第1章 1.2 1.2.2　“非”(否定)

1、.1.2根本邏輯聯(lián)結(jié)詞1.2.1“且與“或?qū)W習(xí)目的：1.理解聯(lián)結(jié)詞“且與“或的含義重點(diǎn). 2.會(huì)用聯(lián)結(jié)詞“且“或聯(lián)結(jié)或改寫某些數(shù)學(xué)命題難點(diǎn)、易混點(diǎn) 3可以判斷命題“p且q“p或q的真假重點(diǎn)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1用邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成新命題構(gòu)成新命題記作讀作用聯(lián)結(jié)詞“且把命題p和q聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到一個(gè)新命題pqp且q用聯(lián)結(jié)詞“或把命題p，q聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到一個(gè)新命題pqp或q考慮1：觀察三個(gè)命題：5是10的約數(shù)；5是15的約數(shù)；5是10的約數(shù)且是15的約數(shù)，它們之間有什么關(guān)系？從集合的角度如何理解“且的含義提示命題是將命題，用“且聯(lián)結(jié)得到的新命題，“且與集合運(yùn)算中交集的定義ABx|xA

2、且xB中“且的意義一樣，表示“并且，“同時(shí)的意思“且作為邏輯聯(lián)結(jié)詞，與生活用語(yǔ)中“既，又一樣，表示兩者都要滿足的意思，在日常生活中經(jīng)常用“和“與代替考慮2：觀察三個(gè)命題：3>2；32；32，它們之間有什么關(guān)系？從集合的角度如何理解“或的含義的理解提示命題是將命題，用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或聯(lián)結(jié)得到的新命題“或從集合的角度看，可設(shè)Ax|x滿足命題p，Bx|x滿足命題q，那么“pq對(duì)應(yīng)于集合中的并集ABx|xA或xB“或作為邏輯聯(lián)結(jié)詞，與日常用語(yǔ)中的“或意義有所不同，而邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“或含有“同時(shí)兼有的意思“p或q有三層意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q，即兩者中至少要有一個(gè)2含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命

3、題真假的判斷pqpqpq真真真真真假假真假真假真假假假假考慮3：假設(shè)p且q為真命題，那么p或q一定為真命題嗎？反之是否成立？提示p且q為真命題，說(shuō)明p真、q真，故p或q一定是真命題反之不一定成立，即假設(shè)p或q為真命題，p且q不一定為真命題，比方p真q假時(shí)，p或q真，但p且q假根底自測(cè)1考慮辨析1p與q同真，那么pq為真；p與q有一假，那么pq為假2p與q有一真，那么pq為真；p與q同假，那么pq為假3命題：“方程x210的解是x±1，使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且提示123דx±1可以寫成“x1或x12以下命題中既是“pq形式的命題，又是真命題的是A10或15是5的倍數(shù)B

4、方程x23x40的兩根和是1C方程x210沒(méi)有實(shí)數(shù)根D有兩個(gè)角為45°的三角形是等腰直角三角形D有兩個(gè)角為45°的三角形是等腰直角三角形，既是“pq形式的命題，又是真命題3以下命題是“pq形式的是 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122024】A66B3是奇數(shù)且3是質(zhì)數(shù)C.是無(wú)理數(shù)D3是6和9的約數(shù)A6666或66，所以A是“pq形式的命題；B和D是“pq形式的命題；C不包含任何邏輯聯(lián)結(jié)詞，所以B，C，D不正確，應(yīng)選A.合 作 探 究·攻 重 難含有“且“或命題的構(gòu)成分別寫出由以下各組命題構(gòu)成的“pq，“pq形式的命題1p：是無(wú)理數(shù)，q：大于1；2p：NZ，q：0N；3p：35是1

5、5的倍數(shù)，q：35是7的倍數(shù)4p：梯形有一組對(duì)邊平行，q：梯形有一組對(duì)邊相等解1pq：是無(wú)理數(shù)且大于1，pq：是無(wú)理數(shù)或大于1.2pq：NZ且0N，pq：NZ或0N.3pq：35是15的倍數(shù)且是7的倍數(shù)，pq：35是15的倍數(shù)或是7的倍數(shù)4pq：梯形有一組對(duì)邊平行且有一組對(duì)邊相等pq：梯形有一組對(duì)邊平行或有一組對(duì)邊相等規(guī)律方法用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且“或聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題時(shí)，關(guān)鍵是正確理解這些詞語(yǔ)的意義及在日常生活中的同義詞，選擇適宜的聯(lián)結(jié)詞，有時(shí)為了語(yǔ)法的要求及語(yǔ)句的通順也可進(jìn)展適當(dāng)?shù)氖÷院妥冃?跟蹤訓(xùn)練1指出以下命題的形式及構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題：124既是8的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)；2菱形是圓的內(nèi)接四邊形或是圓

