關(guān)于傅利葉變換的一些數(shù)學(xué)解釋兼及其它

1、  關(guān)于傅利葉變換的一些數(shù)學(xué)解釋兼及其它(from 飲水思源) 收藏回復(fù)本文 發(fā)信人: ulysses(奧德修斯-盧庫盧斯-布魯姆), 信區(qū): IE標(biāo)  題: 關(guān)于傅利葉變換的一些數(shù)學(xué)解釋兼及其它發(fā)信站: 飲水思源 (2007年08月28日00:49:13 星期二), 站內(nèi)信件向前進(jìn), 你就會產(chǎn)生信念.                      &

2、#160;                 達(dá)朗貝爾傅利葉變換是信號系統(tǒng)的奠基石，小波分析的基礎(chǔ)理論，理論的粗疏理解固然不難但是要達(dá)到深刻的境界，是不能僅僅依靠教科書的由于本次討論持續(xù)時間較長，參與面較廣，合集再給予m之后效果反而不佳為避免討論湮沒，因此在此簡略加以總結(jié)，鄙下僅僅負(fù)責(zé)發(fā)帖，所有版權(quán)全部歸于以下幾位學(xué)長：  Valetine，QueueingSys，zekong，vole，filestorm, dwangQ1:為

3、何要在通訊中使用傅利葉變換？(fingers)A11: 一個函數(shù)的傅立葉變換，本質(zhì)上是把函數(shù)分解到一個垂直的坐標(biāo)系， 每個坐標(biāo)分量稱為頻率，在這個坐標(biāo)系下的系數(shù)（本身是一個函數(shù)），我們稱它為這個函數(shù)的頻譜。人們想理解怎么樣能夠控制信號在不同頻率下傳遞 ，因?yàn)樽匀唤橘|(zhì)對不同頻率信號響應(yīng)不同。然后還要考慮如何能夠在改變信號頻率前后，最小程度的減小或者增大某些量，比如信噪比，或者熵，或者其他度量。傅立葉變換可以對這些問題提供工具。數(shù)學(xué)上，也更容易操作。傅利葉變化在工程和物理中使用十分廣泛。（Valetine）A12:Fourier Transform是把給定信號用一大堆簡單周期信號做一個線

4、性疊加。那一大堆簡單的周期信號可以認(rèn)為是基。這個基很nb，具有很多性質(zhì)，比如正交。同時，還存在一種快速算法。所以總的來說Fourier Transform實(shí)在是只應(yīng)天上有的完美理論。(filestorm)Q2:請問如果對于本身是正旋波的信號頻率比如說是,做過傅立葉變換那頻率是否仍然還和原來相同？A21:正弦波座傅立葉變化后就不是周期性的了，所以也就不存在什么頻率了但是這個變化的沖激是位于和-處(dwang)A22：首先, Fourier變換只是給人們提供另一個視角去看信號而已.有人認(rèn)為時域看信號直觀些有人認(rèn)為頻域看信號直觀些還有人喜歡即從時域又從頻域看信號, 這要看應(yīng)用場合的.講得再遠(yuǎn)點(diǎn),除了

5、時域和頻域,你還可以從s域去看信號呢(利用Laplace變換)另外,同一個信號,是周期就是周期的,不是周期就不是周期的,無論你從哪個域去看.從時域看一個sine wave, 以時間為x軸,信號的波形是repeated的,所以人們很直觀地認(rèn)為那是"周期的"從頻域看一個sine wave, 以頻率為x軸, 信號的"頻譜"是2根"脈沖"但它仍有頻率,仍是周期的。(QueueingSys)A23:傅立葉變換是一個數(shù)學(xué)工具，它能把信號對角化到不同的頻率。但是信號本身的性質(zhì)和傅立葉變換沒有關(guān)系，就是說，不管你做不做傅立葉變換，一個信號還是它本身，

6、比如5Mhz依然不變。只是換了坐標(biāo)系來考慮和處理信號，在這個坐標(biāo)系下操作的好處，就是所有的頻率對應(yīng)于某一個內(nèi)積是垂直的。(Valetine)A24:1. X1+X2+X3+.+Xn  三個未知數(shù)服從不同的分布，想求在其和小于常數(shù)K的概率。  一種是在時域上解的話是n重積分，極其繁瑣。  一種是用蒙托卡羅模擬，但得到的結(jié)果不是解析解，有方差。  一種是用傅立葉變換變到頻域，指數(shù)項使+變成了X，化簡以后，使用反變換，這里有很多快速數(shù)值算法，比如經(jīng)典的Euler算法。這要比第一種簡單很多。2. 假設(shè)你對T時間內(nèi)的invariant的分布建了模，而你在其分布特性

