線性系統(tǒng)的根軌跡分析

1、第第4 4章章 線性系統(tǒng)的根軌跡分析線性系統(tǒng)的根軌跡分析 本章主要內(nèi)容及重點(diǎn)本章主要內(nèi)容及重點(diǎn) 4-1 4-1 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念 4- -2 根軌跡的繪制規(guī)則根軌跡的繪制規(guī)則 4-3 4-3 正反饋回路和零度根軌跡正反饋回路和零度根軌跡本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容本章闡述了控制系統(tǒng)本章闡述了控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法。的根軌跡分析方法。包括根軌跡的基本概包括根軌跡的基本概念、繪制系統(tǒng)根軌跡念、繪制系統(tǒng)根軌跡的基本條件和基本規(guī)的基本條件和基本規(guī)則則, ,參量根軌跡和零參量根軌跡和零度根軌跡的概念和繪度根軌跡的概念和繪制方法，以及利用根制方法，以及利用根軌跡如何分析計(jì)算控軌跡如何分析計(jì)算

2、控制系統(tǒng)的性能（穩(wěn)定制系統(tǒng)的性能（穩(wěn)定性、暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)性、暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)等）。性能指標(biāo)等）。本章重點(diǎn)本章重點(diǎn)學(xué)習(xí)本章內(nèi)容學(xué)習(xí)本章內(nèi)容, ,應(yīng)重點(diǎn)應(yīng)重點(diǎn)掌握根軌跡的基本概念掌握根軌跡的基本概念、繪制根軌跡的條件、繪制根軌跡的條件、系統(tǒng)根軌跡的繪制規(guī)則系統(tǒng)根軌跡的繪制規(guī)則和利用根軌跡分析系統(tǒng)和利用根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、暫態(tài)特性和的穩(wěn)定性、暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能, , 參量根軌跡參量根軌跡的概念和繪制方法的概念和繪制方法, ,理理解零度根軌跡的基本概解零度根軌跡的基本概念和繪制方法。念和繪制方法。4-1 4-1 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念根軌跡的主要內(nèi)容根軌跡的主要內(nèi)容 當(dāng)系統(tǒng)

3、的某一參數(shù)變化時，利用已知的開當(dāng)系統(tǒng)的某一參數(shù)變化時，利用已知的開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)，繪制閉環(huán)系統(tǒng)的環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)，繪制閉環(huán)系統(tǒng)的特征根的軌跡。特征根的軌跡。 下面結(jié)合具體的例子來說明什么是根軌跡。下面結(jié)合具體的例子來說明什么是根軌跡?？刂葡到y(tǒng)框圖如圖控制系統(tǒng)框圖如圖4-1-14-1-1所示，其開環(huán)傳遞函所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)為數(shù)為圖圖4-1-14-1-1控制系統(tǒng)框圖控制系統(tǒng)框圖G(s)+ +- -R R( (s s) )E E( (s s) )C C( (s s) )將上式化為將上式化為即為根軌跡所用傳函的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中即為根軌跡所用傳函的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中) 15 . 0()(ssK

4、sG)2()2(2)(sskssKsGKk2由式由式(4-1-2)(4-1-2)解得兩個開環(huán)極點(diǎn)：解得兩個開環(huán)極點(diǎn)：p p1 1 =0 =0， p p2 2 =-2 =-2畫于圖畫于圖4-1-24-1-2中。由式中。由式(4-1-2)(4-1-2)求得閉環(huán)傳遞函數(shù)求得閉環(huán)傳遞函數(shù)為為(4-1-1)(4-1-1)(4-1-2)(4-1-2)kssksGsGsRsCsGB)2()(1)()()()(4-1-3)(4-1-3)于是得到閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程于是得到閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程下面說明，當(dāng)下面說明，當(dāng)k k從從00，特征根即閉環(huán)極點(diǎn)，特征根即閉環(huán)極點(diǎn) 如何變化。如何變化。02)(2ksssD21ss

