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1、利用軸對稱變換求最小值專題輔導(dǎo)及易錯試題精選專練從“利用軸對稱性質(zhì)求最小值”問題入手,挖掘課本資源、注重多題一解、培養(yǎng)知識遷移能力,以此來拋磚引玉,希望同學(xué)們認(rèn)真思考。(一)、課本原型:(七年級下冊第196頁)如圖(1)所示,要在街道旁修建一個奶站,向居民區(qū)A、B提供牛奶,奶站應(yīng)建在什么地方,才能使從A,B到它的距離之和最短?解:如圖(2),只要畫出A點關(guān)于直線L的對稱點C,連結(jié)BC交直線L于P,則P點就是所求。這時PA+PB=PC+PB為最小,(因為兩點之間線段最短)。·A·B街道·A·B街道·AP圖(1)圖(2)圖(2)·A
2、83;B街道·APP1(證明:如圖(2),在L上任取一點P1,連結(jié)P1A,P1B,P1C,因為P1A+P1B=P1C+P1B>BC=PA+PB。這是根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,所以結(jié)論成立。)(二)應(yīng)用和延伸:例1、(七年級作業(yè)本題)如圖(3),AOB內(nèi)有一點P,在OA和OB邊上分別找出M、N,使PMN的周長最小。解:如圖(4),只要畫出P點關(guān)于OB、OA的對稱點P1,P2 ,連結(jié)P1、P2交OB、OA于M、N,此時PMN的周長PM+PN+MN=P1P2為最小。(證明略)BOA·P圖(3)BOA·P圖(4)·P1·P2MN(三)、遷移和
3、拓展:例1、如圖(5),在菱形ABCD中,AB=4a,E在BC上,EC=2a,BAD=1200,點P在BD上,則PE+PC的最小值是( )(A) 6a , (B) 5a , (C) 4a , (D) 2a 。例2、如圖(7),在直角坐標(biāo)系XOY中,X軸上的動點M(X,0)到定點P(5,5)和到Q(2,1)的距離分別為MP和MQ,那么當(dāng)MP+MQ取最小值時,點M的橫坐標(biāo)X=。圖(8)圖(7)(四)、思考與練習(xí):1、如圖(10),AOB=450,角內(nèi)有一點P,PO=10,在角兩邊上有兩點Q、R(均不同于點O),則PQR的周長最小值是 。(提示:畫點P關(guān)于OA的對稱點P1,點P關(guān)于OB的對稱點P2, AOB=450,P1OP2是等腰直角三角形,P1P2=10)。又問當(dāng)PQR周長最小時,QPR的度數(shù)= 。(1000)。 6、如圖(14),正方形ABCD的邊長為3,E在BC上,且BE=2,P在BD上,求PE+PC的最小值。(與知識拓展例1類似,因為點C和點A關(guān)于直線BD對稱,所以AE是PC+PE的最小值,這個值為)。 8、(溫州2001年中考題)如圖(16),AB是O的直徑,AB=2,OC是O的半徑,OCAB,點D在上,=2,點P是半徑OC上一個動點,那么AP+PD的最小值是 。(只要找出點
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