第十章動量矩定理

1、1轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量4質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理第十章第十章 動量矩定理動量矩定理2質(zhì)點(diǎn)系的動量矩質(zhì)點(diǎn)系的動量矩3剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程5剛體平面運(yùn)動微分方程剛體平面運(yùn)動微分方程質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系動量定理：動量定理：動量的改變動量的改變外力（外力系主矢）外力（外力系主矢） 若當(dāng)質(zhì)心為固定軸上一點(diǎn)時，若當(dāng)質(zhì)心為固定軸上一點(diǎn)時，v vC C=0=0，則其動量恒等于零，則其動量恒等于零，質(zhì)心無運(yùn)動，可是質(zhì)點(diǎn)系卻受外力的作用。質(zhì)心無運(yùn)動，可是質(zhì)點(diǎn)系卻受外力的作用。動量矩定理建立了動量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對于某固定點(diǎn)（固定軸）的動量矩的改變與外質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對于某固定點(diǎn)

2、（固定軸）的動量矩的改變與外力對同一點(diǎn)（軸）之矩兩者之間的關(guān)系。力對同一點(diǎn)（軸）之矩兩者之間的關(guān)系。質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心運(yùn)動定理：質(zhì)心的運(yùn)動變化質(zhì)心的運(yùn)動變化外力（外力系主矢）外力（外力系主矢）10-1 10-1 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量一定義一定義：OxyzirlixiyizyihxihzihiMi2iilmJ剛體對坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量 )yz(mJiiix22 )xz(mJiiiy22 )xy(mJiiiz22 )zyx(mrmJiiiiii22220)JJJzyx （21若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則2Oi iJm r 2OmJr dm 剛

3、體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體對某軸轉(zhuǎn)動慣性大小的度量，它的剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體對某軸轉(zhuǎn)動慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的難易程度。大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的難易程度。 轉(zhuǎn)動慣量恒為正值，國際單位制中單位轉(zhuǎn)動慣量恒為正值，國際單位制中單位kgkgm m2 2 。二轉(zhuǎn)動慣量的計算二轉(zhuǎn)動慣量的計算 1. 1. 簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量計算簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量計算(1)(1)均質(zhì)細(xì)直桿對一端的轉(zhuǎn)動慣量均質(zhì)細(xì)直桿對一端的轉(zhuǎn)動慣量 3d320lxxJlllz231mlJzlml由由 ，得，得2zmJr dm 420224ROAARJ(rr r ) d222mRmRRmJiiz（2 2）均質(zhì)薄圓環(huán)對

4、中心軸的轉(zhuǎn)動慣量）均質(zhì)薄圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量Aiiirrmd2（3 3）均質(zhì)圓板對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量）均質(zhì)圓板對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量2RmA式中式中：212OJmR 或或2. 2. 回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑由所定義的長度由所定義的長度 稱為剛體對稱為剛體對 z z 軸的回轉(zhuǎn)半徑。軸的回轉(zhuǎn)半徑。zJm z2zzJm 對于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。對對于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。對于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。轉(zhuǎn)半徑是相同的。z 在機(jī)械工程設(shè)計手冊中，可以查閱到簡單幾何形狀或已在機(jī)械工程設(shè)計手

5、冊中，可以查閱到簡單幾何形狀或已標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)剛體的，以供參考。剛體的，以供參考。zzJ 和和3. 3. 平行移軸定理平行移軸定理同一個剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量一般是不相同的。同一個剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量一般是不相同的。2zzCJJmd 剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過質(zhì)心且與該軸平行的剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。222zCi iiiiJm rm ( xy) 222zi