5、、(4-1-4)(4-1-4)解得解得ksks111121(4-1-5)(4-1-5)當(dāng)當(dāng)k=0k=0時，時， ，此時閉環(huán)極點(diǎn)就是開環(huán)極點(diǎn)。此時閉環(huán)極點(diǎn)就是開環(huán)極點(diǎn)。當(dāng)當(dāng)00k1k1時，時， 均為負(fù)實(shí)數(shù)，在均為負(fù)實(shí)數(shù)，在(-2,0)(-2,0)一段負(fù)實(shí)軸上。一段負(fù)實(shí)軸上。當(dāng)當(dāng)k=1k=1時，時， ，兩個負(fù)實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)重合在一起。兩個負(fù)實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)重合在一起。當(dāng)當(dāng)11kkmnm時，時，式式(4-2-3)(4-2-3)改寫為改寫為當(dāng)當(dāng)kk時時kpspsspspspszszsznmmm1)()(1()1)(1()1()1)(1(12121(4-2-4)(4-2-4)(4-2-5)(4-2-5) 可見

6、，開環(huán)零點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)處都是根軌跡的終點(diǎn)。若可見，開環(huán)零點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)處都是根軌跡的終點(diǎn)。若稱系統(tǒng)有稱系統(tǒng)有n-mn-m個無窮大的開環(huán)零點(diǎn)，則系統(tǒng)的開個無窮大的開環(huán)零點(diǎn)，則系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)相同了。環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)相同了。規(guī)則三規(guī)則三 根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)目如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)目m m小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目n n，則有則有( (n-m)n-m)條根軌跡終止于條根軌跡終止于 ss平面無窮遠(yuǎn)處。平面無窮遠(yuǎn)處。根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線就是確定當(dāng)開環(huán)零點(diǎn)數(shù)目根軌跡的漸近線就是確定當(dāng)開環(huán)零點(diǎn)數(shù)目m m小于極點(diǎn)小于極

7、點(diǎn)數(shù)目數(shù)目n n時，時，( (n-m)n-m)條根軌跡沿什么方向趨于條根軌跡沿什么方向趨于 ss平面無平面無窮遠(yuǎn)處。由式窮遠(yuǎn)處。由式(4-1-7)(4-1-7)及式及式(4-2-1)(4-2-1)求得求得1)()()()(2121nmpspspszszszsk/1)()(tetctg圖圖4-2-14-2-1(4-2-6)(4-2-6)的向量圖s當(dāng)當(dāng)ss時，可以認(rèn)為分子分母中各個一次因式時，可以認(rèn)為分子分母中各個一次因式項(xiàng)相等，即對于漸近線上的點(diǎn)，有項(xiàng)相等，即對于漸近線上的點(diǎn)，有spspszszszsnm121(4-2-7)(4-2-7)式中，式中， 是實(shí)數(shù)，是實(shí)數(shù)， 如圖如圖4-2-14-2-

8、1所示。將上式所示。將上式代入式（代入式（4-2-64-2-6）可得）可得s1)(mnskksmn)(式式(4-2-8)(4-2-8)就是漸近線應(yīng)滿足的方程。由此式可得就是漸近線應(yīng)滿足的方程。由此式可得(4-2-8)(4-2-8)有無數(shù)個解，但這些解有無數(shù)個解，但這些解)2, 1, 0(l由上式可知由上式可知) 12()()(lsmn)( s實(shí)際上只表示過點(diǎn)實(shí)際上只表示過點(diǎn))0,(j的的n-mn-m個不同位置的個不同位置的直線，因此可認(rèn)為只有直線，因此可認(rèn)為只有n-mn-m個不同的解。故有個不同的解。故有mnls12)() 1,2 , 1 , 0(mnl下面求下面求a a利用多項(xiàng)式乘法和除法，

9、由式利用多項(xiàng)式乘法和除法，由式(4-2-6)(4-2-6)可得可得(4-2-9)(4-2-9)利用二項(xiàng)式定理將入上式左邊展開后得可得利用二項(xiàng)式定理將入上式左邊展開后得可得1111111)()()(mnniimjjmnmmjjmnniinspzsszsspsk將式將式(4-2-8)(4-2-8)代入上式可得代入上式可得111)()(mnniimjjmnmnspzss上式兩邊上式兩邊 的系數(shù)應(yīng)相等，故有的系數(shù)應(yīng)相等，故有1111)()(mnniimjjmnmnmnspzssmns1 mnsmnzpmjjnii11(4-2-10)(4-2-10)若開環(huán)傳遞函數(shù)無零點(diǎn)，取若開環(huán)傳遞函數(shù)無零點(diǎn)，取 0j

