第2章 2.1 2.1.1　向量的概念

1、.2.1向量的線性運(yùn)算2.1.1向量的概念學(xué)習(xí)目的：1.理解向量、零向量、基線、向量模的意義重點(diǎn)2.掌握向量的幾何表示，會(huì)用字母表示向量，用向量表示點(diǎn)的位置重點(diǎn)3.理解平行向量、共線向量和相等向量的意義，并會(huì)判斷向量間共線平行、相等的關(guān)系重點(diǎn)、難點(diǎn)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1向量及其幾何表示1向量的定義具有大小和方向的量稱為向量2自由向量只有大小和方向，而無特定的位置的向量叫做自由向量3向量的表示有向線段：具有方向的線段向量可以用有向線段表示，向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度，記作|，向量也可以用字母a，b，c，表示，也可以用有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如：，.同向且等長(zhǎng)的有向線段表示

2、同一向量，或相等的向量2向量的有關(guān)概念1零向量：長(zhǎng)度等于零的向量，叫做零向量，記作0.規(guī)定：零向量與任意向量平行2相等向量：同向且等長(zhǎng)的向量叫做相等向量3平行向量共線向量：假如向量的基線互相平行或重合，那么稱這些向量共線或平行也就是說方向一樣或相反的向量叫做平行向量，也叫共線向量向量a平行于b，記作ab.4位置向量：任給一定點(diǎn)O和向量a，過點(diǎn)O作有向線段a，那么點(diǎn)A相對(duì)于點(diǎn)O的位置被向量a所唯一確定，這時(shí)向量，又常叫做點(diǎn)A相對(duì)于點(diǎn)O的位置向量考慮：向量A與向量C是共線向量，那么A，B，C，D必在同一條直線上，這種說法對(duì)嗎？提示這種說法不對(duì)，共線向量還可以指表示向量的有向線段所在的直線平行，故A

3、，B，C，D不一定共線根底自測(cè)1判斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“×1向量可以比較大小2坐標(biāo)平面上的x軸和y軸都是向量3零向量與任意向量都平行4體積、面積和時(shí)間都不是向量解析因?yàn)橄蛄恐g不可以比較大小，故1錯(cuò)；x軸、y軸只有方向，沒有大小，故2錯(cuò)；零向量的方向是任意的，故零向量與任意向量都平行，故3正確；因?yàn)轶w積、面積和時(shí)間只有大小沒有方向，都不是向量，故4正確答案1×2×342以下各量中是向量的是A密度B電流C面積 D浮力D浮力既有大小又有方向，因此浮力是向量，而密度、電流、面積只有大小沒有方向，不是向量3以下說法正確的選項(xiàng)是【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79402043】A假設(shè)|a|0，

4、那么a0B假設(shè)|a|b|，那么abC假設(shè)|a|b|，那么a與b是平行向量D假設(shè)ab，那么abA|a|0，那么a是零向量，故A項(xiàng)正確 合 作 探 究·攻 重 難向量的有關(guān)概念判斷以下命題是否正確，請(qǐng)說明理由1假設(shè)向量a與b同向，且|a|>|b|，那么a>b；2假設(shè)向量|a|b|，那么a與b的長(zhǎng)度相等且方向一樣或相反；3對(duì)于任意向量|a|b|，假設(shè)a與b的方向一樣，那么ab；4由于0方向不確定，故0不與任意向量平行；5向量a與向量b平行，那么向量a與b方向一樣或相反思路探究解答此題應(yīng)根據(jù)向量的有關(guān)概念，注意向量的大小、方向兩個(gè)要素解1不正確因?yàn)橄蛄坑蓛蓚€(gè)因素來確定，即大小和方

5、向，所以兩個(gè)向量不能比較大小2不正確由|a|b|只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，不能確定它們的方向關(guān)系3正確因?yàn)閨a|b|，且a與b同向，由兩向量相等的條件，可得ab.4不正確根據(jù)規(guī)定：0與任意向量平行5不正確因?yàn)橄蛄縜與向量b假設(shè)有一個(gè)是零向量，那么其方向不定規(guī)律方法向量的平行問題不可無視零向量的大小為零，方向任意；零向量與任一向量平行；所有的零向量相等跟蹤訓(xùn)練1給出以下命題：假設(shè)|a|b|，那么ab或ab；向量的模一定是正數(shù)；起點(diǎn)不同，但方向一樣且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；向量與是共線向量，那么A，B，C，D四點(diǎn)必在同一直線上其中正確命題的序號(hào)是_解析錯(cuò)誤由|a|b|僅說明a與b模相等，但不能說

6、明它們方向的關(guān)系錯(cuò)誤.0的模|0|0.正確對(duì)于一個(gè)向量只要不改變其大小和方向，是可以任意挪動(dòng)的錯(cuò)誤共線向量即平行向量，只要求方向一樣或相反即可，并不要求兩個(gè)向量，必須在同一直線上答案向量的表示及應(yīng)用某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向按東北方向走了10米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn)1作出向量，；2求的模思路探究可先選定向量的起點(diǎn)及方向，并根據(jù)其長(zhǎng)度作出相關(guān)向量可把放在直角三角形中求得|.解1作出向量，如下圖：2由題意得，BCD是直角三角形，其中BDC90°，BC10米，CD10米，所以BD10米ABD是直角三角形，其中ABD90°，AB5

