電動(dòng)力學(xué)_09拉普拉斯方程的解

1、第二章第三節(jié)第二章第三節(jié)分離變量法分離變量法2. 3 拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解 分離變量法分離變量法、分離變量法的適用條件、分離變量法的適用條件四、應(yīng)用實(shí)例（習(xí)題課）四、應(yīng)用實(shí)例（習(xí)題課）三、解題步三、解題步驟驟二、拉普拉斯方程的解在坐標(biāo)系中的形式二、拉普拉斯方程的解在坐標(biāo)系中的形式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 1、空間、空間 ，自由電荷只分布在某些介質(zhì)（或?qū)?，自由電荷只分布在某些介質(zhì)（或?qū)?體）表面上，將這些表面視為區(qū)域邊界，體）表面上，將這些表面視為區(qū)域邊界， 可用可用 拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。0一、拉普拉斯方程的適用條件一、拉普拉斯方程的適用條件2 2、在所求區(qū)域的

2、介質(zhì)中若有自由電荷分布，則要求、在所求區(qū)域的介質(zhì)中若有自由電荷分布，則要求 自由電荷分布在真空中產(chǎn)生的勢(shì)為已知。自由電荷分布在真空中產(chǎn)生的勢(shì)為已知。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一般所求區(qū)域?yàn)榉謪^(qū)均勻介質(zhì)，則不同介質(zhì)分界一般所求區(qū)域?yàn)榉謪^(qū)均勻介質(zhì)，則不同介質(zhì)分界面上有束縛面電荷。區(qū)域面上有束縛面電荷。區(qū)域V V中電勢(shì)可表示為兩部分中電勢(shì)可表示為兩部分的和，即的和，即 ， 為已知自由電荷產(chǎn)生為已知自由電荷產(chǎn)生的電勢(shì)，的電勢(shì)， 不滿足不滿足 ， 為束縛電荷產(chǎn)生為束縛電荷產(chǎn)生的電勢(shì)，滿足拉普拉斯方程的電勢(shì)，滿足拉普拉斯方程020200但注意，邊值關(guān)系還要用但注意，邊值關(guān)系還要用 而不能用而不能

3、用SS二、拉普拉斯方程在幾種坐標(biāo)系中解的形式二、拉普拉斯方程在幾種坐標(biāo)系中解的形式02222222zyx1、直角坐標(biāo)直角坐標(biāo) )()()(),(zZyYxXzyx（1）令令 1122( )( )( )sincosk xk xX xAeBek yk yY yCeDeZ zEkzFkz000222222ZdzZdYdyYdXdxXd0222212221,kkkkk令令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(yx（2 2）若若 ( )( )sincoskxkxX xAeBeY yCkyDky )(xzy,（3 3）若）若 ，與與 無關(guān)。無關(guān)。 BAxdxd022002222YdyYdXdxXd注意

4、注意：在：在（1 1）、（、（2）兩種情況中）兩種情況中若考慮了某些邊若考慮了某些邊界條件，界條件， 將與某些正整數(shù)有關(guān)，它們可取將與某些正整數(shù)有關(guān)，它們可取1，2，3， ，只有對(duì)它們?nèi)『秃蟛诺玫酵ń?。，只有?duì)它們?nèi)『秃蟛诺玫酵ń?。kkk,21022,kk機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 01)(1222222zrrrrr 柱坐標(biāo)柱坐標(biāo) ),(r討論討論 )()(),(grfr，令令 0)()(10)()(22222rfrdrdfrdrdrgdgd12( )sincosgaa )(rfrr 有兩個(gè)線性無關(guān)解有兩個(gè)線性無關(guān)解 、)2()0(n單值性要求單值性要求 ， 只能取整數(shù)，令只能取整數(shù)，

5、令1( , )(sincos)(sincos)nnnnnnnrrAnBnrCnDnrBACrrln0)(1rrrr若若 )(r，機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1( , , )()(cos )cosnmnmnmnnnmbRaRPmR 1()(cos )sinnmnmnmnnnmdcRPmR3球坐標(biāo)球坐標(biāo) )(cosmnP締合勒讓德函數(shù)（連帶勒讓德函數(shù)）締合勒讓德函數(shù)（連帶勒讓德函數(shù)）nnnnnnPRbRaR)(cos)(),(1 若若不依賴于不依賴于，即，即具有軸對(duì)稱性具有軸對(duì)稱性，通解通解為為 ) 1cos3(21)(cos22Pcos)(cos110PP)(cosnP-為勒讓德函數(shù)為勒

