模態(tài)分析的技術(shù)及應(yīng)用

1、2016深圳市泰棱環(huán)?？萍加邢薰?編輯整理一、模態(tài)測(cè)試概述    結(jié)構(gòu)在動(dòng)力載荷作用下，總要產(chǎn)生一定的振動(dòng)響應(yīng)。而結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，常常是結(jié)構(gòu)損壞、環(huán)境惡化，設(shè)備的精度或可靠性降低等工程事故的主要原因。因此，研究結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性和動(dòng)力強(qiáng)度，已日益成為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的重要課題。    結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性主要取決于它的各階固有頻率、主振型和阻尼比等。這些參數(shù)也就是所謂的模態(tài)參數(shù)。如果已經(jīng)有了結(jié)構(gòu)的實(shí)物圖或設(shè)計(jì)圖紙，并掌握所有材料的力學(xué)性能數(shù)據(jù)，那么原則上可以用有限元分析等數(shù)值計(jì)算方法求出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。然而，由于諸方面的原因，例如：非

2、線性因素，材料的不均勻性，阻尼機(jī)理的復(fù)雜性，在加上構(gòu)件與構(gòu)件、整機(jī)與基礎(chǔ)的連接剛度難以確定等，使有限元計(jì)算的準(zhǔn)確性（甚至于可能性）受到限制。    在本世紀(jì)六、七十年代發(fā)展起來(lái)的現(xiàn)代模態(tài)試驗(yàn)分析技術(shù)彌補(bǔ)了有限元分析技術(shù)的某些不足。模態(tài)試驗(yàn)分析與有限元分析的相互結(jié)合及相互補(bǔ)充，在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)和設(shè)備診斷等許多方面，都取得良好的成效。它們已經(jīng)在航天、航空、車輛、船舶、機(jī)床、建筑機(jī)械、電器設(shè)備等工業(yè)部門得到極為廣泛的應(yīng)用。    若干年來(lái)，眾多學(xué)者提出的各種模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，大體上可分為時(shí)域法和頻域法兩類。時(shí)域法是一種從時(shí)

3、域響應(yīng)數(shù)據(jù)中直接識(shí)別模態(tài)參數(shù)的方法，頻域法則是在測(cè)量頻響函數(shù)基礎(chǔ)上，利用最小二乘估計(jì)萃取模態(tài)參數(shù)的方法，也有人稱之為機(jī)械導(dǎo)納法或傳遞函數(shù)法。本節(jié)將著重討論頻域法，它是目前公認(rèn)的比較成熟和有效的方法。二、傳遞函數(shù)和頻響函數(shù)1.傳遞函數(shù)和頻響函數(shù)    在電路或控制系統(tǒng)理論中，將輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比定義為傳遞函數(shù)。如果把機(jī)械系統(tǒng)的激振力看作輸入量，把振動(dòng)的位移響應(yīng)看作輸出量，則機(jī)械系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為           &

4、#160;                                                 &

5、#160;         （4-54）其中，為復(fù)變量，稱為復(fù)頻率，其實(shí)部和虛部常用符號(hào)和表示，即。拉普拉斯變換的定義為                                 &#

6、160;                              （4-55）拉普拉斯變換的主要性質(zhì)有                 &

7、#160;                                         （4-56）    根據(jù)以上性質(zhì)，對(duì)單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)

8、行拉普拉斯變換，可得                                         （4-57）設(shè)初始位移和初始速度均為零，則有    

9、60;                                                 

10、60;            （4-58）由此可以得出單自由度系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為                                  &#

11、160;                              （4-59）令方程（4-58）的特征多項(xiàng)式等于零，即                

12、;                                                  

13、;          （4-60）在小阻尼情況下，由式（4-60）求得的一對(duì)共軛復(fù)根為                                   &#

14、160;                                       （4-61）和稱為該系統(tǒng)的復(fù)頻率，其實(shí)部既是系統(tǒng)的衰減指數(shù)，虛部為系統(tǒng)的阻尼固有頻率。    

15、傳遞函數(shù)式（4-59）可表示為                                               （4-62）式中

16、                                                  

17、                               （4-63）稱為留數(shù)。由式（4-62）可知，當(dāng)或時(shí)，趨于無(wú)限大，故也稱復(fù)頻率和為極點(diǎn)。    前面已指出，線性系統(tǒng)的輸出與輸入的傅立葉變換之比，就是系統(tǒng)的頻響函數(shù)，即  

18、0;                                                 

