第2章　§2　三角形中的幾何計(jì)算

1、.§2三角形中的幾何計(jì)算學(xué)習(xí)目的：1.進(jìn)一步理解正、余弦定理中所蘊(yùn)含的邊角之間的關(guān)系易混點(diǎn)2.掌握通過正、余弦定理進(jìn)展邊角轉(zhuǎn)化的方法，以及解決有關(guān)三角形中的幾何度量問題重點(diǎn)3.深化體會數(shù)形結(jié)合思想、方程思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角形度量問題中的應(yīng)用難點(diǎn)4.理解正弦定理與余弦定理在三角形中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生靈敏運(yùn)用知識的才能自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知三角形中的幾何計(jì)算閱讀教材P54P55“練習(xí)以上部分完成以下問題1三角形中的幾何計(jì)算主要涉及長度、角度、面積問題2在ABC中，有以下常用結(jié)論：abc，bca，cab；abABsin Asin B；ABC，；sinABsin C，

2、cosABcos C，sincos，cossin.考慮：1假設(shè)角A是三角形ABC中最大的角，那么角A的范圍是什么？提示A.2在ABC中，假設(shè)A，那么角B的取值范圍是什么？提示0B.根底自測1判斷正誤1假設(shè)ABC的外接圓半徑為R，其三邊長為a，b，c，那么ABC的面積S.2存在ABC，使sin Asin Bsin C3在ABC中，cos C2sin21.解析1，3正確，2錯(cuò)誤因?yàn)閍bc，由正弦定理可得sin Asin Bsin C.答案12×32在ABC中，a2，A30°，那么ABC外接圓的半徑為A4 B2C2D.B由正弦定理得2R4，故R2.3在ABC中，BC邊上的高為AD

3、，且AD2，又ccos Bbcos C3，那么ABC的面積為_. 【導(dǎo)學(xué)號：91022165】解析如下圖，ccos Bbcos CBDDCBC3，又AD2，那么SABC×3×23.答案3合 作 探 究·攻 重 難計(jì)算線段的長度和角度在ABC中，B30°，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD10，AC14，DC6. 【導(dǎo)學(xué)號：91022166】圖2­2­11求ADC的大小；2求AB的長解1在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120°.2由1知ADB60°，在ABD中，AD10，B30°

4、;，ADB60°，由正弦定理得，AB10.規(guī)律方法求線段的長度與角度的方法1求線段的長度往往歸結(jié)為求三角形的邊長，解決此類問題要恰當(dāng)?shù)剡x擇或構(gòu)造三角形，利用正、余弦定理求解；2求角度時(shí)，把所求的角看作某個(gè)三角形的內(nèi)角，利用正、余弦定理求解，或利用ABC求解.跟蹤訓(xùn)練1如圖2­2­2所示，在四邊形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60°，BCD135°，求BC的長圖2­2­2解在ABD中，由余弦定理，得AB2AD2BD22AD·BD·cosADB，設(shè)BDx，那么有142102x22×

5、10xcos 60°，x210x960，x116，x26舍去，BD16.在BCD中，由正弦定理知，BC·sin 30°8.利用正弦、余弦定理解決平面幾何中的面積問題ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量ma，b，nsin B，sin A，pb2，a21假設(shè)mn，求證：ABC為等腰三角形；2假設(shè)mp，邊長c2，角C，求ABC的面積解 1證明mn，asin Absin B，a·b·，其中R是三角形ABC外接圓半徑，a2b2，ab，ABC為等腰三角形2由題意可知m·p0，即ab2ba20.abab.由余弦定理可知，4a2b2a

6、bab 23ab，即ab23ab40，ab4舍去ab1Sabsin C·4·sin.規(guī)律方法三角形面積問題的解決方法涉及三角形面積問題通常選用Sabsin Cbcsin Aacsin B，這個(gè)公式中含有正弦值，可以和正弦定理建立關(guān)系，又由正弦值還可求出余弦值，這就可以與余弦定理建立關(guān)系，另外面積公式中有兩邊的乘積，在余弦定理中也有，所以面積公式、正弦定理和余弦定理之間可以互相變換，關(guān)鍵是根據(jù)題中的條件選擇正確的變換方向.跟蹤訓(xùn)練2ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sin Acos A0，a2，b2. 【導(dǎo)學(xué)號：91022167】1求C；2設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且A

