高中數(shù)學推理與證明 212 演繹推理習題 蘇教版選修22

1、2.1.2演繹推理明目標、知重點1.理解演繹推理的意義.2.掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系1演繹推理由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法，通常稱為演繹推理演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結論(包括定義、公理、定理等)按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程三段論是演繹推理的主要形式2三段論(1)三段論的組成大前提提供了一個一般性的原理小前提指出了一個特殊對象結論揭示了一般原理與特殊對象的內(nèi)在聯(lián)系(2)三段論的常用格式為MP(M是P)SM(S是M)SP(S是P)情境導學小明是一名高二年級的學生，17歲，迷戀上網(wǎng)絡，沉迷于虛擬的世

2、界當中由于每月的零花錢不夠用，便向親戚鄰人要錢，但這仍然滿足不了需求，于是就產(chǎn)生了歹念，強行向路人搶取錢財?shù)∶鲄s說我是未成年人而且就搶了50元，這應該不會很嚴重吧？如果你是法官，你會如何判決呢？小明到底是不是犯罪呢？探究點一演繹推理與三段論思考1分析下面幾個推理，找出它們的共同點(1)所有的金屬都能導電，鈾是金屬，所以鈾能夠?qū)щ姡?2)一切奇數(shù)都不能被2整除，(21001)是奇數(shù)，所以(21001)不能被2整除；(3)三角函數(shù)都是周期函數(shù)，tan 是三角函數(shù)，因此tan 是周期函數(shù)；(4)兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補如果A與B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，那么AB180°.答問題中的推理

3、都是從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理叫演繹推理思考2演繹推理有什么特點？答演繹推理是從一般到特殊的推理演繹推理的前提是一般性原理，結論是蘊含于前提之中的個別、特殊事實思考3演繹推理的結論一定正確嗎？答在演繹推理中，前提和結論之間存在必然的聯(lián)系，只要前提是真實的，推理形式是正確的，結論必定是正確的思考4演繹推理一般是怎樣的模式？答“三段論”是演繹推理的一般模式，它包括：(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊情況；(3)結論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷例1 將下列演繹推理寫成三段論的形式(1)平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對

4、角線互相平分；(2)等腰三角形的兩底角相等，A，B是等腰三角形的底角，則AB；(3)通項公式為an2n3的數(shù)列an為等差數(shù)列解(1)平行四邊形的對角線互相平分，大前提菱形是平行四邊形，小前提菱形的對角線互相平分結論(2)等腰三角形的兩底角相等，大前提A，B是等腰三角形的底角，小前提AB.結論(3)數(shù)列an中，如果當n2時，anan1為常數(shù)，則an為等差數(shù)列，大前提通項公式為an2n3時，若n2，則anan12n32(n1)32(常數(shù))，小前提通項公式為an2n3的數(shù)列an為等差數(shù)列結論反思與感悟用三段論寫推理過程時，關鍵是明確大、小前提，三段論中的大前提提供了一個一般性的原理，小前提指出了一種

5、特殊情況，兩個命題結合起來，揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系有時可省略小前提，有時甚至也可把大前提與小前提都省略，在尋找大前提時，可找一個使結論成立的充分條件作為大前提跟蹤訓練1把下列推斷寫成三段論的形式：(1)因為ABC三邊的長依次為3,4,5，所以ABC是直角三角形；(2)函數(shù)y2x5的圖象是一條直線；(3)ysin x(xR)是周期函數(shù)解(1)一條邊的平方等于其他兩條邊平方和的三角形是直角三角形，大前提ABC三邊的長依次為3,4,5，而324252，小前提ABC是直角三角形結論(2)一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象是一條直線，大前提函數(shù)y2x5是一次函數(shù)，小前提函數(shù)y2x5的圖象是一條直