19、0;                （4-64）在一定前提條件下，也可以從信號(hào)的拉普拉斯變換式中，以置換而求得它的傅立葉變換，因而有                         

20、0;                                                （4-65）例如，對(duì)單自由度振

21、動(dòng)系統(tǒng)，將其傳遞函數(shù)式（4-55）的變量用置換，得到它的頻響函數(shù)為                                            

22、60;                        （4-66）    這與前面簡(jiǎn)諧激勵(lì)導(dǎo)出的位移導(dǎo)納完全相同。由于頻響函數(shù)和傳遞函數(shù)不僅適用于簡(jiǎn)諧激勵(lì)，而且適用于任意激勵(lì)，可將其理解為廣義上的機(jī)械導(dǎo)納。2.傳遞函數(shù)矩陣和頻響函數(shù)矩陣    多自由度系統(tǒng)在任意激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)方程為 

23、;                                                  

24、0;                     （4-67）對(duì)方程作拉普拉斯變換，并設(shè)所有坐標(biāo)的初始位移和初始速度均為零，則有                      &

25、#160;                                           （4-68）其中，和分別為和的拉普拉斯變換。令   &

26、#160;                                                  

27、                  （4-69）                               

28、                                     （4-70）則方程（4-68）可縮減為          

29、0;                                                  

30、60;            （4-71）或                                    &#

31、160;                                                 &#

32、160;               （4-72）稱為系統(tǒng)的阻抗矩陣或特征矩陣，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，對(duì)于個(gè)自由度系統(tǒng)，均為方陣。的第行第列元素等于系統(tǒng)在坐標(biāo)的響應(yīng)函數(shù)與坐標(biāo)激勵(lì)函數(shù)拉普拉斯變換之比，即                    

33、60;                                                （4-73）如取，則拉普拉斯

34、變換轉(zhuǎn)化為傅立葉變換，傳遞函數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為頻響函數(shù)矩陣，這時(shí)可得到下列定義式及關(guān)系式：                                           

35、                           （4-74）                       

36、;                                          （4-75）       

37、0;                                                 

38、0;              （4-76）                                   

39、60;                              （4-77）    如前所述，由傅立葉變換給出的頻響函數(shù)與根據(jù)簡(jiǎn)諧激勵(lì)得到的導(dǎo)納函數(shù)是完全一致的。因此，頻響函數(shù)矩陣也稱為導(dǎo)納函數(shù)矩陣。頻響函數(shù)矩陣中對(duì)角線元素、為原點(diǎn)導(dǎo)納或驅(qū)動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納；的非對(duì)角線元素，為

40、跨點(diǎn)導(dǎo)納或傳遞導(dǎo)納。    本節(jié)討論的模態(tài)試驗(yàn)分析，就是建立在一組頻響函數(shù)測(cè)量基礎(chǔ)上的模態(tài)參數(shù)識(shí)別技術(shù)。關(guān)于傳遞函數(shù)矩陣和頻響函數(shù)矩陣的性質(zhì)，下文還要進(jìn)一步討論。三、實(shí)模態(tài)的頻響函數(shù)和模態(tài)參數(shù)1.實(shí)模態(tài)的模態(tài)參數(shù)    由前節(jié)分析，一個(gè)自由度的線性系統(tǒng)，有個(gè)無(wú)阻尼固有頻率和相應(yīng)的個(gè)模態(tài)振型。個(gè)模態(tài)振型可綜合為一個(gè)模態(tài)振型矩陣                &

41、#160;            模態(tài)振型對(duì)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣滿足下面形式的加權(quán)正交關(guān)系：                                

42、60;                                    （4-78）             &#

43、160;                                                 &#

44、160;      （4-79）并且有                                          

45、;                                        （4-80）和分別稱為模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度。    在比例粘性阻尼情況下，阻尼矩陣為常數(shù)）

46、，有下面的正交關(guān)系：                                                &#

47、160;                     （4-81）稱為模態(tài)阻力系數(shù)。    有時(shí)用模態(tài)衰減系數(shù)或模態(tài)阻尼比表征系統(tǒng)的阻尼特性，有                  &#

48、160;                                                  &

49、#160;    （4-82）                                            &

50、#160;                             （4-83）系統(tǒng)第階阻尼固有頻率與無(wú)阻尼固有頻率的關(guān)系為                &#

51、160;                                               （4-84）通常稱為系統(tǒng)的模態(tài)頻率。&

52、#160;   、（或、）統(tǒng)稱為系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。我們說(shuō)，一個(gè)自由度的機(jī)械系統(tǒng)，有個(gè)模態(tài)，就是指它有組模態(tài)參數(shù)。下標(biāo)，表示模態(tài)的階次。上述分析中，這些模態(tài)參數(shù)全都是實(shí)數(shù)，故稱為實(shí)模態(tài)。2.實(shí)模態(tài)情況下的頻響函數(shù)    自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)可由其運(yùn)動(dòng)方程                       &#

53、160;           按簡(jiǎn)諧激勵(lì)或任意激勵(lì)的傅立葉變換式導(dǎo)出，現(xiàn)取前者，即取                                  

54、;                                    代入式（4-67），可得            

55、;                                                  

