章末綜合測評2 推理與證明

1、.章末綜合測評二推理與證明總分值：150分時(shí)間：120分鐘一、選擇題本大題共12小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的1根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)fxx2在R上是偶函數(shù)的推理過程是A歸納推理B類比推理C演繹推理 D非以上答案C根據(jù)演繹推理的定義知，推理過程是演繹推理，應(yīng)選C.2在ABC中，E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，那么有EFBC，這個(gè)問題的大前提為 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062183】A三角形的中位線平行于第三邊B三角形的中位線等于第三邊的一半CEF為中位線DEFBCA這個(gè)三段論推理的形式為：大前提：三角形的中位線平行于第三邊；小前提：EF為ABC的中位線

2、；結(jié)論：EFBC.3用數(shù)學(xué)歸納法證明：“n1n2··nn2n·1·3··2n1從“k到k1左端需增乘的代數(shù)式為A2k1 B22k1C DB當(dāng)nk時(shí)左端的第一項(xiàng)為k1，最后一項(xiàng)為kk當(dāng)nk1時(shí)，左端的第一項(xiàng)為k2，最后一項(xiàng)為2k2左邊乘以2k12k2，同時(shí)還要除以k14以下推理正確的選項(xiàng)是A把a(bǔ)bc與logaxy類比，那么有l(wèi)ogaxylogaxlogayB把a(bǔ)bc與sinxy類比，那么有sinxysin xsin yC把a(bǔ)bc與axy類比，那么有axyaxayD把a(bǔ)bc與xyz類比，那么有xyzxyzDxyzxyz是乘法的結(jié)合律，正確

3、5abc0，那么abbcca的值 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062184】A大于0 B小于0C不小于0 D不大于0D法一：因?yàn)閍bc0，所以a2b2c22ab2ac2bc0，所以abbcca0.法二：令c0，假設(shè)b0，那么abbcca0，否那么a、b異號(hào)，所以abbccaab0，排除A、B、C，應(yīng)選D.6對“a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出以下判斷：ab2bc2ca20；ab與bc及ac中至少有一個(gè)成立；ac，bc，ab不能同時(shí)成立其中判斷正確的個(gè)數(shù)為A0個(gè) B1個(gè)C2個(gè) D3個(gè)B假設(shè)ab2bc2ca20，那么abc，與“a，b，c是不全相等的正數(shù)矛盾，故正確ab與bc及ac中最多只能有一個(gè)成立，故不正確

4、由于“a，b，c是不全相等的正數(shù)，有兩種情形：至多有兩個(gè)數(shù)相等或三個(gè)數(shù)都互不相等，故不正確7我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：假如兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全一樣，就把它們叫做相似體以下幾何體中，一定屬于相似體的有兩個(gè)球體；兩個(gè)長方體；兩個(gè)正四面體；兩個(gè)正三棱柱；兩個(gè)正四棱錐A4個(gè) B3個(gè)C2個(gè) D1個(gè)C類比相似形中的對應(yīng)邊成比例知，屬于相似體8觀察以下各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，那么a10b10A28 B76C123 D199C利用歸納法，ab1，a2b23，a3b3431，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181

5、129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123，規(guī)律為從第三組開場，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和9對任意的銳角，以下不等式中正確的選項(xiàng)是Asinsin sin Bsincos cos Ccossin sin Dcoscos cos D因?yàn)?，為銳角，所以0，所以cos cos又cos 0，所以cos cos cos10在等差數(shù)列an中，假設(shè)a100，那么有等式a1a2ana1a2a19nn<19且nN*成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，假設(shè)b111，那么有 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062185】Ab1·b2··bnb1·b2

6、83;·b19nBb1·b2··bnb1·b2··b21nCb1b2bnb1b2b19nDb1b2bnb1b2b21nB令n10時(shí)，驗(yàn)證即知選B.11將石子擺成如圖1的梯形形狀，稱數(shù)列5,9,14,20，為“梯形數(shù)根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2 014項(xiàng)與5的差，即a2 0145圖1A2019×2019 B2019×2019C1010×2019 D1010×2019Dan5表示第n個(gè)梯形有n1層點(diǎn)，最上面一層為4個(gè)，最下面一層為n2個(gè)an5，a2 01452 013×1 010

7、.12如圖11，在ABC中，ABAC于點(diǎn)A，ADBC于點(diǎn)D，那么有AB2BD·BC，類似地有命題：如圖12，在三棱錐ABCD中，AD平面ABC，假設(shè)A在BCD內(nèi)的射影為O，那么SSBCO·SBCD，那么上述命題12圖1A是真命題B增加條件“ABAC后才是真命題C是假命題D增加條件“三棱錐ABCD是正三棱錐后才是真命題A由垂直關(guān)系，不妨進(jìn)展如下類比：將題圖2中的ABC，BCO，BDC分別與題圖1中的AB，BD，BC進(jìn)展類比即可嚴(yán)格推理如下：連結(jié)DO并延長交BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE圖略，那么DEBC，AEBC.因?yàn)锳D平面ABC，所以ADAE.又因?yàn)锳ODE，所以AE2EO