6、線結論(3)三角函數(shù)是周期函數(shù)，大前提ysin x(xR)是三角函數(shù)，小前提ysin x(xR)是周期函數(shù)結論 探究點二三段論推理中的易錯點例 2指出下列推理中的錯誤，并分析產(chǎn)生錯誤的原因：(1)整數(shù)是自然數(shù)，大前提3是整數(shù)，小前提3是自然數(shù)結論(2)常函數(shù)的導函數(shù)為0，大前提函數(shù)f(x)的導函數(shù)為0，小前提f(x)為常函數(shù)結論(3)無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，大前提(0.333 33)是無限不循環(huán)小數(shù)，小前提是無理數(shù)結論解(1)結論是錯誤的，原因是大前提錯誤自然數(shù)是非負整數(shù)(2)結論是錯誤的，原因是推理形式錯誤大前提指出的一般性原理中結論為“導函數(shù)為0”，因此演繹推理的結論也應為“導函數(shù)為0”(

7、3)結論是錯誤的，原因是小前提錯誤.(0.333 33)是循環(huán)小數(shù)而不是無限不循環(huán)小數(shù)反思與感悟演繹推理的結論是否正確，取決于該推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正確，因此，分析推理中的錯因?qū)嵸|(zhì)就是判斷大前提、小前提和推理形式是否正確跟蹤訓練2指出下列推理中的錯誤，并分析產(chǎn)生錯誤的原因：(1)因為中國的大學分布在中國各地，大前提北京大學是中國的大學，小前提所以北京大學分布在中國各地結論(2)因為所有邊長都相等的凸多邊形是正多邊形，大前提而菱形是所有邊長都相等的凸多邊形，小前提所以菱形是正多邊形結論解(1)推理形式錯誤大前提中的M是“中國的大學”，它表示中國的各所大學，而小前提中M雖然也是“

8、中國的大學”，但它表示中國的一所大學，二者是兩個不同的概念，故推理形式錯誤(2)結論是錯誤的，原因是大前提錯誤因為所有邊長都相等，內(nèi)角也都相等的凸多邊形才是正多邊形探究點三三段論的應用例3如圖，在銳角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D，E是垂足，求證：AB的中點M到點D，E的距離相等證明(1)因為有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，大前提在ABD中，ADBC，即ADB90°，小前提所以ABD是直角三角形結論同理，AEB也是直角三角形(2)因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，大前提因為DM是直角三角形ABD斜邊上的中線，小前提所以DMAB.結論同理EMAB.所以DMEM.反

9、思與感悟應用三段論證明問題時，要充分挖掘題目外在和內(nèi)在條件(小前提)，根據(jù)需要引入相關的適用的定理和性質(zhì)(大前提)，并保證每一步的推理都是正確的，嚴密的，才能得出正確的結論如果大前提是顯然的，則可以省略跟蹤訓練3已知：在空間四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，如圖所示，求證：EF平面BCD.證明三角形的中位線平行于底邊，大前提點E、F分別是AB、AD的中點，小前提所以EFBD.結論若平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線則直線與此平面平行，大前提EF平面BCD，BD平面BCD，EFBD，小前提EF平面BCD.結論1下面幾種推理過程是演繹推理的是_兩條直線平行，內(nèi)錯角相等，如果A與B是

10、兩條平行直線的內(nèi)錯角，則AB；某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人數(shù)超過50人；由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四邊形的性質(zhì)；在數(shù)列an中a11，an(n2)，由此歸納出an的通項公式答案解析是演繹推理，是歸納推理，是類比推理2推理：“矩形是平行四邊形，三角形不是平行四邊形，所以三角形不是矩形”中的小前提是_答案解析三段論推理中小前提是指研究的特殊情況3把“函數(shù)yx2x1的圖象是一條拋物線”恢復成三段論，則大前提：_；小前提：_；結論：_.答案二次函數(shù)的圖象是一條拋物線函數(shù)yx2x1是二次函數(shù)函數(shù)yx2x1的圖象是一條拋物線4.如圖，在ABC中，AC>BC，C

