一般化方法解題的基本策略

1、一般化方法解題的基本策略 08數(shù)學(xué)教育 華玲摘要：在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，一般來說，特殊情況往往更易被人們接受，便于人們?nèi)フJ(rèn)識(shí)。然而我們也會(huì)遇到一些比較復(fù)雜的特殊問題，它并不能將一般性的特性反映出來，這時(shí)我們就需要將原問題的范圍擴(kuò)大，找出一個(gè)能揭示原問題基本特性的一般問題，進(jìn)而解決原特殊問題，這種一般化方法解題策略往往會(huì)帶來意想不到的效果。本文總結(jié)了一般化方法的含義和解題模式，通過具體實(shí)例闡述了在解題過程中如何運(yùn)用一般化方法。關(guān)鍵詞：一般化方法 解題 策略 數(shù)學(xué)的實(shí)際教學(xué)過程中，我們往往會(huì)遇到一般和特殊兩種情況，一般化和特殊化便是我們解決問題的兩種重要方法，在多數(shù)情況下，特殊問題簡單、直觀，易于人們

2、認(rèn)識(shí)、接受。但也有一些情況下，特殊問題比較復(fù)雜，給解題帶來了困難，這個(gè)時(shí)候我們不妨直接先去求解相應(yīng)的一般性問題，進(jìn)而再去解決原先的特殊問題，我們把這種解題的策略叫做一般化方法解題策略。在教學(xué)中有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行一般化方法思想的培養(yǎng)，不僅可以激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還能提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。本文總結(jié)了一般化方法的含義和解題模式，通過具體實(shí)例闡述了在解題過程中如何運(yùn)用一般化方法。1 一般化方法含義及解題模式一般化方法就是從個(gè)別到普遍的認(rèn)識(shí)方法，所謂一般化方法就是把要解決的問題放到一般情形中去思考，在對(duì)一般情形思考的過程中總結(jié)出對(duì)特殊問題進(jìn)行研究思考的方法，當(dāng)我們遇到一些特殊問題按照問題的要求去

3、研究解決有困難時(shí)，可以考慮適當(dāng)放寬條件或者改變一些條件的限制，使問題原本的要求得以放寬，將需要處理的問題放在一個(gè)更為一般的情形中去考慮，在這樣一個(gè)一般情形的基礎(chǔ)上進(jìn)行探索研究，先將這樣的一般情形問題解決好，然后將在這樣的一般情形下處理問題的思想方法轉(zhuǎn)用到原先需要研究解決的特殊情形中，最后就能得出了原問題的解，這就是解題的一般化方法。一般化的探索方向有兩種，一種是放寬或取消某項(xiàng)約束條件，還有一種就是將結(jié)論中的數(shù)量形式或關(guān)系普遍化，很多時(shí)候，一般情形要比特殊情形更能反映問題的本質(zhì)規(guī)律，因?yàn)樵谝话闱樾沃?，條件有了適當(dāng)?shù)姆艑?，一些條件的限制也得到了改變，這時(shí)問題所涉及的條件范圍也變大了，使得我們在解決

4、問題的過程中能更好地把這些條件聯(lián)系在一起，從而更易得出結(jié)論，問題更易解決。因此對(duì)很多數(shù)學(xué)問題我們都可以采用這種構(gòu)造一般情形對(duì)原問題進(jìn)行分析，再轉(zhuǎn)用于特殊情形的方法。一般來說用一般化方法解決問題我們通常需進(jìn)行如下步：(1)要從原問題的不同方面進(jìn)行分析，找出能使問題一般化的有關(guān)因素，構(gòu)造出一個(gè)一般化情形下的問題；（2）對(duì)構(gòu)造好的一般情形下的問題進(jìn)行分析解決；（3）返回原問題，原問題得解。以上的步驟我們通常可表示成如下的模式圖：構(gòu)造原問題 一般性問題退回原問題的解 一般性問題的結(jié)論其中在一般化方法解題的步驟中，依據(jù)原問題構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)囊话銌栴}是最為關(guān)鍵的一步。2 一般化方法在解題中的應(yīng)用例1 計(jì)算