7、不變的假設(shè)下想求NT時間的分布的話，如果T時間分布模型是使用擬和等統(tǒng)計方法得到的話，時域是根本無法得到的。 只有轉(zhuǎn)到頻域利用projection的特性，再轉(zhuǎn)回來。(zekong)A25:信號無論在哪個空間下，都是有頻率的。但是上文說到的“不存在頻率”是指Fourier Spectrum上再對frequency求frequency，一般來說，這很難找到一個說得通的物理解釋。但這個操作是有據(jù)可查的，叫做Liftering，一般工程上Fourier Analysis文獻(xiàn)甚少有紀(jì)錄而已。實(shí)際上是可以用來做一些奇怪的檢測。(filestorm)Q3:談?wù)劯道~變換A31:感覺大多咱們研究的都是實(shí)直線上的

8、可測函數(shù)類，這里可測指的是Lebesgue可測（勒貝格可測），如果說 Lp（IR)指的是IR（實(shí)直線）上的可測類，則應(yīng)該滿足：L積分（|f(x)|p)dx有界L無窮（IR）指的處處有界函數(shù)類一般來說感覺咱們研究的傅立葉變化實(shí)際只是很初等的L1（IR）上的，L2（IR）本身Lp空間就是一個Banach空間，成立Minkowski不等式，Holder不等式，及Schwarz不等式，賦予內(nèi)積后，即變成一個Hilbert空間。當(dāng)f(x)屬于L1(IR)時，F(xiàn)(w)屬于L無窮（IR），并且再L1(IR)上一致連續(xù)如果f(x)屬于L2(IR)，那么傅立葉變換L2空間到L2空間的映射如此有很多值得分析的結(jié)論

9、和定理.分析學(xué)東西很多，雖然都很精彩但理解起來總突然感覺自己原來還是很多不清楚對于咱們工程應(yīng)用更是接觸的少，比如隨機(jī)過程就算搞的再熟，也不過就是多了幾種建模方法而已，什么排隊論啥的而已當(dāng)一旦發(fā)現(xiàn)如果A是X的一個simga環(huán)，（A，X）構(gòu)成一個可測空間，uX=1,時可測集變成了隨機(jī)事件，而(A,X)才構(gòu)成了概率可測空間時，才發(fā)現(xiàn)我們學(xué)很多東西是忽略的東西更多.(vole)A32:如果要從泛函的角度討論的話，那么數(shù)學(xué)分析里一些最困難的問題都會歸結(jié)到傅立葉分析（或者調(diào)和分析）上。工程上，大部分時候都是以“拿來主義”的態(tài)度，數(shù)學(xué)家列個表格傅立葉變換，工程師直接用就是了。但是如果真的要從定義出發(fā)，很多非

10、常常用的函數(shù)，就很難做傅立葉變換。比如沖擊信號，階躍信號，或者高斯分布，要嚴(yán)格的定義的話，需要用泛函的知識。前面的討論就是這些知識的基礎(chǔ)。當(dāng)然如果不研究數(shù)學(xué)，并不影響任何人用這些結(jié)論。理解傅立葉變換基本的性質(zhì)，稍微看一些調(diào)和分析，泛函的書（如果你覺得有必要知道那些列表是怎么來的），多想想為什么要用卷積來描述系統(tǒng)對信號的響應(yīng)（對卷積的理解很可能是最重要的），這些基本問題個人認(rèn)為是核心。而且可以看到，同樣是傅立葉分析，大家的討論卻是大相徑庭，有從estimation的角度，有從純數(shù)學(xué)的角度，等等。這也能說明這個理論的重要，和它廣泛的應(yīng)用。(valetine)A33：說到Entropy，剛好正在寫一

11、點(diǎn)東西。忍不住再說兩句。盡量用大白話說。同一個信號，可以通過各種基底B和系數(shù)c的表達(dá)。比如我們可以算H(c)，那么這個熵實(shí)際上就表達(dá)了待表達(dá)信號與基底的相似性?；蛘咭部梢哉f，是用那個基底來表達(dá)這個待表達(dá)信號的復(fù)雜程度。如果直接對原信號x求H(x)，那實(shí)際上默認(rèn)了基底是I，如果用Fourier Basis來求，那么默認(rèn)了基底是exp(i omega t)。但是如果用Fourier基底表達(dá)大白紙上一個小黑塊兒，顯然就沒有用空域直接表達(dá)來得方便。同理，如果在時域表達(dá)一個和弦信號，就不如Fourier更好地表述了其內(nèi)蘊(yùn)的物理模型?？偨Y(jié)一下：從Entropy的角度，我們可以看出在某種表達(dá)的復(fù)雜程度，盡量

12、選擇那些有物理背景的表達(dá)，會使得分析的難度大大簡化。具體地說，通訊里面信息很多是承載在周期變化的物理模型上的，對于波的分析，自然Fourier會有一定優(yōu)越性了。（filestorm）Q4:談?wù)劸矸e（valetine）1，卷積本身是一個理論的，convolution calculus。 剛開始學(xué)信號系統(tǒng)的話，一般總會對這個操作感到奇怪， 比如信號 f(x), LTI系統(tǒng)沖擊響應(yīng) g(x) 為什么一個LTI系統(tǒng)對信號的響應(yīng)是 f(x)和g(x) 的卷積？而且什么是卷積呢？ 要比較讓人滿意的理解這個問題，一般是需要一點(diǎn)數(shù)學(xué)知識的。 稍微離點(diǎn)題，一般的