6、讓德函數(shù)RbaR)(, 若若與與均無關(guān)，均無關(guān)，具有球?qū)ΨQ性，具有球?qū)ΨQ性， 通解：通解：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三解題步驟三解題步驟 根據(jù)具體條件確定常數(shù)根據(jù)具體條件確定常數(shù) 選擇坐標(biāo)系和電勢(shì)參考點(diǎn)選擇坐標(biāo)系和電勢(shì)參考點(diǎn) 坐標(biāo)系選擇主要根據(jù)區(qū)域中分界面形狀，參坐標(biāo)系選擇主要根據(jù)區(qū)域中分界面形狀，參考點(diǎn)主要根據(jù)電荷分布是有限還是無限；考點(diǎn)主要根據(jù)電荷分布是有限還是無限； 分析對(duì)稱性、分區(qū)寫出拉普拉斯方程在所選分析對(duì)稱性、分區(qū)寫出拉普拉斯方程在所選 坐標(biāo)系中的通解；坐標(biāo)系中的通解；（1）外邊界條件：）外邊界條件： 電荷分布有限電荷分布有限 0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意：

7、注意：邊界條件和邊值關(guān)系是相對(duì)的。導(dǎo)體邊界邊界條件和邊值關(guān)系是相對(duì)的。導(dǎo)體邊界可視為外邊界可視為外邊界，給定給定 （接地（接地 ），或給，或給定總電荷定總電荷 Q，或給定，或給定 。S0SzeEE0zErE00cos電荷分布無限，電荷分布無限，電勢(shì)參考點(diǎn)一般選在有限區(qū)。如電勢(shì)參考點(diǎn)一般選在有限區(qū)。如 （直角坐標(biāo)或柱坐標(biāo)）（直角坐標(biāo)或柱坐標(biāo)），電勢(shì)可選在坐標(biāo)原點(diǎn)。，電勢(shì)可選在坐標(biāo)原點(diǎn)。均勻場(chǎng)中，均勻場(chǎng)中，（2）內(nèi)部邊值關(guān)系：介質(zhì)分界面）內(nèi)部邊值關(guān)系：介質(zhì)分界面上上SSSSnn221121一般討論分一般討論分界面無自由界面無自由電荷的情況電荷的情況機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四應(yīng)用舉例四應(yīng)

8、用舉例1、兩無限大平行導(dǎo)體板，相距為兩無限大平行導(dǎo)體板，相距為 ，兩板間，兩板間電勢(shì)電勢(shì) 差為差為V (與與 無關(guān)無關(guān))，一板接地，求，一板接地，求兩板間的兩板間的 電勢(shì)電勢(shì) 和和 。lzyx,ExyOVZ Zl解：（解：（1）邊界為平面，故）邊界為平面，故應(yīng)選直角坐標(biāo)系應(yīng)選直角坐標(biāo)系下板下板 01S，設(shè)為設(shè)為參考點(diǎn)參考點(diǎn)lz Vyx,（2）定性分析：）定性分析：因因在在（常數(shù)常數(shù)），可考慮，可考慮與與無關(guān)。無關(guān)。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (4) 定常數(shù)：定常數(shù)： 00)0(BzlVAVAlVlz )()0(lzzlV(5) 電場(chǎng)為均勻場(chǎng)電場(chǎng)為均勻場(chǎng)lVEelVedzdEzz常數(shù)常數(shù)

9、電勢(shì)：電勢(shì)：(3) 列出方程并給出解：列出方程并給出解：BAz 方程的解：方程的解：)0(lz02220dd z機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一對(duì)接地半無限大平板，相距為一對(duì)接地半無限大平板，相距為 ，左端有，左端有一極一極b板電勢(shì)為板電勢(shì)為 V（常數(shù)），求兩平行板之間的電勢(shì)。（常數(shù)），求兩平行板之間的電勢(shì)。xyzV解：（解：（1）邊界為平面，）邊界為平面，選直角坐標(biāo)系選直角坐標(biāo)系；上、下兩上、下兩平板接地，平板接地，取取為參考點(diǎn)為參考點(diǎn)；且當(dāng)且當(dāng)0,yb0 x222220(0, 0)xybxy z0, 0,xybV（2 2） 軸平行于平板，且軸平行于平板，且z),(yx與與無關(guān)，可設(shè)無