7、DAC，求ABD的面積解1由可得tan A，所以A，在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240，解得c4c6舍去2由條件得CAD，所以BADBACCAD，故ABD面積與ACD面積的比值為1，又ABC的面積為×4×2sinBAC2，所以ABD的面積為.正、余弦定理與三角恒等變換的綜合應(yīng)用探究問題1在ABC中有哪些常用的結(jié)論？三條即可提示1sinABsin C；2sincos；3cosABcos C.2在ABC中，如何用sin A，cos A，sin B，cos B表示sin C?提示sin CsinABsin Acos Bcos Asin B.在ABC中，

8、角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且. 【導(dǎo)學(xué)號：91022168】1證明：sin Asin Bsin C；2假設(shè)b2c2a2bc，求tan B.解1證明根據(jù)正弦定理，可設(shè)kk0，那么aksin A，bksin B，cksin C，代入中，有，變形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin BsinAB在ABC中，由ABC，有sinABsinCsin C所以sin Asin Bsin C.2由，b2c2a2bc，根據(jù)余弦定理，有cos A.所以sin A.由1知，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos Bsin B.故tan B

9、4.母題探究：1.變結(jié)論在例3中，假設(shè)a2，求ABC的面積解由例32解答可知sin Bcos Bsin B，即cos Bsin B，又sin2Bcos2B1，解得sin B，由正弦定理得b，那么SABCabsin Cabsin Asin B×2×××.母題探究：2.變條件把例3的條件變?yōu)椤癱os 2Ccos 2A2sin·sin，1求角A的值；2假設(shè)a且ba，求2bc的取值范圍解1由得2sin2A2sin2C2，化簡得sin A±，因?yàn)锳為ABC的內(nèi)角，所以sin ，故A或.2因?yàn)閎a，所以A.由正弦定理得2，得b2sin B，c2s

10、in C，故2bc4sin B2sin C4sin B2sin3sin Bcos B2sin.因?yàn)閎a，所以B，那么B，所以2bc2sin，2規(guī)律方法正、余弦定理綜合應(yīng)用技巧1理清題目所給條件，利用正、余弦定理溝通三角形中的邊與角之間的數(shù)量關(guān)系；2緊緊抓住正、余弦定理，依托三角恒等變換和代數(shù)恒等變換，將復(fù)雜的三角式或代數(shù)式轉(zhuǎn)化為簡單問題來計(jì)算或證明當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1在ABC中，周長為7.5 cm，且sin Asin Bsin C456，以下結(jié)論：abc456；abc2a2 cm，b2.5 cm，c3 cm；ABC456其中成立的個(gè)數(shù)是A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)C由正弦定理知a

11、bc456，故對，錯(cuò)，錯(cuò)；結(jié)合abc7.5，知a2，b2.5，c3，對，選C.2ABC的兩邊長分別為2,3，其夾角的余弦值為，那么其外接圓的半徑為 【導(dǎo)學(xué)號：91022169】A BCD9C設(shè)a2，b3，cos C，那么c2a2b22abcos C492×2×3×9，即c3，又由cos C得sin C，那么2R，R.3假設(shè)平行四邊形兩鄰邊的長分別是和，它們的夾角是45°，那么這個(gè)平行四邊形的兩條對角線的長分別是A和B2和2C和 D和C如下圖，設(shè)AB，AD，DAB45°，那么在ABD中，BD2AD2AB22AD·AB·cos 45°362×××3，即BD，在ADC中，AC2DA2DC22×DA×DC×cos 135°362×××15，即AC.4在ABC中，三個(gè)角A、B、C的對邊邊長分別為a3，b4，c6，那么bccos Aaccos Babcos C的值為_解析bccos Acacos Babcos C