形數(shù)結(jié)合的歸一問題

1、形數(shù)結(jié)合的歸一問題 杭州現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究中心 新思維實(shí)驗(yàn)小學(xué) 唐彩斌 評(píng)析： 張?zhí)煨⒔虒W(xué)內(nèi)容：現(xiàn)代小學(xué)新數(shù)學(xué)讀本三上教學(xué)目標(biāo)： 經(jīng)歷從直觀圖示中抽象出數(shù)量關(guān)系的過程，從不同情境中概括出共同的模型，初步感知?dú)w一問題的解決方法； 溝通圖形、表格、及具體數(shù)量之間的聯(lián)系，通過形數(shù)結(jié)合的訓(xùn)練，提高學(xué)生比較、分析和綜合的能力； 組織富有現(xiàn)實(shí)性的數(shù)學(xué)活動(dòng)，提高學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性，借助歸一的實(shí)際應(yīng)用，內(nèi)化歸一思想，提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)。一創(chuàng)設(shè)輕松氛圍，從動(dòng)漫兒歌導(dǎo)入新課；1師：在上課之前，我送給大家一首動(dòng)漫兒歌。兒歌的名字叫數(shù)青蛙。你們會(huì)嗎？下面就讓我們一起跟著電腦動(dòng)漫念一念。（播放動(dòng)漫兒歌，學(xué)生跟著節(jié)奏

2、念。）2師：同學(xué)們念得真不錯(cuò)。因?yàn)閿?shù)字比較簡(jiǎn)單，又是按照一定的順序從一開始，所以剛才你們背得很熟練?，F(xiàn)在加大點(diǎn)難度，不按順序了，2只，5只，8只，12只，你們還能念嗎？我們一起來試一試。3學(xué)生嘗試念兒歌。（顯然節(jié)奏變得慢了）4師：怎么一下子就變得這么不整齊了，有時(shí)還故意把某個(gè)字念得特別長(zhǎng)，這是為什么？【學(xué)生會(huì)意地笑：我們?cè)谒恪俊?師：是啊，今天我們就要來學(xué)習(xí)有關(guān)怎么算的問題。學(xué)了以后，我們不僅能背兒歌，而且還能編兒歌?！驹u(píng)析：輕松的兒歌，動(dòng)漫的形式，吸引了學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣。同時(shí)，也為學(xué)習(xí)歸一孕伏了基礎(chǔ)，便于學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遷移已有的經(jīng)驗(yàn)?！慷柚庇^圖形，初步感知每份數(shù)、份數(shù)與總數(shù)之間的關(guān)系

3、。1師：今天的學(xué)習(xí)從一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形開始。呈現(xiàn)一個(gè)長(zhǎng)方形，表示120?，F(xiàn)在平均分成4份，1份涂上黃色，黃色部分表示多少？ 2學(xué)生解答：120÷430。3師：你是怎么想的？ 4.生：用總數(shù)除以份數(shù)，可以求出一份是多少。5呈現(xiàn)另一個(gè)圖形：一個(gè)三角形表示90，黃色部分有6個(gè)，黃色部分表示多少？6學(xué)生解答：90×6540。7師：你是怎么想的？8生：用每份數(shù)乘以份數(shù)，可以求出總數(shù)。【評(píng)析：在直觀圖示的導(dǎo)引下，鞏固學(xué)生根據(jù)總數(shù)和份數(shù)求每份數(shù)，以及根據(jù)每份數(shù)和份數(shù)求總數(shù)的基本技能。在兩個(gè)不同的直觀圖示中，孕伏了解決歸一問題的分解步驟，為學(xué)習(xí)歸一做必要的知識(shí)儲(chǔ)備?！咳柚庇^圖形，初步感受歸

4、一的基本模式；1師：下面這個(gè)圖形的黃色部分表示多少？2生：少條件的，應(yīng)該告訴一份是多少？3師追問：非要告訴一份是多少嗎？我們一起來看看到底告訴了什么已知條件？能不能求出黃色部分是多少？出示：紅色部分表示180。4學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試解答。有的先分步：180÷360，60×5300，教師引導(dǎo)用綜合算式解答：180÷3×560×5300，特別強(qiáng)調(diào)：先算哪步，表示什么？5師補(bǔ)充：如果已知的是整個(gè)圖形表示480呢？6生列式計(jì)算：480÷8×560×5300。7師引導(dǎo)學(xué)生反思：剛才是怎樣求出黃色部分的，我們一起來回顧一下，為了