10、關(guān)，可設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )( ) ( )( )sincoskxkxX xAeBeX x Y yY yCkyDky( , )()(sincos)kxkxx yAeBeCkyDky（3 3）確定常數(shù)）確定常數(shù) A A，B B，C C，D D，k k00, 0Dy,0sin0ybkb(1,2,3,)nkbnknb( , )()(sin)(1,2,3)nnnnkxkxx yA eB eCkyn1),(),(nnyxyx通解通解 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , )sin()nbnnnnnnxx yCyeB CCb1sinnxbnnnCyeb00nAx1sin0nnby

11、nCVVxbymsin兩邊同乘兩邊同乘 并從并從0 b0 b積分：積分：001sinsinsinbbnnm yn ym yVdyCdybbb01sinsinbnnm yn yCdybb00sinsin/2bnmm yn ydybnmbb m nb2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 102/2sinnmmnnbbCbCdybymV04cos2sin2sin2000mVymVydymbbVdybymVbCmmbm（m = 奇數(shù)）奇數(shù)）（m = 偶數(shù)）偶數(shù)）/1,3,541( , )sinm x bmVm yx yemb, 2 , 1 , 012nnm令令 (21)/041(1)( , )sin2

12、1nx bmVmyx yenb00 xyb機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 半徑半徑 a a，帶有均勻電荷分布，帶有均勻電荷分布的無限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體，的無限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體，求導(dǎo)體柱外空間的電勢(shì)和電場(chǎng)。求導(dǎo)體柱外空間的電勢(shì)和電場(chǎng)。解：電荷分布在無限遠(yuǎn)，電勢(shì)零點(diǎn)可選在有限區(qū)，為簡(jiǎn)單可解：電荷分布在無限遠(yuǎn)，電勢(shì)零點(diǎn)可選在有限區(qū)，為簡(jiǎn)單可選在導(dǎo)體面選在導(dǎo)體面 r = a r = a 處，即處，即 選柱坐標(biāo)系。選柱坐標(biāo)系。)0)( ar對(duì)稱性分析：對(duì)稱性分析： 導(dǎo)體為圓柱，柱上電荷均勻?qū)w為圓柱，柱上電荷均勻分布，分布，一定與一定與無關(guān)。無關(guān)。 柱外無電荷，電場(chǎng)線從面上柱外無電荷，電場(chǎng)線從面上發(fā)出后，不會(huì)終止

13、到面上，只發(fā)出后，不會(huì)終止到面上，只能終止到無窮遠(yuǎn)，且在導(dǎo)體面能終止到無窮遠(yuǎn)，且在導(dǎo)體面上電場(chǎng)只沿上電場(chǎng)只沿 方向，可認(rèn)為方向，可認(rèn)為re)(r與與z無關(guān)，無關(guān)，機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyzorCdrdrdrdrdrdr0)(102ararln)(0arCrCaCrlnlnln)(DrCrln)(0)(aaCDln當(dāng)當(dāng) r = a 時(shí)，時(shí)，0rredaEedrr 0aCdrrCdaCarCadndarar0001機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在導(dǎo)體面上在導(dǎo)體面上 reaE0)( 補(bǔ)充題補(bǔ)充題11長(zhǎng)方形盒的長(zhǎng)為長(zhǎng)方形盒的長(zhǎng)為A A、寬、寬為為B B、高為、高為C C，上蓋電位

14、為，上蓋電位為 ，其，其余接地，余接地，求盒內(nèi)的電位分布。求盒內(nèi)的電位分布。 0CAB0zBmAnyBmxAnCz , y, xm,nnmsinhsinsin221012012sin1214nkkarkV, rCBmAnmnCmmsinh1622200V0V 補(bǔ)充題補(bǔ)充題22無窮長(zhǎng)導(dǎo)體圓筒，半徑為a，厚度可以忽略不計(jì)。圓筒分成相等的兩個(gè)半片，相互絕緣。其中的一半的電位為 ，另一半 電 位為 ，求圓筒內(nèi)的電位分布。0V0V機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4一半徑為一半徑為 a，介電常數(shù)為，介電常數(shù)為 的無的無 限長(zhǎng)電介質(zhì)限長(zhǎng)電介質(zhì)圓柱，柱軸沿圓柱，柱軸沿 方方 向，向， 方向上有一方向上有一

