2012年高考真題匯編——理科數(shù)學(xué)（解析版）4：數(shù)列

1、2012高考真題分類匯編：數(shù)列一、選擇題1.【2012高考真題重慶理1】在等差數(shù)列中，則的前5項(xiàng)和= A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前5項(xiàng)和,選B.2.【2012高考真題浙江理7】設(shè)是公差為d（d0）的無窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是A.若d0，則數(shù)列Sn有最大項(xiàng)B.若數(shù)列Sn有最大項(xiàng)，則d0C.若數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，則對任意，均有D. 若對任意，均有，則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列【答案】C【解析】選項(xiàng)C顯然是錯(cuò)的，舉出反例：1，0，1，2，3，滿足數(shù)列S n是遞增數(shù)列，但是S n0不成立故選C。3.【2012高考真題新課標(biāo)理5】已知為等比

2、數(shù)列，則（ ） 【答案】D 【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，綜上選D.4.【2012高考真題上海理18】設(shè)，在中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A25 B50 C75 D100【答案】D【解析】當(dāng)124時(shí)，0，當(dāng)2649時(shí)，0，但其絕對值要小于124時(shí)相應(yīng)的值，當(dāng)5174時(shí)，0，當(dāng)7699時(shí)，0，但其絕對值要小于5174時(shí)相應(yīng)的值，當(dāng)1100時(shí)，均有0。5.【2012高考真題遼寧理6】在等差數(shù)列an中，已知a4+a8=16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11=(A)58 (B)88 (C)143 (D)176【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，答案為B【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的

3、通項(xiàng)公式、性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題。解答時(shí)利用等差數(shù)列的性質(zhì)快速又準(zhǔn)確。6.【2012高考真題四川理12】設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，則（ ）A、 B、 C、 D、 【答案】D【解析】，即，而是公差為的等差數(shù)列，代入，即，不是的倍數(shù)，.，故選D.7.【2012高考真題湖北理7】定義在上的函數(shù)，如果對于任意給定的等比數(shù)列， 仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：； ； ； .則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為 A B C D 【答案】C【解析】等比數(shù)列性質(zhì)，； ；.選C8.【2012高考真題福建理2】等差數(shù)列an中，a1+a5=10,a

4、4=7,則數(shù)列an的公差為A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B. 【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)知，又.故選B.9.【2012高考真題安徽理4】公比為等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，則=（ ） 【答案】B 【解析】10.【2012高考真題全國卷理5】已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a5=5，S5=15，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】由,得，所以，所以，又，選A.二、填空題11.【2012高考真題浙江理13】設(shè)公比為q（q0）的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，則q=_。 【答案】【解析】將，兩個(gè)式子全部轉(zhuǎn)化成用，q表示的式

5、子即，兩式作差得：，即：，解之得：(舍去)12.【2012高考真題四川理16】記為不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，現(xiàn)有下列命題：當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前3項(xiàng)依次為5,3,2；對數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有；當(dāng)時(shí)，；對某個(gè)正整數(shù)，若，則。其中的真命題有_。（寫出所有真命題的編號）【答案】【命題立意】本題屬于新概念問題主要考查數(shù)列知識的靈活應(yīng)用和推理論證能力，難度較大.【解析】當(dāng)時(shí)， ，故正確；同樣驗(yàn)證可得正確，錯(cuò)誤.13.【2012高考真題新課標(biāo)理16】數(shù)列滿足，則的前項(xiàng)和為 【答案】1830【解析】由得，即，也有，兩式相加得，設(shè)為整數(shù)，則，于是14.【2012高考真題遼寧理14】已知等

6、比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an =_?！敬鸢浮俊窘馕觥俊军c(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力，屬于中檔題。15.【2012高考真題江西理12】設(shè)數(shù)列an,bn都是等差數(shù)列，若，則_?！敬鸢浮?5【命題立意】本題考查等差數(shù)列的概念和運(yùn)算?！窘馕觥吭O(shè)數(shù)列的公差分別為，則由，得，即，所以，所以。16.【2012高考真題北京理10】已知等差數(shù)列為其前n項(xiàng)和。若，則=_?！敬鸢浮?，【解析】因?yàn)?，所以，?7.【2012高考真題廣東理11】已知遞增的等差數(shù)列an滿足a1=1，則an=_ 【答案】【解析】由得到，即，應(yīng)為an是遞增的等差數(shù)列，所以，故。18.【20

7、12高考真題重慶理12】 . 【答案】【解析】19.【2012高考真題上海理6】有一列正方體，棱長組成以1為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，體積分別記為，則 ?！敬鸢浮俊！窘馕觥坑深}意可知，該列正方體的體積構(gòu)成以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，+=，。20.【2012高考真題福建理14】數(shù)列an的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和為Sn，則S2012=_.【答案】3018【命題立意】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的概念和前項(xiàng)和的求法，以及余弦函數(shù)的周期性，同時(shí)考查了考生觀察分析發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律的能力，難度較大【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的周期是4，所以數(shù)列的每相鄰四項(xiàng)之和是一個(gè)常數(shù)6，所以.三、解答題21【2012高考江蘇20】（16分）已知各