5、比較的方便，可以用表格把相應(yīng)的數(shù)據(jù)整理在一起。紅色黃色整個(gè)圖總數(shù)180300480份數(shù)3588學(xué)生觀察表格，以及相應(yīng)的算式，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解答這些問題有什么共同之處？9學(xué)生：都是先求出一個(gè)小三角形是多少。【評(píng)析：在直觀圖示的導(dǎo)引下，學(xué)生形成了一定的認(rèn)知沖突，要求黃色部分是多少，但又不知道一份是多少？引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知的總數(shù)和份數(shù)求出每份數(shù)，再根據(jù)每份數(shù)和份數(shù)，求出相應(yīng)的總數(shù)。雖然先后兩次呈現(xiàn)條件，一次已知紅色部分，一次已知整個(gè)圖形，但每一次都是為了先求出每個(gè)三角形是多少，突出歸一的必要和重要。】10觀察圖表中信息，提出問題，并解答?？倲?shù)63份數(shù)7學(xué)習(xí)方法提示：提問；解答；填表；交流；11學(xué)生獨(dú)

6、立思考，靜心思考，再交流。問題：藍(lán)色部分表示多少？解法；63÷7×5；問題：空白部分表示多少？解法：63÷7×12；問題：涂色部分表示多少？解法：63÷7×12；問題：整個(gè)圖形表示多少？解法：63÷7×24；12師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)共同規(guī)律：在解決這些問題中，你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？13生：都是先求出一個(gè)小正方形表示多少？14教師也來提一個(gè)問題：表示36的圖形可以怎樣畫？ 15學(xué)生解答，先求出有幾格？36÷（63÷7）36÷94（有4格組成，但圖形的形狀可以不同，有5種不同情況）16師：你也能提

7、出這樣的問題？17學(xué)生：表示45的圖形怎么畫？18學(xué)生解答：45÷（63÷7）45÷95。應(yīng)該畫5格。19再比較：有沒有共同之處？不同的是什么？20生交流：還是先求一個(gè)正方形是多少，只不過本來根據(jù)數(shù)量求總數(shù)，而后者是根據(jù)總數(shù)求份數(shù)?！驹u(píng)析：在學(xué)生初步建立正歸一的直觀模型基礎(chǔ)上，通過根據(jù)圖表中信息的提問，引導(dǎo)提出反歸一的問題，在正反歸一問題的比較中，進(jìn)一步突出歸一的基本特征。針對(duì)三年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)特征，學(xué)習(xí)時(shí)可結(jié)合學(xué)生的操作“畫一畫”表示36的圖，既對(duì)歸一問題解決方法的強(qiáng)化，同時(shí)也是加強(qiáng)空間觀念，提高數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。】四通過實(shí)物圖，感受歸一思路的實(shí)際應(yīng)用。1師：剛才我們

8、從不同的圖形中都發(fā)現(xiàn)同樣的規(guī)律，都是要先求出一個(gè)三角形或者一個(gè)正方形是多少，如果這個(gè)圖形是現(xiàn)實(shí)生活的一件實(shí)物，那又該怎么解答呢？現(xiàn)在我們一起到生活中看看，迎奧運(yùn)，買福娃；200元？元2學(xué)生解答：200÷4×650×6300（元）；3師：你是怎么想的？生：先求一個(gè)福娃；4現(xiàn)在題目要變一變，表格中依次出現(xiàn)數(shù)據(jù)，要求學(xué)生馬上算出相應(yīng)的數(shù)，看誰的反映快？總數(shù)/元200100份數(shù)/個(gè)461080（尤其是總數(shù)為100元的時(shí)候，學(xué)生容易思維定勢(shì)，100×505000元。稍作思考，學(xué)生馬上會(huì)糾正。）5 教師引導(dǎo)學(xué)生思考：如果最后的兩個(gè)空格由你來填，你打算怎么填？為什么？