6、的外切四邊形解1這個(gè)命題是“pq的形式，其中p：24是8的倍數(shù)，q：24是6的倍數(shù)2這個(gè)命題是“pq的形式，其中p：菱形是圓的內(nèi)接四邊形，q：菱形是圓的外切四邊形.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“且“或的命題的真假判斷分別指出以下各組命題構(gòu)成的“pq“pq形式的命題的真假. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122025】1p：6<6，q：66.2p：梯形的對(duì)角線相等，q：梯形的對(duì)角線互相平分3p：函數(shù)yx2x2的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，q：不等式x2x20無(wú)解4p：函數(shù)ycos x是周期函數(shù)q：函數(shù)ycos x是奇函數(shù)思路探究解1p為假命題，q為真命題，pq為假命題，pq為真命題2p為假命題，q為假命題，pq為假命題，pq

7、為假命題3p為真命題，q為真命題，pq為真命題，pq為真命題4p為真命題，q為假命題，pq為假命題，pq為真命題規(guī)律方法判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假的步驟：1逐一判斷命題p，q的真假.2根據(jù)“且和“或的含義判斷“pq，“pq的真假.pq為真p和q同時(shí)為真，pq為真p和q中至少一個(gè)為真.提醒：緊緊抓住邏輯真值表.跟蹤訓(xùn)練2分別指出由以下各組命題構(gòu)成的“p或q“p且q形式的命題的真假1p：是無(wú)理數(shù)，q：不是無(wú)理數(shù)；2p：集合AA，q：AAA；3p：函數(shù)yx23x4的圖象與x軸有公共點(diǎn)，q：方程x23x40沒(méi)有實(shí)數(shù)根解1p真q假，“p或q為真，“p且q為假2p真q真，“p或q為真，“p且q為真3p假

8、q假，“p或q為假，“p且q為假.根據(jù)命題的真假求參數(shù)范圍探究問(wèn)題1邏輯聯(lián)結(jié)詞“且與集合中的哪種運(yùn)算對(duì)應(yīng)？與電學(xué)中的電路又有什么關(guān)系？提示1對(duì)于邏輯聯(lián)結(jié)詞“且的理解，可聯(lián)絡(luò)集合中“交集的概念，即ABx|xA且xB，二者含義是一致的，都表示“既，又的意思2對(duì)于含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“且的命題真假的判斷，可以聯(lián)絡(luò)電路中兩個(gè)串聯(lián)開關(guān)的閉合或斷開與電路的通或斷的對(duì)應(yīng)加以理解如下圖2邏輯聯(lián)結(jié)詞“或與集合中的哪種運(yùn)算對(duì)應(yīng)？與電學(xué)中的電路又有什么關(guān)系？提示1對(duì)于邏輯聯(lián)結(jié)詞“或的理解，可聯(lián)絡(luò)集合中“并集的概念，即ABx|xA或xB，二者含義是一致的，假如p：集合A；q：集合B；那么pq：集合AB.“或包含三個(gè)方面：x

9、A且xB，xA且xB，xAB.2對(duì)于含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或的命題真假的判斷，可以聯(lián)絡(luò)電路中兩個(gè)并聯(lián)開關(guān)的閉合或斷開與電路的通或斷的對(duì)應(yīng)加以理解如下圖設(shè)有兩個(gè)命題命題p：不等式x2a1x10的解集是；命題q：函數(shù)fxa1x在定義域內(nèi)是增函數(shù)假如pq為假命題，pq為真命題，求a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122026】思路探究首先求出命題p，命題q所滿足的條件，根據(jù)pq為假命題，pq為真命題，可知p，q為一真一假，再分類討論求出a的范圍解對(duì)于p：因?yàn)椴坏仁絰2a1x10的解集是，所以a1240.解這個(gè)不等式得：3<a<1.對(duì)于q：fxa1x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，那么有a1>1，所以a&