6、iiiiJm r m ( x y ) 2222iiiiiim ( xy)(m )ddm y 證明證明：設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m m 的剛體，質(zhì)心為的剛體，質(zhì)心為C C，CzzO/ )( , 22dyxmJdyyxxiiiziiiiQ20iiiCzzCmm , m ymy JJmd Q剛體對通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量具有最小值剛體對通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量具有最小值。例例1：均質(zhì)細(xì)直桿，已知：均質(zhì)細(xì)直桿，已知 .m,lCz求：對過質(zhì)心且垂直于桿的求：對過質(zhì)心且垂直于桿的 軸的轉(zhuǎn)動慣量。軸的轉(zhuǎn)動慣量。z 對一端的對一端的 軸，有軸，有解：解：231mlJz22212zCzlmlJJm()則則當(dāng)物體由幾個幾何形狀規(guī)

7、則的物體組成時，可先計算每一部當(dāng)物體由幾個幾何形狀規(guī)則的物體組成時，可先計算每一部分的轉(zhuǎn)動慣量分的轉(zhuǎn)動慣量, , 然后再加起來然后再加起來, ,就是整個物體的轉(zhuǎn)動慣量。就是整個物體的轉(zhuǎn)動慣量。 若若物體有空心部分物體有空心部分, , 要把此部分的轉(zhuǎn)動慣量視為負(fù)值來處理。要把此部分的轉(zhuǎn)動慣量視為負(fù)值來處理。4 4計算轉(zhuǎn)動慣量的組合法計算轉(zhuǎn)動慣量的組合法OOOJJJ 桿桿盤盤2221221132m lm Rm (lR)222121132432m lm ( RllR ) 解：解： 例例22 鐘擺：鐘擺： 均質(zhì)直桿均質(zhì)直桿m m1 1, ,l l ； 均質(zhì)圓盤：均質(zhì)圓盤：m m2 2 , , R R

8、。 求求 J JO O 。5 5實驗法實驗法O例：求對例：求對 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量.將曲柄懸掛在軸將曲柄懸掛在軸 O上，作微幅擺動上，作微幅擺動. .2JTmgl 由由其中其中 已知已知, 可測得，從而求得可測得，從而求得 .m,lTJ解解：6. 6. 查表法查表法均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量薄壁圓薄壁圓筒筒細(xì)直桿細(xì)直桿體積體積慣性半徑慣性半徑轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量簡簡 圖圖物體的物體的形狀形狀212CzmJl 23zmJl 2 3Czl 3zl 2zJmR zR 2 Rlh 薄壁空薄壁空心球心球空心空心圓柱圓柱圓柱圓柱22212312ZxyJmRJJm( Rl ) 2221312zx

9、yR( Rl ) lR2222zmJ( Rr )2212z( Rr ) 22l( Rr ) 223zJmR 23zR 32Rh 圓環(huán)圓環(huán)圓錐體圓錐體實心球?qū)嵭那?25ZJmR 25zR 334R 2223103480ZxyJmrJJm( rl ) 223103480zxyr( rl ) 23r l 2234ZJm( Rr )2234zRr 222r R 矩形矩形薄板薄板長方體長方體橢圓形橢圓形薄板薄板2222444ZyymJ(ab )mJamJb 221222zxyabab abh222222121212ZyymJ(ab )mJ(ac )mJ(bc )222222112112112zxy(ab

10、 )(ac )(bc ) abc2222121212ZyymJ(ab )mJamJb 221120 2890 289zxy(ab ).a.b abh10-2 10-2 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩一、質(zhì)點(diǎn)的動量矩一、質(zhì)點(diǎn)的動量矩對點(diǎn)對點(diǎn)O的動量矩的動量矩()OMmvrmv對對 z z 軸的動量矩軸的動量矩()()zOxyMmvMmv 代數(shù)量代數(shù)量,從從 z 軸正向看軸正向看, 逆時針為正逆時針為正,順時針為順時針為 負(fù)負(fù).()()OzzMmvMmv1()nOOiiiLMmv 1()nzziiiLMmv 單位單位:kgm2/s 二、質(zhì)點(diǎn)系的動量矩二、質(zhì)點(diǎn)系的動量矩 對點(diǎn)的動量矩對點(diǎn)的