10、z規(guī)則四規(guī)則四 如果控制系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)數(shù)目如果控制系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)數(shù)目m m小于開小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目環(huán)極點(diǎn)數(shù)目n n，當(dāng)當(dāng)kk時，伸向無窮遠(yuǎn)處根軌跡時，伸向無窮遠(yuǎn)處根軌跡的漸近線共有的漸近線共有( (n-m)n-m)條。這些漸近線在實(shí)軸上交條。這些漸近線在實(shí)軸上交于一點(diǎn)，其坐標(biāo)是于一點(diǎn)，其坐標(biāo)是)0,(11jmnzpmjjnii而漸近線與實(shí)軸正方向的夾角是而漸近線與實(shí)軸正方向的夾角是mnl12) 1,2 , 1 , 0(mnl實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡設(shè)設(shè)其中其中)()()()()(3211pspspszsksHsG21pp、是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)在在 ss

11、平面上的位置。如圖平面上的位置。如圖(4-2-2)(4-2-2)所示所示圖圖4-2-24-2-2確定實(shí)軸上的根軌跡確定實(shí)軸上的根軌跡說明說明s s2 2不是根軌跡上的點(diǎn)。不是根軌跡上的點(diǎn)。180180)(0)()()()()()(31211111pspspszssHsG說明說明s s1 1是根軌跡上的點(diǎn)。其次，在是根軌跡上的點(diǎn)。其次，在(-(-，z z1 1) )中間中間取試驗(yàn)點(diǎn)取試驗(yàn)點(diǎn)s s2 2，則有則有0180180)()()()()()()()(321232221212pszspspspszssHsG在在 ss平面實(shí)軸上取試驗(yàn)點(diǎn)，用相角條件檢查該平面實(shí)軸上取試驗(yàn)點(diǎn)，用相角條件檢查該試驗(yàn)

12、點(diǎn)是不是根軌跡上的點(diǎn)。首先在試驗(yàn)點(diǎn)是不是根軌跡上的點(diǎn)。首先在z z1 1、p p3 3之間之間選試驗(yàn)點(diǎn)選試驗(yàn)點(diǎn)s s1 1，則有，則有規(guī)則五規(guī)則五 實(shí)軸上的根軌跡只能是那些在其右側(cè)開實(shí)軸上的根軌跡只能是那些在其右側(cè)開環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)、實(shí)數(shù)零點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)的線段。共軛環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)、實(shí)數(shù)零點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)的線段。共軛復(fù)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)對確定實(shí)軸上的根軌跡無影復(fù)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)對確定實(shí)軸上的根軌跡無影響。響。圖圖4-2-3 分離點(diǎn)與會合點(diǎn)分離點(diǎn)與會合點(diǎn)根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)特征方程為特征方程為圖圖4-2-34-2-3的根軌跡中的點(diǎn)的根軌跡中的點(diǎn)A A和點(diǎn)和點(diǎn)B B分別是根軌跡

13、在分別是根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)。顯然分離點(diǎn)和會合點(diǎn)實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)。顯然分離點(diǎn)和會合點(diǎn)是特征方程的實(shí)數(shù)重根。是特征方程的實(shí)數(shù)重根。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為)()()()(sDskNsHsG(4-2-11)(4-2-11)其中，其中，niimjjpssDzssN11)()(),()(0)()()(skNsDsf(4-2-12)設(shè)特征方程有設(shè)特征方程有2 2重根重根 ，則有，則有)()()()()(21spssskNsDsf式中，式中，p (s)是是s的的n-2n-2次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式1sdssdpssspssdssdNkdssdDdssdf)()()()( 2)()()(21