10、gt;0.又pq為假命題，pq為真命題，所以p、q必是一真一假當(dāng)p真q假時(shí)有3<a0，當(dāng)p假q真時(shí)有a1.綜上所述，a的取值范圍是3,01，母題探究：1.變換條件本例中將“pq為假命題改為“pq是真命題，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍解由“pq為真命題知p、q均為真命題由得0a1.故a的取值范圍是0,12變換條件本例中將“p：不等式x2a1x10的解集是改為“p：方程x2a1x10有兩不相等的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍解由方程x2a1x10有兩不相等的實(shí)數(shù)根得a1240，解得a3或a1由pq為假命題，pq為真命題所以p、q必是一真一假當(dāng)p真q假時(shí)a3，當(dāng)p假q真時(shí)，0a1.綜上可知，a的取值范圍是，30

11、,1規(guī)律方法解決此類問(wèn)題的方法：首先化簡(jiǎn)所給的兩個(gè)命題p，q，得到它們?yōu)檎婷}時(shí)相應(yīng)參數(shù)的取值范圍；然后，結(jié)合復(fù)合命題的真假情形，確定參數(shù)的取值情況，常用分類討論思想.提醒：求解時(shí)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1命題p：對(duì)頂角相等，命題q：27是3的倍數(shù)，那么pq表示A對(duì)頂角相等或27是3的倍數(shù)B對(duì)頂角相等C27是3的倍數(shù)D對(duì)頂角相等且27是3的倍數(shù)Dpq表示對(duì)頂角相等且27是3的倍數(shù)2p：正方形的對(duì)角線相等，q：20是3的倍數(shù)，那么pq 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122027】A是真命題B是假命題C有可能是真命題D不一定是假命題A正方形的對(duì)角線相等，所以命題p是真命題，所以

12、pq是真命題3假如命題pq為真命題，pq為假命題，那么A命題p，q都是真命題B命題p，q都是假命題C命題p，q只有一個(gè)是真命題D命題p，q至少有一個(gè)是真命題Cpq為真命題，那么p，q至少有一個(gè)為真命題；pq為假命題，那么p，q至少有一個(gè)為假命題，同時(shí)滿足，那么p，q只有一個(gè)為真命題，應(yīng)選C.4有以下四個(gè)命題：1直線a平行于直線b；2直線a平行于直線b或直線a平行于直線c；3直線a平行于直線b且直線a平行于直線c；4a211.其中是“pq形式的命題的序號(hào)為_，“pq形式的命題的序號(hào)為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122028】2431是簡(jiǎn)單命題；2是pq形式，其中p：直線a平行于直線b；q：直線a平行于直

13、線c；3是pq的形式，其中p：直線a平行于直線b；q：直線a平行于直線c；4是pq形式，其中p：a211，q：a211.5對(duì)命題p：1是集合x|x2a中的元素；q：2是集合x|x2<a中的元素，那么a為何值時(shí)，“p或q為真？a為何值時(shí)，“p且q為真？解假設(shè)p為真，那么1x|x2a，所以12<a，即a>1；假設(shè)q為真，那么2x|x2a，即a>4.假設(shè)“p或q為真，那么a>1或a>4，即a>1；假設(shè)“p且q為真，那么a>1且a>4，即a>4.1.2.2“非否認(rèn)學(xué)習(xí)目的：1.理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“非的含義，能寫出簡(jiǎn)單命題的“p命題重點(diǎn)2.理解邏輯

14、聯(lián)結(jié)詞“非的初步應(yīng)用.3.掌握全稱命題與存在性命題的否認(rèn)難點(diǎn)、易混點(diǎn)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1邏輯聯(lián)結(jié)詞“非1命題的否認(rèn)：一般地，對(duì)一個(gè)命題p加以否認(rèn)，就得到一個(gè)新命題，記作p，讀作“非p或“p的否認(rèn)2命題p的真假：假設(shè)p是真命題，那么p必是假命題；假設(shè)p是假命題，那么p必是真命題考慮1：觀察以下兩組命題，看它們之間有什么關(guān)系？邏輯聯(lián)結(jié)詞“非的含義是什么？1p：5是25的算術(shù)平方根；q：5不是25的算術(shù)平方根2p：ytan x是偶函數(shù)；q：ytan x不是偶函數(shù)提示兩組命題中，命題q都是命題p的否認(rèn)“非與日常用語(yǔ)中的“非含義一致，表示“否認(rèn)“不是“問(wèn)題的反面等；也可以從集合的角度理