11、D是AB邊上的高，求證：ACD>BCD.證明：在ABC中，因為CDAB，AC>BC，所以AD>BD, 于是ACD>BCD. 則在上面證明的過程中錯誤的是_(只填序號)答案解析由AD>BD，得到ACD>BCD的推理的大前提應是“在同一三角形中，大邊對大角”，小前提是“AD>BD”，而AD與BD不在同一三角形中，故錯誤呈重點、現(xiàn)規(guī)律1演繹推理是從一般性原理出發(fā)，推出某個特殊情況的推理方法；只要前提和推理形式正確，通過演繹推理得到的結論一定正確2在數(shù)學中，證明命題的正確性都要使用演繹推理，推理的一般模式是三段論，證題過程中常省略三段論的大前提.一、基礎過關1

12、下列表述正確的是_歸納推理是由部分到整體的推理；歸納推理是由一般到一般的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理；類比推理是由特殊到一般的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理答案解析根據(jù)歸納推理，演繹推理，類比推理的概念特征可以知道正確2三段論：“小宏在2013年的高考中考入了重點本科院校；小宏在2013年的高考中只要正常發(fā)揮就能考入重點本科院校；小宏在2013年的高考中正常發(fā)揮”中，“小前提”是_(填序號)答案解析在這個推理中，是大前提，是小前提，是結論3正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此f(x)sin (x21)是奇函數(shù)以上推理錯誤的原因是_答案小前提不正確解析由于函數(shù)f(

13、x)sin (x21)不是正弦函數(shù)故小前提不正確4“四邊形ABCD是矩形，四邊形ABCD的對角線相等”以上推理的大前提是_答案矩形都是對角線相等的四邊形解析利用三段論分析：大前提：矩形都是對角線相等的四邊形；小前提：四邊形ABCD是矩形；結論：四邊形ABCD的對角線相等5給出演繹推理的“三段論”：直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有的直線；(大前提)已知直線b平面，直線a平面；(小前提)則直線b直線a.(結論)那么這個推理錯誤的原因是_答案大前提錯誤6在求函數(shù)y的定義域時，第一步推理中大前提是當有意義時，a0；小前提是有意義；結論是_答案y的定義域是4，)解析由大前提知log2x20，解得x4.

14、7用三段論證明：直角三角形兩銳角之和為90°.證明因為任意三角形內(nèi)角之和為180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形內(nèi)角之和為180°(結論)設直角三角形兩個銳角分別為A、B，則有AB90°180°，因為等量減等量差相等(大前提)，(AB90°)90°180°90°(小前提)，所以AB90°(結論)二、能力提升8由“(a2a1)x>3，得x>”的推理過程中，其大前提是_答案a>0，b>cab>ac解析a2a1(a)2>0.(a2a1)x

15、>3x>.其前提依據(jù)為不等式的乘法法則：a>0，b>cab>ac.9設a，b為兩條直線，是兩個平面，則ab的一個充分條件是_(填序號)a，b，； a，b，；a，b，； a，b，.答案(或)10已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，則f(2 010)_.答案解析令y1得4f(x)·f(1)f(x1)f(x1)即f(x)f(x1)f(x1)令x取x1則f(x1)f(x2)f(x)由得f(x)f(x2)f(x)f(x1)，即f(x1)f(x2)f(x)f(x3)，f(x3)f(x6)，f(x)f(x6)即f(x)周

16、期為6，f(2 010)f(6×3350)f(0)，對4f(x)f(y)f(xy)f(xy)，令x1，y0，得4f(1)f(0)2f(1)，f(0)即f(2 010).11用演繹推理證明函數(shù)f(x)|sin x|是周期函數(shù)證明大前提：若函數(shù)yf(x)對于定義域內(nèi)的任意一個x值滿足f(xT)f(x)(T為非零常數(shù))，則它為周期函數(shù)，T為它的一個周期小前提：f(x)|sin(x)|sin x|f(x)結論：函數(shù)f(x)|sin x|是周期函數(shù)12S為ABC所在平面外一點，SA平面ABC，平面SAB平面SBC.求證：ABBC.證明如圖，作AESB于E.平面SAB平面SBC，AE平面SBC，AEBC.又SA平面ABC，SABC.SAAEA，SA平面SAB，AE平面SAB，BC平面SAB.AB平面SAB.ABBC.三、探究與拓展13.設f(x)，g(x)(其中a>0且a1)(1)523請你推測g(5)能否用f(2)，f(3)