14、1所以重根及分離點(diǎn)和會合點(diǎn)滿足下述方程所以重根及分離點(diǎn)和會合點(diǎn)滿足下述方程0)(dssdf(4-2-13)及及0)()(dssdNkdssdD(4-2-14)由式由式(4-2-12)(4-2-12)得得k=-k=-D(s)/N(s)，代入式代入式(4-2-14)(4-2-14)得得0)()()()(dssdNsDdssdDsN規(guī)則六規(guī)則六 根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)或會合點(diǎn)的坐根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)或會合點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足方程標(biāo)應(yīng)滿足方程(4-2-13)(4-2-13)或或(4-2-15)(4-2-15)。0)()(sNsDdsd(4-2-15)(4-2-15)例例4-2-1 4-2-1 已知負(fù)反饋系

15、統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為) 2)(1()()(sssksHsG試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解解 令令s(s+1)(s+2)=0s(s+1)(s+2)=0，解得三個開環(huán)極點(diǎn)解得三個開環(huán)極點(diǎn)1 1）根軌跡分支數(shù)等于）根軌跡分支數(shù)等于3 3。2 2）三條根軌跡的起點(diǎn)分別為：）三條根軌跡的起點(diǎn)分別為：(0,(0,j0)j0)、(-1,j0)(-1,j0)、(-2,j0)(-2,j0)，終點(diǎn)均為無窮遠(yuǎn)處。終點(diǎn)均為無窮遠(yuǎn)處。3 3）根軌跡的漸近線：由于）根軌跡的漸近線：由于n=3,m=0n=3,m=0，所以所以該系統(tǒng)的根軌跡共有三條漸近線，它們在該系統(tǒng)的根軌跡共有三條漸

16、近線，它們在實(shí)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)是實(shí)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)是2, 1, 0321ppp130210)()(11mnzpnimjji漸近線與實(shí)軸正方向的夾角分別是漸近線與實(shí)軸正方向的夾角分別是603) 12(:0mnll4 4）實(shí)軸上的根軌跡：）實(shí)軸上的根軌跡：(-(-，-2-2段及段及-1-1，00段。段。5 5）根軌跡與實(shí)軸的分離點(diǎn)坐標(biāo)）根軌跡與實(shí)軸的分離點(diǎn)坐標(biāo) 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為18033:1l6030035:2或l023)(23kssssf0263)(2ssdssdf578. 1,422. 021ss由前邊分析得知，由前邊分析得知， 不是根軌跡上的點(diǎn)，故舍不是根軌跡上的點(diǎn)，故舍去。

17、去。 是根軌跡與實(shí)軸分離點(diǎn)坐標(biāo)。最后畫出是根軌跡與實(shí)軸分離點(diǎn)坐標(biāo)。最后畫出根軌跡如圖根軌跡如圖4-2-44-2-4所示。所示。1s2s圖圖4-2-4 4-2-4 例例4-2-14-2-1的跟軌跡圖的跟軌跡圖根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)規(guī)則七規(guī)則七 根軌跡與虛軸相交，說明控制系統(tǒng)有位于根軌跡與虛軸相交，說明控制系統(tǒng)有位于虛軸上的閉環(huán)極點(diǎn)，即特征方程含有純虛根，將虛軸上的閉環(huán)極點(diǎn)，即特征方程含有純虛根，將s=js=j代入特征方程式代入特征方程式(4-1-6)(4-1-6)中，得到中，得到或或0)()(1jHjG0)()(1Im)()(1RejHjGjjHjG(4-2-16)(4-2-16)

18、將上式分為實(shí)部、虛部兩個方程，即將上式分為實(shí)部、虛部兩個方程，即0)()(1Im0)()(1RejHjGjHjG(4-2-17)(4-2-17)解式解式(4-2-17)(4-2-17)兩個方程，可以求得根軌跡與虛軸兩個方程，可以求得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)值及與交點(diǎn)相對應(yīng)的參數(shù)值及與交點(diǎn)相對應(yīng)的參數(shù)k k的臨界的臨界值值 。例例4-2-2 4-2-2 求例求例4-2-14-2-1系統(tǒng)根軌跡與虛軸交點(diǎn)系統(tǒng)根軌跡與虛軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及參數(shù)臨界值的坐標(biāo)及參數(shù)臨界值解解 控制系統(tǒng)的特征方程是控制系統(tǒng)的特征方程是ckck02323ksss令令s=j s=j ，代入上式，得代入上式，得02323kjj