13、說，函數(shù)可以理解為把一些點(diǎn)映射到另一些點(diǎn)上的操作， 如果我們現(xiàn)在要建立一個操作，可以把一些函數(shù)映射到另一些函數(shù)上，我們說這個操作是operator. 一個簡單的對函數(shù)的操作， 可以是微分 df(x)/dx，積分 int f(x)，等等. 那么系統(tǒng)就是一個operator L，輸入一個信號 f(x)，輸出一個信號 u(x)。表示成L( f(x) ) = u(x) 現(xiàn)在想象一個LTI離散系統(tǒng)，我們放入一個沖擊 delta(x)，系統(tǒng)輸出信號 g(x), 如果我們把輸入信號分解成很多 c(t) delta(x-t)的和，c(t)表示信號在某個時間的大

14、?。ㄈ绻菑?fù)數(shù)的話，還有相位），t表示延遲的多少，那么因?yàn)槭蔷€性系統(tǒng)，我們可以把輸出疊加，而且是非時變系統(tǒng)，所以每個 delta(x) 的響應(yīng)僅僅是時間上的延遲。 所以輸出的結(jié)果就是  sum c(t) g(x-t) 就是所謂的離散和的形式。同樣的道理，如果系統(tǒng)是連續(xù)的，那么這個和的形式就變成積分。我們稱為卷積。2,現(xiàn)在我們試圖來解釋， 為什么傅立葉變換后，時域上的卷積，變成頻域上的乘積？ 當(dāng)然我們可以從定義出發(fā)，做 f(x) * g(x) 的傅立葉變換，然后換變量，就可以分成 F(jw) 和 G(jw) 的乘積。 但是這個基本上是做數(shù)學(xué)游戲，

15、不是讓人覺得滿意。 現(xiàn)在我們換個角度來考慮。首先要我們需要LTI系統(tǒng)的一個性質(zhì)，頻率響應(yīng)。 簡單的說，一個LTI系統(tǒng)對于正弦信號的輸出，也是一個正弦信號，而且信號的周期不變，變換的是信號的幅度和相位。這個特點(diǎn)本質(zhì)上是因?yàn)?ejwx 是微分算子的特征方程，就是說對 ejwx 求導(dǎo)以后，還是它本身，變化的僅僅是幅度和相位。 d ejwx / dx  = jw ejwx從這里自然就會展開去很多概念，比如傳輸方程，特征根等等。 然后我們來考慮 函數(shù) f(x) = ejnx, n 是自然數(shù)這個函數(shù)周期為 2 pi/n.  而且有一個非常重要的性

16、質(zhì)就是，ejnx，ejmx 在 0,2pi) 上的積分滿足 int ejnx e-jmx = 0 , 如果 n 不等于 m; int ejnx e-jmx = 0 ，如果 n=m。 我們稱這個性質(zhì)為函數(shù)垂直。我們可以把自然數(shù)擴(kuò)展到所有實(shí)數(shù)，積分從0,2pi)擴(kuò)展到(-inf, +inf)，那么 ejwx w 屬于實(shí)數(shù), 構(gòu)成一個垂直的坐標(biāo)系。 最后我們考慮傅立葉變換。 F(jw) = int f(x) ejwx dx 有了垂直坐標(biāo)系的概念后，我們可以把傅立葉變換理解為一個函數(shù)在不同特征方程的分量。 比如說，f(x)

17、 = cos(x), 一個周期 2pi 的信號，那么 F(jw) 就是兩個在 -1 和 +1 的沖擊。之所以我們把信號放在頻域里，就是因?yàn)椴煌l率的信號，它們相對與一個內(nèi)積（這里的內(nèi)積就是以上的積分）是垂直的。 有了以上的概念以后，就可以理解卷積定理了。3,有了特征方程垂直的概念后，我們來看卷積定理。首先我們做傅立葉變換，把信號 f(x) 分解到不同的特征方程 ejwx上。對于確定的 w，F(xiàn)(jw) 就是這個數(shù)，表示 f(x) 在ejwx上的分量。然后我們讓 w 變化，于是 F(jw) 是一個函數(shù)，我們稱它為 f(x) 的頻譜。前面提到LTI系統(tǒng)的頻響，輸入 ejwx， 輸出 g(jw) ejwx,變化的是幅度和相位，這些信息都包含在系數(shù) g(jw) 中。 現(xiàn)在我們讓 w 變化，可以測出系統(tǒng)的頻響 G(jw)，到此為止，我們已經(jīng)把 f(x) 分解，又得到系統(tǒng)頻響，那么運(yùn)用疊加的性質(zhì)， 線性系統(tǒng)的輸出很自然就是    G(jw) F(jw)最后鳴謝所有八系學(xué)長無私奉獻(xiàn)自己的心得，這種心得是比什么書上的證明都更珍貴的。-  有兩樣?xùn)|西，我們愈加持久的加以思索，他們就愈使心靈充滿日新又新，有加無已的景仰和敬畏在我們頭上的燦爛星辰和在我們心中的道德法則，我毋需尋求它們或僅僅推測它們，仿佛