5、分析：在這樣一道計(jì)算題中，由于數(shù)字比較大，如果我們還是按照算術(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來一步一步直接計(jì)算運(yùn)算量是比較大的，尤其是不允許運(yùn)用計(jì)算器的情況下，這個(gè)時(shí)候我們可以先暫時(shí)放下具體的數(shù)字，先來構(gòu)造它的一般情形，將具體的數(shù)字用字母來代替。 我們可以將它構(gòu)造成如下的一般問題：計(jì)算. 因?yàn)? = = =, 當(dāng)n=2008時(shí)，由上述一般化問題的結(jié)果可得，原式=4030055. 簡評(píng)： 這一題得探索方向是將結(jié)論中的數(shù)量形式或關(guān)系普遍化，在解題目時(shí)，有時(shí)用這些特殊的數(shù)字區(qū)計(jì)算已經(jīng)很麻煩，卻還要將它升級(jí)為一般的字母來代替求解，這時(shí)我們便會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)在用字母代替的一般情形下，我們更容易發(fā)現(xiàn)解題的規(guī)律，再從這個(gè)一般情形轉(zhuǎn)移

6、到特殊情形中問題就很容易解決。例2 證明：+ .分析：將上述命題一般化，即證明 + (n1)。這是有關(guān)自然數(shù)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。證明 當(dāng)n=2時(shí)，1+=×，命題成立。假設(shè)當(dāng)n=k(k2, kN+)時(shí)，命題成立，即 +。 當(dāng)n=k+1時(shí)+=×. 即，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立， 由數(shù)學(xué)歸納法可知一般化命題成。取n=1000時(shí)，有上述一般化問題的結(jié)果可得，原不等式成立。簡評(píng)：在解決這道題目時(shí)，解具體問題時(shí)由于分母帶有根號(hào)而且不等式的左邊要從順次一直加到，這樣解決起來就比較困難，所以我們轉(zhuǎn)而去探索問題的一般情形，這不僅促成了原問題的解決，而且大大提高了探索發(fā)現(xiàn)及解決問題

7、的能力。例3 平面上隨意給出20000個(gè)點(diǎn)，試問:能否用一條直線將它們隔開，使得直線的兩側(cè)各有10000個(gè)點(diǎn)？ 分析:為了便于思考，不妨先考察下面的一般問題：平面上隨意給出2n個(gè)點(diǎn)，試問能否用一條直線將它們隔開，使得直線的兩側(cè)各有n個(gè)點(diǎn)？ 求解這個(gè)一般問題的關(guān)鍵在于找到這樣一條直線L，它在平面上平移的過程中至多一個(gè)已知點(diǎn)在直線上，這是可以辦到的，只要取直線L不平行于2n個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的連線即可。 取一條直線L使這2n個(gè)點(diǎn)都在L的同側(cè)，并使L不平行于2n個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的連線，于是，這2n個(gè)點(diǎn)P、P到P、P再到P到L的距離各不相同，設(shè)這些距離依次排列為d<d<d<d<d將L

8、向已知點(diǎn)一側(cè)平移，則在移動(dòng)過程中至多有一個(gè)已知點(diǎn)在直線上，當(dāng)L越過第n個(gè)點(diǎn)而尚未到達(dá)第n+1個(gè)點(diǎn)即到L的位置，即L與L的距離d滿足d<d<d時(shí)，直線L的兩側(cè)就各有n個(gè)點(diǎn)； 而原問題即為n=10000時(shí)的特殊情形，自然可以做到。 簡評(píng)：上述例子表明，對(duì)于已知數(shù)據(jù)偏大的特殊問題，恰當(dāng)?shù)目紤]一般問題，有助于揭示事物的本質(zhì)，獲取問題的解法。例4 已知A、B是拋物線y2=2x上異于點(diǎn)P（2，2）的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則直線AB必過哪一定點(diǎn)？分析：將本題一般化就成了研究：若拋物線y2=2px(p>0)的內(nèi)接直角三角形PAB的直角頂點(diǎn)為定點(diǎn)P（x0,y0），則其斜邊AB所在的直線恒過定點(diǎn)。如圖，