19、寫出實(shí)部和虛部方程寫出實(shí)部和虛部方程求得參數(shù)求得參數(shù)k k的臨界值的臨界值k kc c=6=6。當(dāng)當(dāng)kkkkc c時，系統(tǒng)將不穩(wěn)時，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。定。020332k由虛部方程解得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為由虛部方程解得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為)(21s代入實(shí)部方程，代入實(shí)部方程，）或（將22中。已標(biāo)在圖及4246)(21cKs根軌跡的出射角與入射角根軌跡的出射角與入射角出射角出射角根軌跡離開復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸根軌跡離開復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角，如圖正方向的夾角，如圖4-2-54-2-5中的中的 。入射角入射角根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線

20、方向與實(shí)軸正方向的夾角，如圖實(shí)軸正方向的夾角，如圖4-2-54-2-5中的中的21zz、21pp、圖圖4-2-5 4-2-5 根軌跡的出射角與入射角根軌跡的出射角與入射角圖圖4-2-6 4-2-6 出射角出射角 的求取的求取1p因?yàn)橐驗(yàn)橄旅嬉詧D下面以圖4-2-64-2-6所示開環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)分布為所示開環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)分布為例，說明如何求取出射角例，說明如何求取出射角 。在圖在圖4-2-64-2-6所示的根軌跡上取一試驗(yàn)點(diǎn)所示的根軌跡上取一試驗(yàn)點(diǎn)S S1 1，使使S S1 1無無限地靠近開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)限地靠近開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)p p1 1，即認(rèn)為即認(rèn)為 這時這時1)(11pps依據(jù)相角條件依據(jù)相角條

21、件180)()()()()(3121111ppppzpsHsGp)()()pppzpip即可。、，所以只求112121,zpzzpp11ps 1p由上式求得出射角由上式求得出射角 為為1p推向一般，計(jì)算根軌跡出射角的一般表達(dá)式為推向一般，計(jì)算根軌跡出射角的一般表達(dá)式為 niimjjpppzpi2111)()(18021同理可求出根軌跡入射角的計(jì)算公式為同理可求出根軌跡入射角的計(jì)算公式為mjniizzjzpzi2111)()(18021(4-2-18)(4-2-18)(4-2-19)(4-2-19) 規(guī)則八規(guī)則八始于開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的根軌跡的出射角按式始于開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的

22、根軌跡的出射角按式(4-2-18)(4-2-18)計(jì)算，止于開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的根軌計(jì)算，止于開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的根軌跡的入射角按式跡的入射角按式(4-2-19)(4-2-19)計(jì)算。計(jì)算。25. 33) 1()()(2sssksHsG例例4-2-3 4-2-3 已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為1)1)根軌跡的分支數(shù)等于根軌跡的分支數(shù)等于2 2；2)2)二條根軌跡起點(diǎn)分別是二條根軌跡起點(diǎn)分別是 。終點(diǎn)是終點(diǎn)是z z1 1即無窮遠(yuǎn)處；即無窮遠(yuǎn)處；3)3)根軌跡的漸近線：因?yàn)楦壽E的漸近線：因?yàn)閚=2n=2，m=1m=1，所以只有一條漸近線，是負(fù)實(shí)軸；所以只有一條漸近線，是負(fù)實(shí)

23、軸；4)4)實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的根軌跡：(-(-，-1;-1;試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。解解 令令025. 332 ssjp5 . 121、令令s+1=0 s+1=0 ，解得解得z z1 1=-1=-121pp、5)5)根軌跡與實(shí)軸會合點(diǎn)坐標(biāo)根軌跡與實(shí)軸會合點(diǎn)坐標(biāo)025. 020125. 3322sssssdsd解得解得12. 0,12. 221ss 不是根軌跡上的點(diǎn)，故舍去，不是根軌跡上的點(diǎn)，故舍去， 是根軌跡與實(shí)軸的會合點(diǎn)。是根軌跡與實(shí)軸的會合點(diǎn)。1s2s6)6)求出射角求出射角最后畫出根軌跡圖，如圖最后畫出根軌跡圖，如圖4-2-74-2-7所示。所示。6.2066.