8、3;ED，所以SBC·EA2BC·EO·BC·EDSBCO·SBCD.應(yīng)選A.二、填空題本大題共4小題，每題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上13x，yR，且xy>2，那么x，y中至少有一個(gè)大于1，在用反證法證明時(shí)，假設(shè)應(yīng)為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062186】解析“至少有一個(gè)的反面為“一個(gè)也沒有，即“x，y均不大于1，亦即“x1且y1答案x，y均不大于1或者x1且y114當(dāng)n1時(shí)，有ababa2b2，當(dāng)n2時(shí)，有aba2abb2a3b3，當(dāng)n3時(shí)，有aba3a2bab2b3a4b4，當(dāng)nN*時(shí)，你能得到的結(jié)論是_解析根據(jù)題意，由于當(dāng)n1

9、時(shí)，有ababa2b2，當(dāng)n2時(shí)，有aba2abb2a3b3，當(dāng)n3時(shí)，有aba3a2bab2b3a4b4，當(dāng)nN*時(shí)，左邊第二個(gè)因式可知為anan1babn1bn，那么對應(yīng)的表達(dá)式為ab·anan1babn1bnan1bn1.答案abanan1babn1bnan1bn115有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上一樣的數(shù)字不是2，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上一樣的數(shù)字不是1，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5，那么甲的卡片上的數(shù)字是_解析法一：由題意得丙的卡片上的數(shù)字不是2和3.假設(shè)丙的卡片上的數(shù)字是1和

10、2，那么由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，那么甲的卡片上的數(shù)字是1和3，滿足題意；假設(shè)丙的卡片上的數(shù)字是1和3，那么由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，那么甲的卡片上的數(shù)字是1和2，不滿足甲的說法故甲的卡片上的數(shù)字是1和3.法二：因?yàn)榧着c乙的卡片上一樣的數(shù)字不是2，所以丙的卡片上必有數(shù)字2.又丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，所以丙的卡片上的數(shù)字是1和2.因?yàn)橐遗c丙的卡片上一樣的數(shù)字不是1，所以乙的卡片上的數(shù)字是2和3，所以甲的卡片上的數(shù)字是1和3.答案1和316現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：同一平面內(nèi)有兩個(gè)邊長都是a的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，那么這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為.

11、類比到空間，有兩個(gè)棱長為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，那么這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062187】解析解法的類比特殊化，易得兩個(gè)正方體重疊部的體積為.答案三、解答題本大題共6小題，共70分解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟17此題總分值10分用綜合法或分析法證明：1假如a，b>0，那么lg ；2>22.證明1當(dāng)a，b>0時(shí)，有，lglg，lglg ab.2要證>22，只要證2>222，即2>2，這是顯然成立的，所以，原不等式成立18此題總分值12分觀察：tan 10°·tan 20°ta

12、n 20°·tan 60°tan 60°·tan 10°1，tan 5°·tan 10°tan 10°·tan 75°tan 75°·tan 5°1.由以上兩式成立能得到一個(gè)從特殊到一般的推廣，此推廣是什么？并證明你的推廣解從觀察到10°20°60°90°，10°75°5°90°，因此猜測推廣式為假設(shè)，且，都不為kkZ，那么tan tan tan tan tan ta

13、n 1.證明如下：由，得.因?yàn)閠antan.又因?yàn)閠an，所以tan tan tan1tan tan 1tan tan ，所以tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan ·tan tan 1tan tan tan tan 1.19此題總分值12分設(shè)a>0，b>0，ab1，求證：8.試用綜合法和分析法分別證明. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062188】解法一綜合法a>0，b>0，ab1，1ab2，ab，4.又ab24，8當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立法二分析法a>0，b>0，ab1，要證8，只要證8，

14、只要證8，即證4，也就是證4，即證2.由根本不等式可知，當(dāng)a>0，b>0時(shí)，2成立，所以原不等式成立20此題總分值12分函數(shù)fxaxa>11證明：函數(shù)fx在1，上為增函數(shù)；2用反證法證明方程fx0沒有負(fù)數(shù)根. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062189】解1法一：任取x1、x21，不妨設(shè)x1<x2，那么x2x1>0，ax2x1>1且ax1>0，ax2ax1ax1ax2x11>0，又x11>0，x21>0，>0，于是fx2fx1ax2ax1>0，故函數(shù)fx在1，上為增函數(shù)法二：f xaxlnaaxln aa>1，ln a>0，a

15、xln a>0，f x>0在1，上恒成立，即fx在1，上為增函數(shù)2法一：設(shè)存在x0<0x01滿足fx00，那么ax0，且0<ax0<1.0<<1，即<x0<2，與假設(shè)x0<0矛盾故方程fx0沒有負(fù)數(shù)根法二：設(shè)x0<0x01，假設(shè)1<x0<0，那么<2，ax0<1，fx0<1.假設(shè)x0<1那么>0，ax0>0，fx0>0.綜上，x<0x1時(shí)，fx<1或fx>0，即方程fx0無負(fù)數(shù)根21此題總分值12分 1橢圓C：1a>b>0與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證：·為定值b2a2.2類比1可得如下真命題：雙曲線1a>0，b>0與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證：·為定值，請寫出這個(gè)定值不要求寫出解題過程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062190】解1證明如下：設(shè)點(diǎn)Px0，y0x0±a依題意，得Aa,0，Ba,0，所以直線PA的方程為yxa，令x0，得yM.同理得yN.所以yMyN.又點(diǎn)Px0，y0在橢圓上，所以 1，因此ya2x所以yMyNb2.因?yàn)閍，yN，a，yM，