7、米，BD10米，所以AD5米，所以|5米規(guī)律方法1向量的兩種表示方法：1幾何表示法：先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的長(zhǎng)度確定向量的終點(diǎn)2字母表示法：為了便于運(yùn)算可用字母a，b，c表示，為了聯(lián)絡(luò)平面幾何中的圖形性質(zhì)，可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)表示向量，如，等2兩種向量表示方法的作用：1用幾何表示法表示向量，便于用幾何方法研究向量運(yùn)算，為用向量處理幾何問題打下了根底2用字母表示法表示向量，便于向量的運(yùn)算跟蹤訓(xùn)練2一輛汽車從點(diǎn)A出發(fā)，向西行駛了100公里到達(dá)點(diǎn)B，然后又改變方向，向西偏北50°的方向行駛了200公里到達(dá)點(diǎn)C，最后又改變方向，向東行駛了100公里到達(dá)

8、點(diǎn)D.1作出向量，；2求|.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79402044】解1作出向量，如下圖2由題意知與方向相反，與共線，在四邊形ABCD中，ABCD，又|，四邊形ABCD為平行四邊形，|200公里.相等向量與共線向量探究問題1向量a，b共線，向量b，c共線，向量a與c是否共線？提示向量a與c不一定共線，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量都共線，假設(shè)b0，那么向量a與c不一定共線2兩個(gè)相等的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)是否都分別重合？提示不一定因?yàn)橄蛄慷际亲杂上蛄?，只要大小相等，方向一樣就是相等向量，與起點(diǎn)和終點(diǎn)位置無關(guān)1如圖2­1­1，在等腰梯形ABCD中，圖2­1­1與是共線向量；>

9、;.以上結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是A0 B1 C2 D32以下說法中，正確的序號(hào)是_任何兩個(gè)長(zhǎng)度相等的向量都是相等向量；零向量都相等；任一向量與它的平行向量不相等；假設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形，那么；共線的向量，假設(shè)始點(diǎn)不同，那么終點(diǎn)一定不同思路探究可借助幾何圖形性質(zhì)及向量相關(guān)概念進(jìn)展判斷解析1由題意可知，AB與CD不平行，所以與非共線向量，故錯(cuò)誤；由知錯(cuò)誤；兩個(gè)向量之間不能比較大小，故錯(cuò)誤；故答案選A.2相等向量由大小和方向兩個(gè)因素決定，故錯(cuò)誤；因?yàn)榱阆蛄康拈L(zhǎng)度都為零，且其方向任意，所以零向量相等，所以正確；因?yàn)槠叫邢蛄康姆较蚩梢砸粯忧掖笮∫部梢韵嗟?，所以任一向量與它的平行向量可能相等，即錯(cuò)誤；畫

10、出圖形，可得，所以正確；由共線向量的定義可知：共線的向量，始點(diǎn)不同，終點(diǎn)可能一樣，所以不正確答案1A2規(guī)律方法相等向量與共線向量需注意的四個(gè)問題：1相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量2兩個(gè)向量平行與兩條直線平行是兩個(gè)不同的概念；兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量有一樣基線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合3平行共線向量無傳遞性因?yàn)橛?4三點(diǎn)A，B，C共線，共線跟蹤訓(xùn)練3如圖2­1­2，四邊形ABCD為正方形，BCE為等腰直角三角形圖2­1­21圖中所標(biāo)出的向量與共線的有_；2圖中所標(biāo)出的向量與相等的有_；3圖中所標(biāo)出的向量與模相等的有_；4圖中所標(biāo)

11、出的向量與相等的有_答案1，23，4當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1以下說法中正確的個(gè)數(shù)是身高是一個(gè)向量；AOB的兩條邊都是向量；溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；物理學(xué)中的加速度是向量A0B1C2 D3B只有中物理學(xué)中的加速度既有大小又有方向是向量，錯(cuò)誤，正確2在同一平面內(nèi)，把平行于某一直線的一切向量的始點(diǎn)放在同一點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是A一條線段 B一條直線C圓上一群孤立的點(diǎn) D一個(gè)半徑為1的圓B因?yàn)樗鼈兪瞧叫邢蛄?，?dāng)始點(diǎn)一樣時(shí)，終點(diǎn)位置在這條直線上，故這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是一條直線3在以下判斷中，正確的選項(xiàng)是長(zhǎng)度為0的向量都是零向量；零向量的方向都是一樣的；任意向量與零向量都共線A BC DC由定義知正確，由于零向量的方向是任意的，故兩個(gè)零向量的方向是否一樣不確定，故不正確顯然正確，應(yīng)選C.4在以下命題中：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共線向量一定相等；相等向量一定共線；長(zhǎng)度相等的向量是相等向量；平行于同一個(gè)非零向量的兩個(gè)向量