8、項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：，（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值【答案】解：（1），。 。 。 數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列。（2），。 。（） 設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明 若則，當(dāng)時(shí)，與（）矛盾。 若則，當(dāng)時(shí)，與（）矛盾。 綜上所述，。，。 又，是公比是的等比數(shù)列。 若，則，于是。 又由即，得。 中至少有兩項(xiàng)相同，與矛盾。 。 ?！究键c(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，基本不等式，反證法。【解析】（1）根據(jù)題設(shè)和，求出，從而證明而得證。 （2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列的公比。從而得到的結(jié)論，再由知是公比是的等比數(shù)列。最后用反證法求出

9、。23.【2012高考真題廣東理19】（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，nN,且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列（1） 求a1的值；（2） 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（3） 證明：對一切正整數(shù)n，有.【答案】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，不等式證明問題，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力與推理論證能力，難度一般.24.【2012高考真題陜西理17】（本小題滿分12分）設(shè)的公比不為1的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的公比；（2）證明：對任意，成等差數(shù)列。 【答案】25.【2012高考真題四川理20】(本小題滿分12分) 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對一切正整數(shù)都成立。（）求，

10、的值；（）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)為何值時(shí)，最大？并求出的最大值?！敬鸢浮勘绢}主要考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的概念和前n項(xiàng)和公式，以及對數(shù)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，考查邏輯推理能力，基本運(yùn)算能力，以及方程與函數(shù)、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想 26.【2012高考真題四川理22】(本小題滿分14分)已知為正實(shí)數(shù)，為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn)，設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距。（）用和表示；（）求對所有都有成立的的最小值；（）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說明理由。【答案】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算能力、邏輯推理能力、分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討

11、論、化歸與轉(zhuǎn)化由特殊到一般等數(shù)學(xué)思想 27.【2012高考真題廣東理19】（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，nN,且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列（4） 求a1的值；（5） 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（6） 證明：對一切正整數(shù)n，有.【答案】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，不等式證明問題，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力與推理論證能力，難度一般.28.【2012高考真題上海理23】（4+6+8=18分）對于數(shù)集，其中，定義向量集，若對任意，存在，使得，則稱具有性質(zhì)例如具有性質(zhì)（1）若，且具有性質(zhì)，求的值；（2）若具有性質(zhì)，求證：，且當(dāng)時(shí)，；（3）若具有性質(zhì)，且、（為常數(shù)），求有窮數(shù)列

12、的通項(xiàng)公式.【答案】 【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)集、集合的基本性質(zhì)、元素與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，本題屬于信息給予題，通過定義“具有性質(zhì)”這一概念，考查考生分析探究及推理論證的能力綜合考查集合的基本運(yùn)算，集合問題一直是近幾年的命題重點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)引起足夠的重視29.【2012高考真題重慶理21】（本小題滿分12分，（I）小問5分，（II）小問7分.） 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，其中. （I）求證：是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；（II）若，求證：，并給出等號成立的充要條件.【答案】30.【2012高考真題江西理17】（本小題滿分12分）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和，,且Sn的最大值為8.（1）確定常數(shù)k，求an；（2）求數(shù)列

13、的前n項(xiàng)和Tn?！敬鸢浮?【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，遞推、錯(cuò)位相減法求和以及二次函數(shù)的最值的綜合應(yīng)用.利用來實(shí)現(xiàn)與的相互轉(zhuǎn)化是數(shù)列問題比較常見的技巧之一，要注意不能用來求解首項(xiàng)，首項(xiàng)一般通過來求解.運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和適用的情況：當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)由兩項(xiàng)的乘積組成，其中一項(xiàng)是等差數(shù)列、另一項(xiàng)是等比數(shù)列.31.【2012高考真題安徽理21】（本小題滿分13分） 數(shù)列滿足：（I）證明：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是；（II）求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列?！敬鸢浮勘绢}考查數(shù)列的概念及其性質(zhì)，不等式及其性質(zhì)，充要條件的意義，數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用知識分析問題的能力，推理

14、論證和運(yùn)算求解能力?！窘馕觥浚↖）必要條件當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列。充分條件數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，得：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是。（II）由（I）得：，當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，與同號，由，。當(dāng)時(shí)，存在，使與異號，與數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列矛盾，得：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。32.【2012高考真題天津理18】（本小題滿分13分）已知是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，是等比數(shù)列，且，.（）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（）記，證明（）.【答案】33.【2012高考真題湖南理19】（本小題滿分12分）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記A（n）=a1+a2+an，B（n）=a2+a3+an+1，C（n）=a3+

15、a4+an+2，n=1,2， （1） 若a1=1，a2=5，且對任意nN，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式.（2） 證明：數(shù)列 an 是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列.【答案】解（）對任意,三個(gè)數(shù)是等差數(shù)列，所以即亦即故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.于是（）（）必要性：若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對任意，有由知，均大于，于是即，所以三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.（）充分性：若對于任意，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，則，于是得即由有即，從而.因?yàn)?，所以，故?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意nN，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.【解析】【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問由等差數(shù)列定義可得；第二問要從充分性、必要性兩方面來證明，利