15、解“非：假設(shè)命題p對(duì)應(yīng)集合A，那么p對(duì)應(yīng)集合A在全集U中的補(bǔ)集UA.2全稱命題的否認(rèn)全稱命題pp結(jié)論xM，pxxM，px全稱命題的否認(rèn)是存在性命題考慮2：用自然語(yǔ)言描繪的全稱命題的否認(rèn)形式唯一嗎？提示不唯一，如“所有的菱形都是平行四邊形，它的否認(rèn)是“并不是所有的菱形都是平行四邊形，也可以是“有些菱形不是平行四邊形3存在性命題的否認(rèn)存在性命題pp結(jié)論xM，pxxM，px存在性命題的否認(rèn)是全稱命題考慮3：對(duì)省略量詞的命題怎樣否認(rèn)？提示對(duì)于含有一個(gè)量詞的命題，容易知道它是全稱命題或存在性命題一般地，省略了量詞的命題是全稱命題，可加上“所有的或“對(duì)任意，它的否認(rèn)是存在性命題反之，亦然根底自測(cè)1考慮辨析

16、1全稱命題與存在性命題的否認(rèn)只需否認(rèn)其結(jié)論，無(wú)需改寫量詞2“xR，x22x10的否認(rèn)是“xR，x22x103“有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)的否認(rèn)是“所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)提示1×先更換量詞全稱量詞換為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞，再將結(jié)論否認(rèn)232命題p：225，命題q：3>2，那么以下判斷正確的選項(xiàng)是 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122035】A“p或q為假，“非q為假B“p或q為真，“非q為假C“p且q為假，“非p為假D“p且q為真，“p或q為假B顯然p假q真，故“p或q為真，“p且q為假，“非p為真，“非q為假，應(yīng)選B.3p：0，q：11,2由他們構(gòu)成的新命題“pq，“pq，“p中，真

17、命題有A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)A容易判斷命題p：0是真命題，命題q：11,2是假命題，所以pq是假命題，pq真命題，p是假命題，應(yīng)選A.4命題“假設(shè)ab，那么2a2b的否認(rèn)為_答案假設(shè)ab，那么2a2b.合 作 探 究·攻 重 難“p命題的構(gòu)成與真假判斷寫出以下命題的否認(rèn)，并判斷真假【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122036】1假設(shè)x，y是奇數(shù)，那么xy是偶數(shù)；2假設(shè)xy0，那么x0或y0；3假設(shè)一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)；4假設(shè)兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等思路探究解1假設(shè)x，y是奇數(shù)，那么xy不是偶數(shù)，假命題2假設(shè)xy0，那么x0且y0，假命題3假設(shè)一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)不一定是

18、奇數(shù)，真命題4假設(shè)兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角不相等，假命題規(guī)律方法1一些常用的正面表達(dá)詞語(yǔ)和它的否認(rèn)詞語(yǔ)的關(guān)系要熟悉，總結(jié)如下：正面詞語(yǔ)等于大于>小于<有是都是全是否認(rèn)詞語(yǔ)不等于 不大于 不小于 無(wú)不是不都是不全是正面詞語(yǔ)任意的任意兩個(gè)至少有一個(gè)至多有一個(gè)所有的至多有n個(gè)或否認(rèn)詞語(yǔ)某個(gè)某兩個(gè)一個(gè)也沒(méi)有至少有兩個(gè)某些至少有n1個(gè)且2當(dāng)命題p真假不易判斷時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為去判斷命題p的真假，當(dāng)命題p為真時(shí)，命題p為假，當(dāng)命題p為假時(shí)，命題p為真提醒：假設(shè)命題p是真命題，那么p是假命題；假設(shè)命題p是假命題，那么p是真命題跟蹤訓(xùn)練1寫出以下命題的否認(rèn)，并判斷真假1p：ysin x是周期函數(shù)；

19、2p：3<2；3p：空集是集合A的子集；4一元二次方程至多有兩個(gè)解解1p：ysin x不是周期函數(shù)命題p是真命題，p是假命題2p：32.命題p是假命題，p是真命題3p：空集不是集合A的子集命題p是真命題，p是假命題4p：一元二次方程至少有三個(gè)解命題p是真命題，p是假命題命題的否認(rèn)的真假應(yīng)用命題p：方程x22ax10有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根，命題q：關(guān)于x的不等式ax2ax1>0的解集為R，假設(shè)“pq與“q同時(shí)為真命題，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122037】解命題p：方程x22ax10有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于解得a1.命題q：關(guān)于x的不等式ax2ax10的解集為R，等價(jià)于

