教案4-不定積分new

1、 第四章 不定積分§4。1 不定積分概念微分學(xué)的基本問(wèn)題是:已知一個(gè)函數(shù)，求它的導(dǎo)數(shù)。但是，在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中往往還會(huì)遇到與此相反的問(wèn)題：已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求原來(lái)的函數(shù)，由此產(chǎn)生了積分學(xué).“積分”是“微分”的逆運(yùn)算。一、 原函數(shù)1、 原函數(shù)定義我們?cè)谟懻搶?dǎo)數(shù)的概念時(shí),解決了這樣一個(gè)問(wèn)題:已知某物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí),路程隨時(shí)間變化的規(guī)律為，那么,在任意時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)的速度為。現(xiàn)在提出相反的問(wèn)題：例1 已知某物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間變化的規(guī)律為，要求該物體運(yùn)動(dòng)的路程隨時(shí)間變化的規(guī)律.顯然,這個(gè)問(wèn)題就是在關(guān)系式中，當(dāng)為已知時(shí)，要求的問(wèn)題。例2 已知曲線上任意點(diǎn)處的切線的斜率為，要求此曲線方程，這個(gè)問(wèn)

2、題就是要根據(jù)關(guān)系式,求出曲線。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，這類問(wèn)題是在關(guān)系式中，當(dāng)函數(shù)已知時(shí)，求出函數(shù)。由此引出原函數(shù)的概念。定義4。1 ：設(shè)是定義在某區(qū)間I內(nèi)的已知函數(shù)，如果存在一個(gè)函數(shù)，對(duì)于每一點(diǎn),都有： 或 則稱函數(shù)為已知函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。例如，由于,所以在內(nèi)，是的一個(gè)原函數(shù)；又因?yàn)?，所以在?nèi),是的一個(gè)原函數(shù)；更進(jìn)一步，對(duì)任意常數(shù)，有，所以在內(nèi)，都是的原函數(shù)。2、 原函數(shù)性質(zhì)（1)如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則在區(qū)間內(nèi)一定有原函數(shù);（2）若，則對(duì)于任意常數(shù)，都是的原函數(shù)。即如果在上有原函數(shù)，則它有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)；(3)若和都是的原函數(shù)，則，（為任意常數(shù)）。即任意兩個(gè)原函數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)。二、

3、不定積分1、 不定積分定義定義4。2 ： 若是在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)原函數(shù),則稱（為任意常數(shù)）為在區(qū)間內(nèi)的不定積分,記為，即.其中： 為積分號(hào),被積函數(shù),被積表達(dá)式，積分變量，-積分常數(shù)。由不定積分的定義可知,計(jì)算一個(gè)函數(shù)的不定積分時(shí),就歸結(jié)為“求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)再加上任意的常數(shù)”即可。例1 計(jì)算下列不定積分。(1）；(2)；（3）。解 （1）因?yàn)椋允堑囊粋€(gè)原函數(shù)，由不定積分的定義知：。(2)因?yàn)?所以是的一個(gè)原函數(shù)，由不定積分的定義知。（3）因?yàn)?，所以是的一個(gè)原函數(shù),由不定積分的定義知.例2 求。解： 當(dāng)時(shí), ,即是的一個(gè)原函數(shù)當(dāng)時(shí)， ，兩式合并，當(dāng)時(shí)，有： .由上述例題可以看出，求不定積

4、分就是求被積函數(shù)的全體原函數(shù),這個(gè)“全體”就體現(xiàn)在任意常數(shù)C上,因此，求不定積分時(shí)，積分常數(shù)不能丟.由于“積分”和“微分"互為逆運(yùn)算，故檢驗(yàn)一個(gè)積分結(jié)果是否正確，只須對(duì)積分結(jié)果求導(dǎo)，看他是否等于被積函數(shù)。2、 不定積分性質(zhì)由不定積分的定義，有:性質(zhì) :先積分后微分,兩種互逆運(yùn)算相抵消。;性質(zhì) ：先微分后積分，兩種互逆運(yùn)算抵消后,相差常數(shù)?；?由此可見(jiàn)，微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的。例3利用性質(zhì)求下列不定積分。（1）；（2）。解 (1）利用“先積后微，結(jié)果等于被積函數(shù)"得:(2)利用“先微后積，結(jié)果等于被積函數(shù)+”得：此處繪圖 圖4-13、 不定積分幾何意義不定積分的圖