11、動量矩 對軸的動量矩對軸的動量矩OzzLLOxyzLL iL jL k 即即 iiiiizzrvmvmML)(2ii ii izmrrm rJ （1 1） 剛體平移剛體平移.可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心,作為一個質(zhì)點(diǎn)來計算作為一個質(zhì)點(diǎn)來計算.()zzCLMmv()OOCLMmv,（2 2） 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動剛體繞定軸轉(zhuǎn)動（3 3） 剛體做平面運(yùn)動剛體做平面運(yùn)動zzCCLm (mv )J 平面運(yùn)動剛體對垂直于平面運(yùn)動剛體對垂直于質(zhì)量對稱平面質(zhì)量對稱平面的固定軸的的固定軸的動量矩，等于動量矩，等于剛體隨同質(zhì)心作平動時質(zhì)心的剛體隨同質(zhì)心作平動時質(zhì)心的動量對該軸的動量矩動量對該軸的動量矩

12、與與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動時的動量矩繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動時的動量矩之和。之和。32221112vvRR 1223232222OJJL(mm )R vRROCOBOAOLLLL 1122222332J( Jm v R )m v R 解解： 例例33 滑輪滑輪A A：m m1 1，R R1 1，R R1 1=2=2R R2 2，J J1 1 滑輪滑輪B B：m m2 2，R R2 2，J J2 2 ；物體；物體C C：m m3 3 求系統(tǒng)對求系統(tǒng)對O O軸的動量矩。軸的動量矩。dd()()ddOMmvrmvttdd()ddrmvrmvtt 10-3 10-3 質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理 一、質(zhì)點(diǎn)的動量矩定

13、理一、質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理設(shè)設(shè)O為定點(diǎn)為定點(diǎn),有有0vmvd()dmvFt其中其中:ddrvt （O為定點(diǎn)）為定點(diǎn)）d()( )dxxMmvMFtd()( )dyyMmvMFtd()( )dzzMmvMFt投影式投影式:d()( )dOOMmvMFt因此因此 稱為稱為質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理:質(zhì)點(diǎn)對某定點(diǎn)的動量矩對質(zhì)點(diǎn)對某定點(diǎn)的動量矩對時間的時間的一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù),等于作用力對同一點(diǎn)的矩等于作用力對同一點(diǎn)的矩.ddd()()dddOOi iOi iLMmvMmvttt( )d()deOOiLMFt 得得稱為稱為質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理:質(zhì)點(diǎn)系對某定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對某定點(diǎn)O的動量矩對的

14、動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)時間的導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對于同一點(diǎn)的矩的等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對于同一點(diǎn)的矩的矢量和矢量和.( )( )d()()()dieOiiOiOiMmvMFMFt( )( )d()()()dieOi iOiOiMmvMFMFt 二、二、 質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理 由于由于 ( )()0iOiMF( )d()dexxiLMFt ( )d()dyeyiLMFt 投影式投影式:( )d()dezziLMFt 內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動量矩內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動量矩.RmgMMeOsin)(RmgMmvRJtsindd22sinmRJmgRMRa例例4 4 已知：已知： ,

15、 ,小車不計摩擦小車不計摩擦. .,MJRma求求:小車的加速度小車的加速度 .RvmJLO解解:Rvatvdd由由 , ， 得得例例5 5：已知：已知 , , , , , , , , , , , ,不計摩擦不計摩擦. .mOJ1m2m1r2r求求: :（1 1）NF （2 2）O處約束力處約束力 （3 3）繩索張力繩索張力 ，1TF2TF)(222211rmrmJO222111rvmrvmJLOO解：解：(1)(1)( )1 12 2()()eOMFm rm r g2222112211)(ddrmrmJgrmrmtO 由由 ,得得( )d()deOOLMFt （2）由質(zhì)心運(yùn)動定理由質(zhì)心運(yùn)動定

16、理CyNammmgmmmF)()(2121212211212211)(mmmrmrmmmmamammymyaiiiCCy 111111rmamFgmT)(111rgmFT)()(221121rmrmgmmmFN （3） 研究研究1m222222rmamgmFT)(222rgmFT2m（4）研究研究三、三、質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理1 1對質(zhì)心的動量矩對質(zhì)心的動量矩CCiiiiiLMmvrmv(0)i iCmrrm 因有有CiiirLrmv由于由于iCirvvvCiiCiiirLrmvrmv得得( )0iiCiiCrmvmrv其中其中即：即：無論是以相對速度或以絕對

