扇形圓柱圓錐面積公式及計算

1、扇形面積公式、圓柱、圓錐側(cè)面展開圖  學(xué)習(xí)目標(biāo)  1. 掌握基本概念：正多邊形，正多邊形的中心角、半徑、邊心距以及平面鑲嵌等。  2. 扇形面積公式：        n是圓心角度數(shù)，R是扇形半徑，l是扇形中弧長。  3. 圓柱是由矩形繞一邊旋轉(zhuǎn)360°形成的幾何體，側(cè)面展開是矩形，長為底面圓周長，寬為圓柱的高      r底面半徑  h圓柱高  4. 圓錐側(cè)面積    圓錐是由直角三角形

2、繞一直角邊旋轉(zhuǎn)360°形成的幾何體。    側(cè)面展開是扇形，扇形半徑是圓錐的母線，弧長是底面圓周長。  5. 了解圓柱由兩平行圓面和一曲面圍成，明確圓柱的高和母線，它們相等。  6. 了解圓錐由一個曲面和一個底面圓圍成，明確圓錐的高和母線，知道可以通過解高、母線、底面半徑所圍直角三角形，解決圓錐的有關(guān)問題。  7. 圓柱    圓柱的側(cè)面展開圖是兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面周長的矩形。圓柱的側(cè)面積等于底面周長乘以圓柱的高。如圖所示，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則：，。  8. 圓錐

3、    圓錐是由一個底面和一個側(cè)面組成的。圓錐的底面是一個圓，側(cè)面是一個曲面，這個曲面在一個平面上展開后是一個扇形，這個扇形的半徑是圓錐的母線，扇形的弧長是圓錐底面的周長。因此，圓錐的側(cè)面積是圓錐的母線與底面周長積的一半。如圖所示，若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則        。 重點、難點    扇形面積公式及圓柱、圓錐側(cè)面積公式的理解和靈活應(yīng)用。 【典型例題】  例1. 已知如圖1，矩形ABCD中，AB1cm，BC2cm，以B為圓心，B

4、C為半徑作圓弧交AD于F，交BA延長線于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面積。圖1    解：AB1，BC2，F(xiàn)點在以B為圓心，    BC為半徑的圓上，    BF2，在RtABF中，AFB30°，ABF60°           例2. 已知扇形的圓心角150°，弧長為，則扇形的面積為_。    解：設(shè)扇形的面積為S，弧長為l，所在圓的半徑為R， &

5、#160;  由弧長公式，得：        由扇形面積公式，故填。    點撥：本題主要考查弧長公式和扇形面積公式。   例3. 已知弓形的弦長等于半徑R，則此弓形的面積為_。（弓形的弧為劣?。?。    解：弓形弦長等于半徑R    弓形的弧所對的圓心角為60°    扇形的面積為。    三角形的面積為。    弓

6、形的面積為。    即。故應(yīng)填。    點撥：注意弓形面積的計算方法，即弓形的面積等于扇形面積與三角形面積的和或差。本題若沒有括號里的條件，則有兩種情況。   例4. 若圓錐的母線與底面直徑都等于a，這個圓錐的側(cè)面積為_。    解：圓錐的底面直徑等于a。    底面半徑為，    底面圓的周長為。    又圓錐的母線長為a，    圓錐的側(cè)面積為。 

7、60;  故應(yīng)填    點撥：圓錐的側(cè)面積即展開圖的扇形面積，可利用扇形的面積公式求得。   例5. 如圖2所示，OA和OO1是O中互相垂直的半徑，B在上，弧的圓心是O1，半徑是OO1，O2與O、O1、OA都相切，OO16，求圖中陰影部分的面積。圖2    解：設(shè)O2與O、O1、OA分別切于點D、C、E，設(shè)O2的半徑為r，連結(jié)O1O2，O2E，過點O2作O2FO1O于F，連結(jié)O1B、OB、OO2。    O1O6，l     

8、                                             又          

9、;      ，    ，    ，    ，        （舍去）    又是等邊三角形    ，        扇形和扇形的面積相等且都等于。    所組成的圖形面積為扇形O1BO和扇形OO1B的面積之和減去三角形O1OB的面積，即： 

10、;       又扇形OAO1的面積為：    陰影部分的面積為：                                      

11、0;           點撥：本題比較復(fù)雜，考查的知識面比較多，要正確作輔助線，找出解題的思路。  例6. 在半徑為2的圓內(nèi)，引兩條平行弦，它們所對的弧分別為120°和60°，求兩弦間所夾圖形的面積及周長。    解：分兩條弦在圓心的同側(cè)或兩側(cè)這兩種情況：    如圖3所示，由題意，圖3    則AOB120°，COD60°    又A

12、BCD，    ，    AOCBOD    又AOCBOD180°    AOCBOD90°        又                         

13、0;      故所求面積為                      又AOC90°，    ，    同理    又OCD是等邊三角形，    CDOCOD2    又  &#