9、6生1：先填下面，下面隨便填一個(gè)，再用下面的數(shù)乘以50就是上面的數(shù)了。生2：上面的數(shù)雖然不能隨便填，但只要是50的倍數(shù)就可以了，只要用上面的數(shù)除以50就是下面的數(shù)了。7教師引導(dǎo)強(qiáng)調(diào)：不管先填什么，都要先求出一個(gè)福娃多少元。【評(píng)析：在直觀圖形的經(jīng)驗(yàn)積累基礎(chǔ)上，進(jìn)一步用直觀實(shí)物來呈現(xiàn)問題，為以后學(xué)習(xí)的文字問題作準(zhǔn)備。學(xué)生理想的狀態(tài)是在解決問題時(shí)能提取直觀圖示來幫助解決問題。同時(shí)這又是一個(gè)變式的對(duì)比練習(xí)，既是強(qiáng)化同類型（正歸一）的問題解決方法，又穿插反歸一的問題，著力提高學(xué)生思維的靈活性和敏捷性，因?yàn)閷W(xué)生容易受到思維的定勢(shì)，增強(qiáng)練習(xí)的靈活性和趣味性。無論是正歸一還是反歸一最終是為了突出歸一的本質(zhì)特點(diǎn)

10、。】五借助綜合性的實(shí)際問題，溝通各種歸一思路之間的聯(lián)系；1師：剛才表格中對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)量都不告訴，我們也知道怎么填了。但有時(shí)在生活中，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)量都告訴，那又該怎么辦呢？現(xiàn)在我們一起來解決一個(gè)實(shí)際問題：飲料一杯能裝下嗎？2呈現(xiàn)問題：小瓶飲料90克，倒進(jìn)空瓶占3格。大瓶飲料300克，倒進(jìn)空瓶（8格）裝得下嗎？ （每一格質(zhì)量相等）3學(xué)生思考后，解答： 生1：90÷3×8240（克），240<300；裝不下。生2：300÷（90÷3）10（格），10>8；裝不下。生3：300÷903（倍）30（克）；3×39（格），9>8

11、；裝不下。4教師引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)解決方法的共同點(diǎn)：通過不同的方法，得到了相同的結(jié)果，雖然方法不同，但都是先求出每格裝多少？5教師引導(dǎo)學(xué)生理解：最后一種雖然沒有求出一格是多少，但他把三格當(dāng)作一份來思考了?！驹u(píng)析：在解決問題時(shí)，學(xué)生首先把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，這也是要著力培養(yǎng)的一種能力。同時(shí)，還是蘊(yùn)含著比較，解決同一問題不同的方法卻有一個(gè)共同的本質(zhì)特征，有正反歸一兩種方法都可以解決問題。更可貴的是有學(xué)生能深化“一” 的認(rèn)識(shí)，不拘泥于一就是一格，這是對(duì)歸一的內(nèi)涵的拓展，也是對(duì)歸一問題的透徹的解析?！苛O(shè)計(jì)綜合實(shí)踐活動(dòng)，應(yīng)用歸一思路解決實(shí)際問題。1教師組織學(xué)生再編兒歌。我們一起來把不完整的兒歌編完整。4只小

12、動(dòng)物4張嘴，8只眼睛32條腿；7只小動(dòng)物7張嘴，（ ）只眼睛（ ）條腿；（ ）只小動(dòng)物（ ）張嘴，24只眼睛96條腿2先讓學(xué)生填空，再引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)，這是什么小動(dòng)物嗎？（注：8只腳的，出示圖：蜘蛛）3教師鼓勵(lì)：看來現(xiàn)在大家不只是會(huì)背兒歌，而且還會(huì)編兒歌了?！驹u(píng)析：呼應(yīng)課前念過的兒歌，同時(shí)在解答的過程中也包含著歸一問題的多種類型，并且在解決問題時(shí)需要學(xué)生選擇相應(yīng)的條件，也為學(xué)生用多種策略來解決問題提供空間。】4組織課外實(shí)踐活動(dòng)：怎樣能知道打開一個(gè)水龍頭1個(gè)小時(shí)會(huì)流出多少水？5師：你們今天下午放學(xué)回家，千萬不要一到家就打開水龍頭1小時(shí)，再測(cè)量有多少水？（學(xué)生會(huì)意地大笑）要注意節(jié)約用水。有學(xué)生迫不及待