15、外加均勻電外加均勻電 場(chǎng)場(chǎng) ，求空間電勢(shì)分布和柱面，求空間電勢(shì)分布和柱面 上的束縛電荷分布。上的束縛電荷分布。ye0Eze解：解：(1)(1)邊界為柱面邊界為柱面, ,選柱坐標(biāo)系。選柱坐標(biāo)系。均勻場(chǎng)電勢(shì)在無窮遠(yuǎn)處不為零，故均勻場(chǎng)電勢(shì)在無窮遠(yuǎn)處不為零，故參考點(diǎn)選在有限區(qū)域，例如可選在參考點(diǎn)選在有限區(qū)域，例如可選在坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)0r常數(shù)（或常數(shù)（或0）(1)(1)(1)(1)11 (sincos)(sincos)nnnnnnnrAnBnrCnDnxyzO0E機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) (2) 考慮對(duì)稱性電勢(shì)與考慮對(duì)稱性電勢(shì)與z z無關(guān)，設(shè)柱內(nèi)電勢(shì)為無關(guān)，設(shè)柱內(nèi)電勢(shì)為 ，柱外為，柱

16、外為 它它們分別滿足們分別滿足 , , 。通解為：。通解為：12210(0)ra 220 ()ra(2)(2)(2)(2)21(sincos)(sincos)nnnnnnnrAnBnrCnDnar (3) (3) 確定常數(shù)確定常數(shù) 因?yàn)橛型饧泳鶆驁?chǎng)，它們對(duì)因?yàn)橛型饧泳鶆驁?chǎng)，它們對(duì)x x軸對(duì)稱，可考慮軸對(duì)稱，可考慮 、 也也 相對(duì)相對(duì)x軸對(duì)稱（軸對(duì)稱（ 為偶函數(shù)），所以為偶函數(shù)），所以 中不應(yīng)包中不應(yīng)包 含含 項(xiàng)，故：項(xiàng)，故：12)(12、nsin)2()1()2()1(,nnnnACAA均為零。均為零。10r 常數(shù)（或零），有限，故常數(shù)（或零），有限，故1nr0)1(nD中不應(yīng)有中不應(yīng)有 項(xiàng)項(xiàng)

17、。2（均勻場(chǎng)電勢(shì)），（均勻場(chǎng)電勢(shì)），中不中不含含 項(xiàng)項(xiàng)020)2(1nBEB），得），得nr1n（因此因此cos02rEr1)2(021) 1 (1coscos0cosnnnnnnranrDrEarnrB機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11)1()2(0001)1(11)2(0)1(cos)(coscoscoscoscosnnnnnnnnnnnnnaDnEnanBnaDaEnaB121200aarrraraar 時(shí)，時(shí)，兩邊兩邊 為任意值，為任意值， 前系數(shù)應(yīng)相等（前系數(shù)應(yīng)相等（ ）cos, 2 , 1n(1)(2)1101(1)(2)2100011B aE aDanBEDa (2)201

18、00(1)01002DE aBE(1)(2)(1)1(2)(1)01 (1)nnnnnnnnB aDannnB anDa (1)(2)0(1)0nnBnD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 arrE0cos20001raErarEcoscos020002（4 4）解為）解為 （5）求柱內(nèi)電場(chǎng)：）求柱內(nèi)電場(chǎng)：)cos(20001xrxE01011020 xyzEEEE00012EE仍沿仍沿x方向方向120001EE Z0E機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 00000001EEEEEP（6）柱面上束縛面電荷分布）柱面上束縛面電荷分布0)(120EEnPcos)(2cos2coscos)()(00

19、0000000000120120EEEErrEEarnnP（7 7）若圓柱為導(dǎo)體，可用上述方法重新求解，或令）若圓柱為導(dǎo)體，可用上述方法重新求解，或令cos2coscos00002021EErarE機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5 5如圖所示的導(dǎo)體球（帶電如圖所示的導(dǎo)體球（帶電Q Q）和不帶電荷的導(dǎo)體球殼，用分）和不帶電荷的導(dǎo)體球殼，用分離變量法求空間各點(diǎn)的電勢(shì)及球殼內(nèi)、外面上的感應(yīng)電荷。離變量法求空間各點(diǎn)的電勢(shì)及球殼內(nèi)、外面上的感應(yīng)電荷。解：解：(1)(1)邊界為球形，選球坐標(biāo)系，邊界為球形，選球坐標(biāo)系，電荷分布在有限區(qū)，選電荷分布在有限區(qū)，選0r若將若將Q Q移到殼上，移到殼上，球接