17、速度計算質(zhì)點(diǎn)系對于無論是以相對速度或以絕對速度計算質(zhì)點(diǎn)系對于 質(zhì)心的動量矩其結(jié)果相同質(zhì)心的動量矩其結(jié)果相同.OCiiiCiiiiiLrrmvrmvrmv,iiCiiiCmvm vrmvLOCCCLrmvLOCCMmvL對任一點(diǎn)對任一點(diǎn)O的動量矩：的動量矩： ddddeOCCCiiLrmvLrFtt2 2 相對質(zhì)心的動量矩定理相對質(zhì)心的動量矩定理 eeCiiirFrFdd,0ddCCCCrrvmvtt由于由于ddddddCCCCCrLmvrmvttt即即 ddeCCCirmvrFt eeCiCirFrF質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理: 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩質(zhì)點(diǎn)系相對

18、于質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對質(zhì)心的主矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對質(zhì)心的主矩. ddeCiiLrFt得得 d()deCCiLMFt或或四、動量矩守恒定律四、動量矩守恒定律若若 , ( )()0eOMF若若 , 則則 常量。常量。( )()0ezMFzL OL 則則 常矢量；常矢量； 質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理說明內(nèi)力不會改變質(zhì)點(diǎn)系的動量矩，只質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理說明內(nèi)力不會改變質(zhì)點(diǎn)系的動量矩，只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動量矩。有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動量矩。解解: 取整個系統(tǒng)為研究對象，取整個系統(tǒng)為研究對象， 受力分析如圖示。受力分析如圖示。 運(yùn)動分析：運(yùn)動分析： v v =

19、= rPPrPrPMBABAeO)()(ABOOPPLv rv rJgg 22122OOABPrPJr , L( PP)gg 將將代代入入得得由動量矩定理：由動量矩定理：22ABABdrP( PP)( PP )rdtg 2ABABPPdgdtrPPP / 例例6 已知已知: : ABPP ; P ; r 。求求。解解： 系統(tǒng)的動量矩守恒。系統(tǒng)的動量矩守恒。0(e)Om (F) , 0AABAm v rm (vv )r 2Avv 猴猴A A與猴與猴B B向上的絕對速度是一樣的向上的絕對速度是一樣的, ,均為均為 。2v例例7 已知：猴子已知：猴子A A重重 = = 猴子猴子B B重，猴重，猴B

20、B以相對繩速度以相對繩速度上爬，猴上爬，猴A A不動，問當(dāng)猴不動，問當(dāng)猴B B向上爬時，猴向上爬時，猴A A將如何動？將如何動？動的速度多大？（輪重不計）動的速度多大？（輪重不計）v 10-410-4剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程對于對于一個定軸轉(zhuǎn)動剛體一個定軸轉(zhuǎn)動剛體代入質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理，有代入質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理，有zzLJ zzd(J)M (F )dt d( )dzzJMFt 即即:( )zzJMF 或或22d( )dzzJMFt 或或轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動微分微分方程方程 特殊情況特殊情況： 若若 , ,則則 恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)動恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)動或保持靜止?；虮３朱o止。 若若 常量，則常量

21、，則 = = 常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動。常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動。將將 與與 比較，剛體的轉(zhuǎn)動慣量比較，剛體的轉(zhuǎn)動慣量 是剛是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量。體轉(zhuǎn)動慣性的度量。0(e)(e)zzMm (F) , 0( e )zM ( e )zzJM maF zJ解決兩類問題解決兩類問題：已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律。已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律。已知剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。已知剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束反力，需用質(zhì)心運(yùn)動定理求解。但不能求出軸承處的約束反力，需用質(zhì)心運(yùn)動定理求解。 例例8: 已知已知: ，求，求 .12, ,R J