24、206906.116180)()(1806.1162arctan180)(21211111ppzpzpzp圖圖4-2-7 4-2-7 例例4-2-34-2-3系統(tǒng)根軌跡圖系統(tǒng)根軌跡圖例例4-2-4 4-2-4 負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )22)(73. 2()()(2sssksHsG試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。解解 由已知的由已知的G(s)H(s)G(s)H(s)73. 2,1,1, 04321pjpjpp1)1)漸近線分支數(shù)等于漸近線分支數(shù)等于4 4。2)2)四條根軌跡分別是四條根軌跡分別是p p1 1、p p2 2、p p3 3、p p4

25、 4，終止于無終止于無窮遠(yuǎn)處。窮遠(yuǎn)處。3)3)根軌跡的漸近線：根軌跡有四條漸近線，它們根軌跡的漸近線：根軌跡有四條漸近線，它們在實(shí)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)是在實(shí)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)是 漸近線與實(shí)軸正方向的夾角分別是漸近線與實(shí)軸正方向的夾角分別是18. 104073. 2110)()(11jjmnzpnimjji454) 12(:0mnll13543: 1l13522545:2或l4531547:3或l解得：解得： ，這是起源于開環(huán)極點(diǎn)這是起源于開環(huán)極點(diǎn)的兩條根軌跡脫離實(shí)軸時的分離點(diǎn)坐標(biāo)。的兩條根軌跡脫離實(shí)軸時的分離點(diǎn)坐標(biāo)。4)4)實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的根軌跡：(-2.73,0)(-2.73,0)。5)5)根

26、軌跡與實(shí)軸的分離點(diǎn)坐標(biāo)。根據(jù)式根軌跡與實(shí)軸的分離點(diǎn)坐標(biāo)。根據(jù)式(4-2-15)(4-2-15)06.21s73.2041pp、0)22)(73. 2(2ssssdsd6)6)根軌跡的出射角。根據(jù)式根軌跡的出射角。根據(jù)式(4-2-18)(4-2-18)可求得出射角可求得出射角32pp、046.573.4046.7324k75753090135180)()()ppppppp7)7)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。起源于開環(huán)極點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。起源于開環(huán)極點(diǎn)p p2 2、p p3 3的的兩條根軌跡與虛軸相交，其交點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)式兩條根軌跡與虛軸相交，其交點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)式(4-(4-2-

27、17)2-17)求得的實(shí)部方程與虛部方程進(jìn)行計(jì)算，即求得的實(shí)部方程與虛部方程進(jìn)行計(jì)算，即由虛部方程解得由虛部方程解得)0( 07. 1)0(01ksk）（及將將=1.07=1.07代入實(shí)部方程求得參數(shù)代入實(shí)部方程求得參數(shù)k k的臨界值的臨界值k kc c=7.23=7.23。給定系統(tǒng)為給定系統(tǒng)為1 1型系統(tǒng)，根據(jù)式型系統(tǒng)，根據(jù)式(4-2-25)(4-2-25)可求得該系統(tǒng)的臨界開環(huán)放大系數(shù)可求得該系統(tǒng)的臨界開環(huán)放大系數(shù)k kvcvc 最后繪出該系統(tǒng)的根軌跡圖如圖最后繪出該系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-2-84-2-8所示。所示。8)8)閉環(huán)極點(diǎn)的和與積。系統(tǒng)的特征方程為閉環(huán)極點(diǎn)的和與積。系統(tǒng)的特征方程

28、為)(33. 1)73. 2)(1)(1 (123. 7)()(111sjjpzkkniimjjcvc046. 546. 773. 4)(234kssssSD求得四個閉環(huán)極點(diǎn)之和為求得四個閉環(huán)極點(diǎn)之和為73. 44321ssss四個閉環(huán)極點(diǎn)之積為四個閉環(huán)極點(diǎn)之積為kssss)()()(4321已知系統(tǒng)在臨界狀態(tài)時兩個閉環(huán)極點(diǎn)為已知系統(tǒng)在臨界狀態(tài)時兩個閉環(huán)極點(diǎn)為 及及 k kc c =7.23 =7.23利用前邊兩個關(guān)利用前邊兩個關(guān)系式可求得此時對應(yīng)的另外兩個閉環(huán)極點(diǎn)系式可求得此時對應(yīng)的另外兩個閉環(huán)極點(diǎn)s s3 3、s s4 4 。3 . 623. 773. 473. 421432143ssss