20、地為書中球接地為書中P64P64例題例題（2 2）設(shè)球殼內(nèi)為）設(shè)球殼內(nèi)為I I區(qū)區(qū)，殼外為，殼外為IIII區(qū)區(qū)。 球殼內(nèi)球殼內(nèi): :220 210 球殼外球殼外 電荷在球上均勻分布，場(chǎng)有球?qū)ΨQ電荷在球上均勻分布，場(chǎng)有球?qū)ΨQ性，性，, 與與無關(guān)無關(guān))()(21132RRRRbaRRRdC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2R3R1RQOI IIIII（3 3）確定常數(shù)）確定常數(shù)1200dRCR RRR101,2312000SSdSdSnn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 導(dǎo)體殼為等勢(shì)體導(dǎo)體殼為等勢(shì)體3221SS30214dQaRR1121001214SR RbQdSRRR 04Qb 在導(dǎo)體殼

21、上在導(dǎo)體殼上 23230SSQdSdS23120230SSnn nnR231200SSdSdSRR)11(4230RRQa（4） 1304QRRR 2123002)11(44RRRRRQRQ機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 04404Qbddb23220SSdSdSbdRR（5）球殼上的感應(yīng)電荷）球殼上的感應(yīng)電荷3322014SSQdSRQdSnQ殼外面殼外面 22110SSQdSRdSnQ殼內(nèi)面殼內(nèi)面 0 QQ以上結(jié)果均與高斯定理求解一致。以上結(jié)果均與高斯定理求解一致。p21R0z6 6均勻介質(zhì)球（介電常數(shù)為均勻介質(zhì)球（介電常數(shù)為 ）的中心置一自由電偶極子的中心置一自由電偶極子 ，球，球外

22、充滿另一種介質(zhì)（介電常數(shù)外充滿另一種介質(zhì)（介電常數(shù)為為 ），求空間各點(diǎn)電勢(shì)和束縛電），求空間各點(diǎn)電勢(shì)和束縛電荷分布。荷分布。1fp2解解: (1) 與與 的邊界為球面，故選的邊界為球面，故選球坐標(biāo)系，球坐標(biāo)系，電荷分布在有限區(qū)，選電荷分布在有限區(qū)，選120r (2)設(shè)球內(nèi)電勢(shì)為設(shè)球內(nèi)電勢(shì)為 ，球外電勢(shì)為，球外電勢(shì)為 , ,球外無自由電荷分布，球外無自由電荷分布，電勢(shì)滿足電勢(shì)滿足 。但球內(nèi)有自由偶極子，不滿足拉普拉斯。但球內(nèi)有自由偶極子，不滿足拉普拉斯方程，但滿足泊松方程?？紤]偶極子使介質(zhì)極化，極化電荷分方程，但滿足泊松方程?？紤]偶極子使介質(zhì)極化，極化電荷分布在偶極子附近和球面上。自由偶極子在介

23、質(zhì)中產(chǎn)生的電勢(shì)布在偶極子附近和球面上。自由偶極子在介質(zhì)中產(chǎn)生的電勢(shì)1202233030444RRpRRpRRppff機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1013104RRpf所以所以 1)(0012RR 滿足滿足202還可設(shè)還可設(shè)00 為簡(jiǎn)單令為簡(jiǎn)單令nnnnnnnnnnnnPRdRcPRbRa)(cos)()(cos)(1211考慮軸對(duì)稱考慮軸對(duì)稱：101202（3）確定常數(shù)）確定常數(shù) 10nb R0，有限有限nnnnfPRaRRp)(cos4311機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 R 200nC2311(cos )4fnnnnpRdPRR 邊值關(guān)系邊值關(guān)系 00000022112121RRRRRRRR1cos(cos )fffpRp Rp R p并注意到并注意到機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 010(cos )(cos )nnnnnnnnda R PPR)(cosnP比較比較的系數(shù)，得的系數(shù)，得202101120/) 1(/1nnnnnnnRdnRanRdan機(jī)動(dòng) 目錄 上頁