22、 F FRFFJ)(21JRFF)(21解解:求微小擺動的周期求微小擺動的周期 .例例9 ： 物理擺（復(fù)擺），已知物理擺（復(fù)擺），已知 ，aJmO,22dsindOJmgat 解解：sin微小擺動時，微小擺動時，mgatJO22dd0dd22OJmgat即即：)sin(tJmgaOO通解為通解為 稱稱角振幅角振幅， 稱稱初相位初相位，由初始條件確定，由初始條件確定.OmgaJTO2周期周期求：制動所需時間求：制動所需時間 .t例例10： 已知：已知： ，動滑動摩擦系數(shù)，動滑動摩擦系數(shù) ，RFJNO,0f000ddtONJfF R t0ONJtfF RddONJFRf F Rt解解：例例11 提

23、升裝置中，輪提升裝置中，輪A、B的重量分別為的重量分別為P1 、 P2 ,半徑分別半徑分別為為 r1 、 r2 , 可視為均質(zhì)圓盤可視為均質(zhì)圓盤; 物體物體C 的重的重量為量為P3 ; 輪輪A上作用常力矩上作用常力矩M1 。求求 物體物體C上升的加速度。上升的加速度。取輪取輪B連同物體連同物體C為研究對象為研究對象23222223212PPd(rvr )TrP r (2)dtgg 21111112PrMTr (1)g 解解: 取輪取輪A為研究對象為研究對象補(bǔ)充運(yùn)動學(xué)條件補(bǔ)充運(yùn)動學(xué)條件22221 1rv, rar化簡化簡(1) 得：得：化簡化簡(2) 得：得：23322PPaTPg 1112PM

24、aTgr 11312322M / rPagPPP 【例【例1212】均質(zhì)直桿】均質(zhì)直桿AB和和OD, ,長度都是長度都是l，質(zhì)量均為，質(zhì)量均為m，垂直，垂直地固接成丁字形地固接成丁字形, ,且且D為為AB的中點(diǎn)，如圖所示。此丁字桿可的中點(diǎn)，如圖所示。此丁字桿可繞過點(diǎn)繞過點(diǎn)O的固定軸轉(zhuǎn)動，開始時的固定軸轉(zhuǎn)動，開始時OD段靜止于水平位置。求段靜止于水平位置。求桿轉(zhuǎn)過桿轉(zhuǎn)過 角時的角速度和角加速度。角時的角速度和角加速度。 A OxF OyF O gm2 D B C A OxF OyF O gm2 D B C ( )OOiJM F 解：選丁字桿為研究對象，進(jìn)行受力分析。如圖所示。解：選丁字桿為研究對

25、象，進(jìn)行受力分析。如圖所示。應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程，有應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程，有 由平行移軸定理，有由平行移軸定理，有 2222121712131mlmlmlmlJO質(zhì)心質(zhì)心C到轉(zhuǎn)軸到轉(zhuǎn)軸O的距離為的距離為OC=3l/4。故有。故有cos23cos432)(mgllmgMOF將以上兩式代入剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程得將以上兩式代入剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程得 cos2312172mglml解得桿的角加速度為解得桿的角加速度為 cos1718lg ddddddt剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程可寫為剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程可寫為dcos1718dlg兩邊積分，并利用初始條件，可得兩邊積分，并利用初始條件，可得 0 01

26、8dcosd17gl 解得桿的角速度解得桿的角速度為為 lg17sin6 A OxF OyF O gm2 D B C 一、剛體平面運(yùn)動微分方程一、剛體平面運(yùn)動微分方程 設(shè)有一平面運(yùn)動剛體具有質(zhì)量對稱平面，力系設(shè)有一平面運(yùn)動剛體具有質(zhì)量對稱平面，力系可以簡化為該平面內(nèi)的一個力系。取質(zhì)量對稱平面為平面圖形可以簡化為該平面內(nèi)的一個力系。取質(zhì)量對稱平面為平面圖形S，質(zhì)心一定位于質(zhì)心一定位于S內(nèi)。內(nèi)。12nF ,F ,F 取質(zhì)心取質(zhì)心C為動系原點(diǎn)，則此平面運(yùn)動可分解為為動系原點(diǎn)，則此平面運(yùn)動可分解為 隨質(zhì)心隨質(zhì)心C的平動的平動 (xC , yC) 繞質(zhì)心繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動 （ ）可通過質(zhì)心運(yùn)動定理和相