29、ssss84. 0365. 243js、07. 121js、圖圖4-2-8 4-2-8 例例4 4-2-4-2-4系統(tǒng)根軌跡圖系統(tǒng)根軌跡圖例例4-2-5 4-2-5 已知單位負(fù)反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知單位負(fù)反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)為解解 將開環(huán)傳遞函數(shù)將開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)化為在根軌跡法中?；癁樵诟壽E法中常用的形式用的形式15 . 0)(ssKsG用根軌跡分析開環(huán)放大系數(shù)用根軌跡分析開環(huán)放大系數(shù)K K對系統(tǒng)性能的影響，對系統(tǒng)性能的影響，并計(jì)算并計(jì)算K=5K=5時，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。時，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。222)(sskssKsG按根軌跡圖分析，按根軌跡圖分析，K為任意值時，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。為任

30、意值時，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。當(dāng)當(dāng)0K0.5(1k1)時，系統(tǒng)具有兩個不相等的負(fù)實(shí)時，系統(tǒng)具有兩個不相等的負(fù)實(shí)根。根。于是得系統(tǒng)的性能指標(biāo)于是得系統(tǒng)的性能指標(biāo)知系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為時，由圖時的動態(tài)響應(yīng)是振蕩的。復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則系統(tǒng)時，系統(tǒng)具有一對共軛非振蕩的。當(dāng)這時系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是的負(fù)實(shí)根，時，系統(tǒng)具有兩個相等當(dāng)924)10(5)1 (5 . 0) 1(5 . 0kKkKkK316. 03.161 cos 16. 310 311221nnnjjs則、 5%)3s( 3t1.05s 1t63. 0325. 114. 3 1%35%100%100s2p2r05. 112nnnpstee圖圖4-2-9 4-2-9

31、 例例4-2-54-2-5系統(tǒng)的根軌跡系統(tǒng)的根軌跡例例4-2-6 4-2-6 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解解 系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為13313,11)()(KKsKsKsHsG要求繪制系統(tǒng)的根軌跡，并求其穩(wěn)定臨界狀態(tài)的要求繪制系統(tǒng)的根軌跡，并求其穩(wěn)定臨界狀態(tài)的開環(huán)增益。開環(huán)增益。31311 011sKsK或漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為10q 180603121800111321，處。漸近線的相角為時沿著漸近線趨向時從開環(huán)極點(diǎn)出發(fā)，根軌跡有三條分支，無開環(huán)零點(diǎn)。極點(diǎn)給定系統(tǒng)有三重的開環(huán)、qKKpa之線段上。至實(shí)軸上根軌跡存在于11313a根軌跡之分離點(diǎn)

32、必須滿足下列方程根軌跡之分離點(diǎn)必須滿足下列方程系統(tǒng)的根軌跡如圖系統(tǒng)的根軌跡如圖4-2-104-2-10所示。系統(tǒng)處于穩(wěn)定臨所示。系統(tǒng)處于穩(wěn)定臨界狀態(tài)時的開環(huán)增益為界狀態(tài)時的開環(huán)增益為。由上式可見，分離點(diǎn)為101321sdsdK8,8213331KKK圖圖4-2-10 4-2-10 例例4-2-64-2-6的根軌跡的根軌跡4-3 4-3 正反饋回路和零度根軌跡正反饋回路和零度根軌跡設(shè)有局部正反饋系統(tǒng)的方框圖如圖設(shè)有局部正反饋系統(tǒng)的方框圖如圖4-3-14-3-1所示所示。圖圖4-3-1 4-3-1 具有局部正反饋的系統(tǒng)具有局部正反饋的系統(tǒng)正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)為正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)為相應(yīng)的特征方程為相應(yīng)的特征方程為)()(1)()()(1sHsGsGsRsC 1)()( 0)()(1sHsGsHsG或(4-3-1)根據(jù)式根據(jù)式(4-3-1)正反饋回路根軌跡的幅值條件和相角正反饋回路根軌跡的幅值條件和相角條件為：條件為：1)()(11niimjjpszsksHsG(4-3-2)根據(jù)式根據(jù)式(4-3-3