20、a0或由于解得0<a<4，所以0a<4.因?yàn)椤皃q與“q同時(shí)為真命題，即p真且q假，所以解得a1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是，1規(guī)律方法由真值表可判斷pq、pq、p命題的真假，反之，由pq，pq，p命題的真假也可判斷p、q的真假情況.一般求滿足p假成立的參數(shù)范圍，應(yīng)先求p真成立的參數(shù)范圍，再求其補(bǔ)集.跟蹤訓(xùn)練2命題p：|m1|2成立命題q：方程x22mx10有實(shí)數(shù)根假設(shè)p為假命題，pq為假命題，務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍解|m1|22m123m1，即命題p：3m1.方程x22mx10有實(shí)數(shù)根2m240m1或m1，即命題q：m1或m1.因?yàn)閜為假命題，pq為假命題，那么p為真命題，所以q為假

21、命題，q：1m1.由1m1.即m的取值范圍是1,1.全稱命題和存在性命題的否認(rèn)及應(yīng)用探究問(wèn)題1全稱命題和存在性命題有什么關(guān)系？提示1構(gòu)造關(guān)系的認(rèn)識(shí)全稱命題中的全稱量詞說(shuō)明給定范圍內(nèi)所有對(duì)象都具備某一性質(zhì)，無(wú)一例外. 存在性命題中的存在量詞卻說(shuō)明給定范圍內(nèi)的對(duì)象有例外兩者正好構(gòu)成了相反意義的表述，所以全稱命題的否認(rèn)是存在性命題，存在性命題的否認(rèn)是全稱命題2真假性的認(rèn)識(shí)全稱命題的否認(rèn)與全稱命題的真假性相反；存在性命題的否認(rèn)與存在性命題的真假性相反2全稱命題與存在性命題的否認(rèn)的關(guān)鍵是什么？提示1全稱命題的否認(rèn)全稱命題的否認(rèn)是一個(gè)存在性命題，給出全稱命題的否認(rèn)時(shí)既要否認(rèn)全稱量詞，又要否認(rèn)性質(zhì)，所以找出

22、全稱量詞，明確命題所提供的性質(zhì)是對(duì)全稱命題否認(rèn)的關(guān)鍵2存在性命題的否認(rèn) 存在性命題的否認(rèn)是一個(gè)全稱命題，給出存在性命題的否認(rèn)時(shí)既要否認(rèn)存在量詞，又要否認(rèn)性質(zhì)，所以找出存在量詞，明確命題所提供的性質(zhì)是對(duì)存在性命題否認(rèn)的關(guān)鍵寫出以下命題的否認(rèn)，并判斷其否認(rèn)的真假【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122038】1所有自然數(shù)的平方是正數(shù)2任何實(shí)數(shù)x都是方程5x120的根3對(duì)任意實(shí)數(shù)x，x210.4有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)5某些平行四邊形是菱形6xR,5x210.7x，yZ，使得xy3.思路探究1全稱命題的否認(rèn)是存在性命題，否認(rèn)全稱命題時(shí)可分兩步：第一步將全稱量詞“改為存在量詞“，第二步將結(jié)論否認(rèn)2存在性命題的否認(rèn)是全稱命題

23、，否認(rèn)存在性命題時(shí)可分兩步：第一步將存在量詞“改為全稱量詞“，第二步將結(jié)論否認(rèn)解1有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)因?yàn)?是自然數(shù)，所以為真命題2存在實(shí)數(shù)x不是方程5x120的根真命題3存在實(shí)數(shù)x，使得x210.假命題4命題的否認(rèn)是“不存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)，即“所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)它為假命題5命題的否認(rèn)是“沒(méi)有一個(gè)平行四邊形是菱形，即“每一個(gè)平行四邊形都不是菱形由于菱形是平行四邊形，因此命題的否認(rèn)是假命題6命題的否認(rèn)是“不存在xR，使5x210，即“xR,5x210.5x2110，因此命題的否認(rèn)是真命題7命題的否認(rèn)是“x，yZ，xy3當(dāng)x0，y3時(shí)，xy3，因此命題的否認(rèn)是假命題母題探究：1.變換條件本例5改為“某些平行四邊形是正方形，寫出該命題的否認(rèn)并判斷真假解命題的否認(rèn)是“沒(méi)有一個(gè)平行四邊形是正方形，即“每一個(gè)平行四邊形都不是正方形，假命題2變換條件本例5改為“某些菱形是平行四邊形，寫出該命題的否認(rèn)并判斷真假解命題的否認(rèn)是“沒(méi)有一個(gè)菱形是平行四邊形，即“每一個(gè)菱形都不是平行四邊形，由于菱形是平行四邊形，所以該命