5、形是由所表示的無(wú)窮多條積分曲線所組成的“積分曲線簇"。（如圖5-1所示)每一條積分曲線對(duì)應(yīng)于同一橫坐標(biāo)處的切線互相平行。不定積分幾何意義：不定積分表示的一簇積分曲線，而正是積分曲線的切線的斜率.例4求過(guò)點(diǎn)，且其切線的斜率為的曲線方程。 解：由得: 的曲線簇 將代入得: 為過(guò)點(diǎn)且其切線的斜率為的曲線方程。由圖52可以看出： 表示無(wú)窮多條拋物線，這些拋物線就構(gòu)成一條關(guān)于的積分曲線簇。簇中每一條曲線對(duì)應(yīng)于同一橫坐標(biāo)處有相同的斜率。故對(duì)應(yīng)處，這簇曲線的切線互相平行，任兩條曲線的縱坐標(biāo)之間相差一個(gè)常數(shù)。故確定一條曲線，其它各曲線便可由沿軸方向上、下移動(dòng)而得到。§4。2 基本積分公式一

6、、 基本積分公式（背?。┯刹欢ǚe分的定義，從導(dǎo)數(shù)公式可得到相應(yīng)的積分公式.為了計(jì)算方便，下面列出基本積分公式:（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；這些基本積分公式是求不定積分時(shí)常用的公式，同學(xué)們必須熟練地掌握!二、 不定積分運(yùn)算法則法則 ： 函數(shù)代數(shù)和的積分等于函數(shù)積分的代數(shù)和。；推廣：法則 ：被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以移到積分號(hào)的外面.(）.現(xiàn)在利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式，可以求一些函數(shù)的不定積分。例1計(jì)算下列不定積分：（1）；（2);（3）；（4).解 (1）；(2）；（3).（4）。注意：檢驗(yàn)積分結(jié)

7、果是否正確，只要對(duì)結(jié)果求導(dǎo)，看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù),相等時(shí)結(jié)果是正確的,否則結(jié)果是錯(cuò)誤的。三、 直接積分法所謂直接積分法，就是利用不定積分的基本積分公式和法則，來(lái)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分。例2 計(jì)算下列不定積分.（1）；(2);（3）；(4).解:（1);(2);（3）；（4)。注意：當(dāng)被積函數(shù)不能直接用公式時(shí)，需先進(jìn)行一些恒等變形或拆分，將其化為積分基本公式的形式，再求積分即可。例3計(jì)算下列不定積分:（1);(2）； （3）;解 （1)；(利用三角恒等變形：)（2)。 (利用三角函數(shù)降冪公式：）（3)(利用三角函數(shù)降冪公式:)§4.3換元積分法一、 第一類換元法（湊微分法)前面

8、已經(jīng)學(xué)習(xí)了直接積分法，但是僅利用基本積分公式和不定積分的性質(zhì)所能計(jì)算的積分是非常有限的。例如計(jì)算不定積分：,這個(gè)積分看上去很簡(jiǎn)單,與基本積分公式相似，但不能用直接積分法。區(qū)別在于中的被積函數(shù)是由復(fù)合而成的。如何求出這類復(fù)合函數(shù)的積分呢？利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推導(dǎo)出計(jì)算不定積分的一種常用方法-湊微分法。先看一例子：例如：求解:上述例題中求積分的方法就是換元法。此法關(guān)鍵:被積函數(shù)具有形式，設(shè)法將其湊成的形式.故此類換元法又稱為“湊微分法”。定理：設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)且可導(dǎo),則。湊微分法的名稱來(lái)源于把被積函數(shù)分為復(fù)合函數(shù)與中間變量的導(dǎo)數(shù)兩部分,再把湊成。第一類換元法常做如下描述：例1 求解:例2 求解