9、設(shè)A（x1,y1）, B(x2,y2) ，則y12=2px1 ，y22=2px2 ， 因?yàn)镵AB= ， ，所以AB中點(diǎn)為（）,AB方程為.即 由APBP可得，.代入得，AB方程為，因此直線AB恒過定點(diǎn)（x0+2p,-y0），以上這種思路將（y1+y2）作為一個(gè)整體，較為簡捷，令x0=2,y0=2,p=1,易得本題中直線AB必過定點(diǎn)（4，-2）。 簡評(píng)：這一題得探索方向是將結(jié)論中的數(shù)量形式或關(guān)系普遍化當(dāng)遇到某些不能容易給出解決方法的問題時(shí)，轉(zhuǎn)化為一般問題，一般問題解決了，原問題自然獲解。 例5 設(shè)P是大于3的素?cái)?shù)，m=p-1，求證：m能被24整除。 分析：證明這個(gè)命題的困難在于：我們一時(shí)不知如何

10、利用“p是大于3的素?cái)?shù)”這個(gè)條件，一個(gè)比較自然的想法是：若能寫出大于3的素?cái)?shù)p的一般表達(dá)式，也許有助于問題的解決，然而，尋求這樣的表達(dá)式是不可能的，這時(shí)我們就把條件放寬一些，即把問題一般化，改求大于3的奇數(shù)p的一般表達(dá)式： p=3+2n （nN） （1）其中N=N0.當(dāng)n=3k(kN)，由（1）表達(dá)的數(shù)p不是素?cái)?shù)，故不妨設(shè)n=3k+1或n=3k+2 (kN).代入（1）得 p=6k+5 （kN） （2）或 p=6k+7 （kN） （3） 雖然，由（2）或（3）表達(dá)的數(shù)p并不都是素?cái)?shù)，但所有大于3的素?cái)?shù)都包含在這些數(shù)p中，將(2)和（3）分別代入m的表達(dá)式，可得 m=12(3k+2)(k+1)

11、（kN） （4）或 m=12(3k+4)(k+1) （kN） （5）顯然，不論k是奇數(shù)還是偶數(shù)，（3k+2）(k+1)與(3k+4)(k+1)總是偶數(shù)，故知由（4）或（5）表達(dá)的數(shù)m總能被24整除，因此，p為大于3的素?cái)?shù)時(shí)，m能被24整除。簡評(píng)：這是一道證明題，如果按題目原本的要求進(jìn)行證明就顯得比較困難，這時(shí)我們就適當(dāng)放寬條件，選擇運(yùn)用一般化方法來進(jìn)行解決，問題就迎刃而解。用一般化方法解題，無論是將結(jié)論中的數(shù)量形式或關(guān)系普遍化，還是放寬或取消其中的某項(xiàng)約束條件，都能使我們的解題變得簡單方便。3 應(yīng)用一般化方法的啟示新課程下，在教學(xué)中不僅要靠教師的教，更要使學(xué)生學(xué)會(huì)如何去學(xué)，教師要引導(dǎo)學(xué)生巧妙運(yùn)

12、用數(shù)學(xué)思想方法解決問題，巧妙地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題能夠大大地提高學(xué)生分析、解決問題的能力，在問題解決中能夠?qū)?fù)雜問題簡單化，給解題帶來很多方便，同時(shí)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力也得到了進(jìn)一步的提高。通過以上例題的求解我們知道一般化方法實(shí)際上就是設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與原問題形式一致且易于解決的一般性問題，即尋找處理問題的一般特例，在一般情形的處理下探索解決原問題的方案，但在構(gòu)造一般性問題時(shí)，需要注意進(jìn)行觀察分析原問題的形式包括原問題的性質(zhì)特征，并將它們歸納整理成形式一般且具有一定規(guī)律的一般性問題，只有這樣考慮到原問題各方面的性質(zhì)特征后才能構(gòu)造出一個(gè)對(duì)解決原問題有引路作用的一般問題。一般化方法是一種重要的解題策略，它是數(shù)學(xué)問題探索的一個(gè)常用方法，在一般化解題的過程中，不僅深化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生能夠舉一反三，還能夠培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問題觀察、分析、比較和發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生，有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行一般化方法思想的培養(yǎng)，這樣既培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，增強(qiáng)了對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，又激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。參考文