56、;        （4-85）通過(guò)模態(tài)分析方法，即引進(jìn)一模態(tài)坐標(biāo)向量                                      

57、60;                                 （4-86）顯然有                

58、;                且                                 

59、0;                                                 

60、0;           （4-87）將式（4-87）代入式（4-85），并左乘，根據(jù)正交關(guān)系式（4-78）、（4-79）、（4-81），可得到個(gè)解耦的方程                            

61、;                       （4-88）其中                          &#

62、160;                                                 &#

63、160;                              （4-89）這里，為模態(tài)坐標(biāo)，為響應(yīng)的復(fù)數(shù)振幅，為對(duì)應(yīng)第階模態(tài)的激振力分量的復(fù)數(shù)力幅。    與的比值，稱為系統(tǒng)的第階模態(tài)導(dǎo)納，或第階模態(tài)頻響函數(shù)，用表示，即   

64、;                                                 （4-90

65、）以模態(tài)導(dǎo)納為對(duì)角線元素的對(duì)角矩陣稱為模態(tài)導(dǎo)納矩陣，即                                             

66、60;        （4-91）由式（4-88）可知，                                      

67、0;                          （4-92）前節(jié)給出                       

68、;                                                  

69、;                           （4-93）可見，導(dǎo)納函數(shù)矩陣，即頻響函數(shù)矩陣，與模態(tài)導(dǎo)納矩陣之間滿足下面關(guān)系：                &

70、#160;                                                 &

71、#160;     （4-94）也即                                           

72、0;                                                 （4-96）或&#

73、160;                                                 &#

74、160;                                          （4-97）    可見，系統(tǒng)的任一頻響函數(shù)均可

75、表示為其各階模態(tài)導(dǎo)納的線性和。四、復(fù)模態(tài)的傳遞函數(shù)和模態(tài)參數(shù)    上一節(jié)討論的實(shí)模態(tài)，適用于無(wú)阻尼系統(tǒng)或比例粘性阻尼系統(tǒng)。對(duì)于更一般的非比例粘性阻尼系統(tǒng)，宜采用下面的復(fù)模態(tài)理論進(jìn)行研究。1.復(fù)頻率、復(fù)振型    上節(jié)曾給出自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的拉普拉斯變換式                      

76、;             對(duì)自由振動(dòng)情況，有                                   &#

77、160;                                         （4-98）其特征方程式的展開式是復(fù)變量的次多項(xiàng)式。令，可求得方程（4 -87）的個(gè)特征根。在小阻尼

78、情況下，它們是對(duì)共軛復(fù)根，即                                               

79、0;            （4-99）將、代入方程（4-97），可求得相應(yīng)的個(gè)特征向量、，它們滿足方程                                &

80、#160;                             （4-100）與的對(duì)應(yīng)元素均為共軛復(fù)數(shù)。    和稱為系統(tǒng)的復(fù)頻率。實(shí)際上它包含了有關(guān)阻尼的參數(shù)（第階模態(tài)衰減指數(shù)）和有關(guān)頻率的參數(shù)（第階模態(tài)頻率）。    、稱

81、為系統(tǒng)的復(fù)振型向量或復(fù)模態(tài)向量。實(shí)振型與復(fù)振型的差別在于：前者意味著系統(tǒng)的所有質(zhì)點(diǎn)在振動(dòng)過(guò)程中保持同相或反向；后者表明各質(zhì)點(diǎn)在振動(dòng)過(guò)程中形成復(fù)雜相位關(guān)系。2.復(fù)模態(tài)情況下的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻力系數(shù)    在復(fù)模態(tài)情況下，不可以簡(jiǎn)單的套用實(shí)模態(tài)關(guān)系式（4-78）、（4-79）和（4-81）求得系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻力系數(shù)。實(shí)際上，復(fù)振型之間的正交關(guān)系與實(shí)振型之間的正交關(guān)系并不相同，先推證如下：            &#

82、160;                                                 &#

83、160;     （4-101）                                            

84、                        （4-102）式（4-101）左乘，注意到、為對(duì)稱矩陣可得                      

85、                                          （4-103）       

86、0;                                                 

87、0;      （4-104）兩式相減，得                                          &#

88、160;             （4-105）當(dāng)時(shí)，式（4-105）成立必有                                 

89、60;                      （4-106）式（4-103）乘以，式（4-104）乘以后，兩式再相減，當(dāng)時(shí)，約去公因子，可得                    

90、60;                                          （4-107）式（4-106）和（4-107）即是復(fù)振型的兩個(gè)正交關(guān)系式。  &

91、#160; 如果讓兩個(gè)正交關(guān)系式中，等于，則有， ，由此可得                                           &#

92、160;                             （4-108）                    

93、                                                     （4-109）因此，在復(fù)模態(tài)情況下我們可以按下面的關(guān)系定義模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻力系數(shù)：