9、： 由上述例題看出，第一類換元法關(guān)鍵是: 如何將湊成微分注： 熟練以后,可以省去分析過(guò)程和設(shè)新變量的過(guò)程，而可以直接“湊"成基本公式形式,求出最后結(jié)果即可。例3 計(jì)算下列不定積分(直接湊微分）（1）； (2)； (3）；（4）.解: 當(dāng)運(yùn)算熟練之后，可以不寫(xiě)出中間變量，直接計(jì)算. （1）(2)（3）（4）。例4 計(jì)算不定積分 解法一： 解法二: 解法三： 此題三個(gè)結(jié)果 均為 的原函數(shù).注： 檢驗(yàn)積分結(jié)果正確與否，只要把結(jié)果求導(dǎo)，如果倒數(shù)等于被積函數(shù)，則說(shuō)明結(jié)果正確！說(shuō)明同一道不定積分題可出現(xiàn)不同結(jié)果。例5 計(jì)算不定積分 (1）；（2）解：（1）；=（2)注：當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)乘積時(shí)

10、,一般拆開(kāi)“奇次項(xiàng)"去湊微分；當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)偶數(shù)次冪時(shí),常用半角公式通過(guò)降冪的方式來(lái)計(jì)算。有些積分,需要先將被積函數(shù)進(jìn)行“恒等變形”，然后再用“湊微分”法求積分。例6計(jì)算下列不定積分：(1);（2)。解 (1)；(2）由此例題得兩公式如下：；。例7求解：由此例題得公式如下:湊微分法在積分學(xué)中是經(jīng)常用的，這種方法的特點(diǎn)是“湊微分",要掌握這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式,為了做題方便,下面列出一些常用的湊微分格式:（1） （為常數(shù),且）;(2)；（3）；（4);（5);（6)；(7）;（8）；(9）；（10）;(11);（12）; （12）.例8 計(jì)算下列不定積分：

11、（1）； （2）； (3）; (4）。解 （1)；（2);(3）（4)(用到“誘導(dǎo)公式”：名稱變余函數(shù)，符號(hào)看象限)補(bǔ)充積分公式 ； ； ； ； ； ；7. ；8. 。例9 計(jì)算下列不定積分（利用補(bǔ)充公式直接求解）（1）;（2）（3）解:（1）;（2）；（3）二、 第二類換元法第二類換元法中,是“引入新變量,將表示為的一個(gè)連續(xù)函數(shù)”，從而簡(jiǎn)化積分計(jì)算的。例8求。解：積分中含有根式,無(wú)法用湊微分法,故用第二類換元法。令，則。于是。注意 當(dāng)被積函數(shù)中含有根式時(shí)，通常作變量代換消去根式,便于計(jì)算。第二類換元法常做如下描述：例1求。解： 令，即 ，則。于是例2 求解:令,即 ，則：，有：§4

12、。4 分部積分法應(yīng)用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則可推出分部積分法。一、 分部積分法設(shè),都是的可導(dǎo)函數(shù),由乘積的微分法則，有： 移項(xiàng): 兩邊積分： 即:定理：設(shè)函數(shù)及具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則。二、 分部積分公式用法此公式作用：在于把求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的問(wèn)題，即：較之容易求得。分部積分法常用于被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)乘積的積分,如被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等）的乘積,三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積等.例1求。解 被積函數(shù)是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積，用分部積分法.設(shè)，于是若選取，則。于是（結(jié)果比原積分還難求解，不可取)所以，在使用分部積分法時(shí)要特別注意和的選取,關(guān)鍵是：恰當(dāng)?shù)剡x取和。選取和原則：要容易求得，且使比易積出。例2求.解 被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，用分部積分法。設(shè),則。于是小結(jié)：當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積或冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積時(shí)， 可令：同一題中,兩次使