

12、(取3)5.如下左圖，直徑AB為3厘米的半圓，繞A逆時針旋轉60°，使AB到達AC位置。求圖中陰影部分的周長。6.上右圖中每個小圓的半徑是1厘米，陰影部分的周長是多少厘米？7.如下左圖所示，正方形的邊長是6厘米，求圖中陰影部分的面積。8.如上右圖所示，小明從家到學校有三條由半圓弧組成的路可以走，怎么走近？為什么？9.有一個長方形如下左圖所示位置，在桌子上不滑動地每秒鐘轉動90°。試回答下列問題：(1)如果長方形AB3厘米，AD4厘米，ACBD5厘米。把長方形轉動一周后，頂點A所經(jīng)過的痕跡的長是多少厘米？(2)13秒以后，長方形B點離A點開始位置的水平距離是多少厘米？10.如

13、上右圖所示，已知扇形的弧長為12.56厘米。求陰影部分的面積。11.右圖是400米跑道的示意圖，兩頭是兩個半圓，每一個半圓的弧長是100米；中間是直線，長為100米。求兩個半圓的面積之和與跑道所圍成的面積之比。12.求下圖中陰影部分的面積。(單位：厘米)B 級1.將邊長為1的正三角形放在一條直線上(如下左圖)，讓三角形繞頂點C順時針轉動到位置2，再繼續(xù)這樣轉到3的位置。求A點走過的痕跡的長度。2.上右圖中的三角板(等腰直角)、正方形紙板、圓形紙板的面積都是40cm2，陰影部分的面積總和是30cm2，三張紙板蓋住的面積總和是70cm2。求三張紙板重疊部分A的面積。3.下左圖是座古鐘的示意圖，有白

14、、黃、藍三部分。試問白色部分的面積與藍色扇形的面積誰更大一些？為什么？4.上右圖中正方形的周長是圓環(huán)周長的3倍。當圓環(huán)形繞正方形無滑動地滾動一周又回到原來位置時，這個圓環(huán)轉了幾圈？5.在右圖中，直角三角形ABC的斜邊AC長20厘米，A30°，以C點為固定點將直角三角形順時針旋轉使斜邊AC與短邊BC成一直線。求圖中陰影部分的面積。6.已知下左圖中半圓直徑為10厘米，求圖中陰影部分的面積。7.在上右圖中，AB長8cm，OB長5cm，求陰影部分的面積。8.求下左圖中陰影部分的面積。(圓的半徑r4厘米)9.如上右圖，在每邊長為10厘米的正方形ABCD中，有以BC邊為半徑的圓和以CD為直徑的半

15、圓。求陰影部分的面積。10.如下左圖，三角形ABC是邊長為24厘米的正三角形，陰影部分是以每邊長為直徑畫半圓時出現(xiàn)的如圖所示的幾何圖形。求陰影部分的面積。11.求上右圖中陰影部分的面積。(單位：厘米)12.求下左圖中陰影部分的面積。(單位：厘米)13.求上右圖中陰影部分的周長。(單位：厘米)能力測試一、填空題(每題6分，共30分) 1.半圓的周長是5.14厘米(取3.14)，它的半徑是( )。 2.長方形、正方形、圓形的周長相等，請按照面積的大小排序。 ( )( )( )。3.奧運會中我們經(jīng)?？梢钥吹轿瀛h(huán)旗，五環(huán)圖的每個環(huán)形的內半徑都是4厘米，外半徑為5厘米，其中陰影面積都相等。已知五個圓環(huán)蓋住的總面積是122.5平方厘米，則每個陰影部分的面積是( )平方厘米。4.下左圖中陰影部分的面積是( )平方厘米。 5.上右圖中三個等圓的半徑為5cm，三個圓兩兩交于圓心。則陰影部分的面積為( )。二、選擇題(每題5分，共10分) 1.一個圓形的周長擴大8倍，面積擴大( )倍。 A.16 B.64 C.82.如右圖所示，圖中扇