27、對質(zhì)心的動量可通過質(zhì)心運(yùn)動定理和相對質(zhì)心的動量矩定理來確定。矩定理來確定。10-5 剛體平面運(yùn)動微分方程剛體平面運(yùn)動微分方程寫成寫成投影形式投影形式( e )C xixC yiyCCmaF , maF , J m (F) 或或( e )CixCiyCCmxF , myF , J m (F) 上式稱為上式稱為平面運(yùn)動微分方程平面運(yùn)動微分方程。(e )CCC maF , Jm (F) C rC rCCCdLLJ , J Jdt Q 例例13 13 半徑為半徑為r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m 的均質(zhì)圓輪沿水平直線的均質(zhì)圓輪沿水平直線滾動，如圖所示滾動，如圖所示. .設(shè)輪的慣性半徑為設(shè)輪的慣性半徑為 ，作用于輪

28、的力，作用于輪的力偶矩為偶矩為M. .求輪心的加速度求輪心的加速度. .如果圓輪對地面的滑動摩擦如果圓輪對地面的滑動摩擦因數(shù)為因數(shù)為fs，問力偶，問力偶M必須符合什么條件不致使圓輪滑動必須符合什么條件不致使圓輪滑動? ?CM解解：FrMmmgFmaFmaCNCyCx2其中其中raaaaCCCxCy, 0得得mgFmaFrrFMrmMraNCCCC,2222純滾動的條件純滾動的條件：NsFfF 即即rrmgfMCs22 例例14 均質(zhì)圓輪半徑為均質(zhì)圓輪半徑為r質(zhì)量為質(zhì)量為m ， 受到輕微擾動，半徑為受到輕微擾動，半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在的圓弧上往復(fù)滾動，如圖所

29、示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動滾動時無滑動. 求求:質(zhì)心質(zhì)心C的運(yùn)動規(guī)律。的運(yùn)動規(guī)律。ratC由于由于21, sin2tCCaSJmr很小解解:sinmgFmatCCJFr cos2mgFrRvmNCrRs其解為其解為)sin(00tss式中式中rRg3220運(yùn)動方程為運(yùn)動方程為trRggrRvs32sin230grRvs23,000得得0dd2322srRgts得得0t由由 時時, 00vss O r r A B 【例【例1515】均質(zhì)圓柱體】均質(zhì)圓柱體A和和B的重量均為的重量均為P，半徑均為，半徑均為r，一繩，一繩纏在繞固定軸纏在繞固定軸O轉(zhuǎn)動的圓柱體轉(zhuǎn)動的圓柱體A上，繩的另一端

30、繞在圓柱體上，繩的另一端繞在圓柱體B上，如圖所示。不計摩擦及繩子自重。求：上，如圖所示。不計摩擦及繩子自重。求：(1) (1) 圓柱體圓柱體B下降時質(zhì)心的加速度；下降時質(zhì)心的加速度；(2) (2) 若在圓柱體若在圓柱體A上作用一逆時針上作用一逆時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩M，試問在什么條件下圓柱體，試問在什么條件下圓柱體B的質(zhì)心將上升。的質(zhì)心將上升。 B P B T F Ba C O A O yF P A O xF TF 解：分別取輪解：分別取輪A和和B為研究對象，為研究對象，受力如圖所示。輪受力如圖所示。輪A做定軸轉(zhuǎn)動，做定軸轉(zhuǎn)動，輪輪B做平面運(yùn)動。對輪做平面運(yùn)動。對輪A應(yīng)用剛體應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程，有定軸轉(zhuǎn)