13、：開1秒鐘就夠了。生補(bǔ)充：那么快，來得及嗎？師：看來大家都要先設(shè)計(jì)好可行的方案，再去實(shí)踐。6教師勉勵(lì)：希望大家把今天所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)用起來，相信你的實(shí)驗(yàn)會(huì)成功?！驹u(píng)析：實(shí)踐能力的培養(yǎng)，需要設(shè)計(jì)一個(gè)個(gè)切實(shí)可行的實(shí)踐活動(dòng)來付諸實(shí)施。只有這樣才不會(huì)成為空談。而像這樣的實(shí)踐活動(dòng)，既是對(duì)本節(jié)課數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的針對(duì)性應(yīng)用，同時(shí)又是一次可操作性很強(qiáng)的實(shí)踐活動(dòng)。既有新意，又很務(wù)實(shí)。】最后的話： 形數(shù)結(jié)合，從圖形直觀中理解數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，掌握數(shù)量關(guān)系，是改進(jìn)應(yīng)用題教學(xué)的新思路，值得我們繼續(xù)實(shí)踐和探索。鳴謝：參與集體聽課指導(dǎo)的老師有斯苗兒，方張松，吳衛(wèi)東，平國(guó)強(qiáng)，丁杭英，馬東娟，汪培新，以及課題組張?zhí)煨ⅲ鞓菲?，邵虹，姜榮富

14、，陳敏，黃文娟，張圓，以及天長(zhǎng)小學(xué)、飲馬井小學(xué)的老師，特此感謝。改進(jìn)傳統(tǒng)歸一問題教學(xué)的新思路觀唐彩斌執(zhí)教數(shù)形結(jié)合的歸一問題有感數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)是數(shù)和形及其演繹的科學(xué)。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)與代數(shù)，空間和圖形是小學(xué)數(shù)學(xué)教育中兩塊重要的內(nèi)容，到了后續(xù)學(xué)習(xí)中又會(huì)產(chǎn)生一門新的學(xué)科，那就是解析幾何，解析幾何就是用方程的思想去描述空間與圖形。也許，這是小學(xué)階段重視數(shù)形結(jié)合思想滲透的重要原因吧。 看了這個(gè)課題，我們就會(huì)想這樣一個(gè)問題，歸一問題屬于解決問題中的一種典型的模型。這樣一種模型如何和圖形結(jié)合，是一種挑戰(zhàn)。聽了唐老師的課以后，讓我們很好地領(lǐng)略了唐老師的智慧和風(fēng)采，他很好的演繹了自己的課題，使

15、我們與會(huì)者深受啟發(fā)。一、             智慧地建立了圖形推算和歸一問題的結(jié)構(gòu)性聯(lián)系。 唐老師找到了直觀圖形推算和歸一問題的聯(lián)系，通過解決圖形中已知總數(shù)和對(duì)應(yīng)份數(shù)，求幾份對(duì)應(yīng)的總數(shù)這樣的問題，建立了正歸一問題的直觀模型。讓學(xué)生感悟圖形推算過程中要先求出單一量的中間問題。然后用具體的現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)物代替幾何圖形，推廣到了歸一問題，實(shí)現(xiàn)了圖形模型和生活問題的聯(lián)結(jié)，產(chǎn)生了類推，實(shí)現(xiàn)了數(shù)型結(jié)合。同時(shí)為學(xué)生表格的、文字的生活問題奠定了基礎(chǔ)。這樣我們也不難理解三年級(jí)的孩子能夠很好掌握歸一問題的原因了，這個(gè)原因就是結(jié)構(gòu)化模型的轉(zhuǎn)換。二、             漸進(jìn)地處理了解決問題的模型化和去模式化問題。模型化有助于學(xué)生理解結(jié)構(gòu)和掌握結(jié)構(gòu)，從唐老師上課的效果非常明顯的證明了這一點(diǎn)。但唐師在建立圖形模型和實(shí)物模型的同時(shí)，又極力注意去模型化。讓學(xué)生經(jīng)歷圖形，表格到生活問題，特別是到解決生