14、160; 所求的周長                      如圖4所示，由第一種情況，得所求面積：圖4                           

15、        所求周長                  點撥：要注意本題的兩種情況，另外，弧長公式和扇形以及弓形的面積求法要求正確掌握，熟練運用。   例7. 如圖5所示，已知正方形的邊長是4cm，求它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積。（答案保留）（1999年廣州）圖5    解：設(shè)正方形外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R、r，面積為

16、    。        。    常見錯誤：此題最容易產(chǎn)生的問題是找不出正方形邊長的一半與兩圓的半徑之間的勾股關(guān)系。即不會運用圓內(nèi)接正方形與圓外切正方形的性質(zhì)來解題。這一點讀者應(yīng)認(rèn)真體會。   例8. 如圖6所示，已知ABC內(nèi)接于O，且ABBCCA6cm圖6    （1）求證：OBC30°；    （2）求OB的長（結(jié)果保留根號）；    （3）求圖中陰影

17、部分的面積（結(jié)果保留）。    解：（1）ABBCCA，A60°    BOC120°，又OBOC，    OBC    （2）過O作ODBC于D，    OBOC，BC6cm，        ，        （3）        即陰影部分面積是

18、。    常見錯誤：此題常見的問題是不會運用正三角形這一條件，從而無法證明OBC30°；當(dāng)然，解直角三角形失誤，求扇形面積時公式記錯產(chǎn)生的錯誤，也是考試中的常見錯誤，應(yīng)引起警惕。   例9. 一個圓錐的高是10cm，側(cè)面展開圖是半圓，求圓錐的側(cè)面積。    點悟：如圖7所示，欲求圓錐的側(cè)面積，即求母線長l，底面半徑r。由圓錐的形成過程可知，圓錐的高、母線和底面半徑構(gòu)成直角三角形即RtSOA，且SO10，SAl，OAr，關(guān)鍵找出l與r的關(guān)系，又其側(cè)面展開圖是半圓，可得關(guān)系，即。圖7  &

19、#160; 解：設(shè)圓錐底面半徑為r，扇形弧長為C，母線長為l，    由題意得          在RtSOA中，      由、得：。    所求圓錐的側(cè)面積為    。   例10. 圓錐的軸截面是等腰PAB，且PAPB3，AB2，M是AB上一點，且PM2，那么在錐面上A、M兩點間的最短距離是多少？    點悟：設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形PBB&

20、#39;，A點落在A'點，則所求A'、M之間的最短距離就是側(cè)面展形圖中線段A'M的長度。    解：如圖8所示，扇形的圓心角360°圖8    A'PB60°，在A'PM中，過A'作A'NPM于N，    則 ，【模擬試題】（答題時間：40分鐘）一、填表    （1）已知：正n邊形邊長為a正n邊形中心角半徑邊心距周長面積n3     n4 &

21、#160;   n6          （2）已知：正n邊形半徑R正n邊形中心角半徑邊心距周長面積n3     n4     n6      二、填空題：  1. 如果扇形半徑長3cm，圓心角120°，則它的面積是_cm2。  2. 若圓錐母線長5cm，高3cm，則其側(cè)面展開圖的圓心角是_

22、度。  3. 若圓錐底面半徑為3cm，母線長5cm，則它的側(cè)面展開圖面積是_cm2。  4. 有一圓柱狀玻璃杯，底面半徑3cm，高為8cm，今有一長12cm的吸管斜放入杯中，若不考慮吸管粗細，則吸管最少露出杯口處的長度是_cm。  5. 用一個半徑為30cm，圓心角為120°的扇形紙片做成一圓錐側(cè)面，那么圓錐底面半徑是_cm。  6. 如圖1，正方形ABCD邊長為2，分別以AB、BC為直徑在正方形內(nèi)作半圓，則圖中陰影部分面積為_平方單位。 圖1 圖2  7. 如圖2，AB2cm，AOB90°，AOBO，以O(shè)為圓心，OA為半徑

23、作弧AB，以AB為直徑做半圓AmB，則半圓和弧AB所圍陰影部分面積是_cm2。  8. 若圓錐側(cè)面積為，母線長5cm，則圓錐的高為_cm。  9. 圓柱表面積為，它的高為2cm，則底面半徑為_cm。  10. 矩形ABCD中，AC4cm，ACB30°，以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到圓柱表面積為_cm2。三、解答題：  11. 已知扇形的半徑為，它的面積恰好等于一個半徑為的圓面積，那么這個扇形的圓心角為多少度？  12. 如圖3，已知半圓O，以AD為直徑，AD2cm，B、C是半圓弧的三等分點，求圖中陰影部分面積。圖3  13.

24、已知如圖，割線PCD過圓心O，且PD3PC，PA、PB切O于點A、B，PAB60°，PA，AB與PD相交于E，求弓形ACB的面積。【試題答案】一、填表：    （1）正n邊形中心角半徑邊心距周長面積n3120°3an490°4an660°a6a     （2）正n邊形中心角半徑邊心距周長面積n3120°n490°n660°R6R 二、填空題：  1.        &

25、#160;                    2. 288                          3.   4. 2 

26、60;                        5. 10                            6.   7. 1