三次樣條插值的MATLAB實(shí)現(xiàn)

1、程序設(shè)計(jì)期中考查在許多問題中，通常根據(jù)實(shí)驗(yàn)、觀測或經(jīng)驗(yàn)得到的函數(shù)表或離散點(diǎn)上的信息，去研究分析函數(shù)的有關(guān)特性。其中插值法是一種最基本的方法，以下給出最基本的插值問題三次樣條插值的基本提法：對插值區(qū)間進(jìn)行劃分：，函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的值，并且如果函數(shù)在每個(gè)小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式，于上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則稱是上的三次樣條函數(shù)，如果在節(jié)點(diǎn)上還滿足條件 則稱為三次樣條插值函數(shù)。 三次樣條插值問題提法：對上給定的數(shù)表如下. 求一個(gè)分段三次多項(xiàng)式函數(shù)滿足插值條件式，并在插值區(qū)間上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。這就需要推導(dǎo)三次樣條插值公式：記在節(jié)點(diǎn)處的值為()(這不是給定插值問題數(shù)表中的已知值)。在每個(gè)小區(qū)間利用三次插值公式，得三次

2、插值公式： ，。為了得到這個(gè)公式需要個(gè)條件： (1).非端點(diǎn)處的界點(diǎn)有個(gè)；(2).一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)有個(gè)條件；(3).二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)有個(gè)條件，其中邊界條件： 其中： 且()。 ，為對應(yīng)變量的一階導(dǎo)數(shù)。其推導(dǎo)過程如下：為了確定的值，把展開為： +這里，對連續(xù)求兩次導(dǎo)，得： 。于是考慮在節(jié)點(diǎn)處的右極限值，得： 。 同理，在相鄰小區(qū)間上可得的表達(dá)式為：及在節(jié)點(diǎn)處的左極限值為：。利用二階導(dǎo)數(shù)于節(jié)點(diǎn)處的連續(xù)性條件，這里，有下式成立：，用除等式兩邊，并注意，上式可簡記為： 且最后求得的線性方程組為： (*)通過以上復(fù)雜的求解和迭代，就可以求解出插值函數(shù)的近似表達(dá)式。得出來的表達(dá)式就可以用軟件來求解。具體求解過程如

3、下： 已知對數(shù)據(jù)點(diǎn)，假設(shè)函數(shù)關(guān)系為，但解析式不確定，數(shù)據(jù)插值就是構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式，使，滿足關(guān)系。 例題：求滿足下面函數(shù)表所給出的插值條件的三次自然樣條函數(shù)。 1 2 4 5 1 3 4 2分析：表中所列出的是函數(shù)對點(diǎn)，首先要把對應(yīng)的插值函數(shù)求出來，再用軟件來求區(qū)間上間隔為0.5的各點(diǎn)的值。求解過程如下： 因自然樣條插值函數(shù)的邊界條件為 這里，故確定的方程組形式形如上面的(*)式，其中系數(shù)和可按如下步驟進(jìn)行：將上述參數(shù)帶入(*)式，得到以下方程組： 解得： 由公式 +可知， 由所求出的表達(dá)式可知區(qū)間可分為，對兩個(gè)區(qū)間分別用命令即可：針對第一個(gè)區(qū)間：; 其圖像如下命令如下：x=1:4;y=(-1/8)*x.3+(2/8)*x.2+(7/4)*x-1;xi=1:0.5:4;y1=interp1(x,y,xi,'spline')其運(yùn)行結(jié)果如下： y1 = Columns 1 through 6 0.8750 1.765