高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)53平面向量的數(shù)量積教案理新人教A

1、§5.3平面向量的數(shù)量積2014高考會(huì)這樣考1.考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的求法；2.利用兩個(gè)向量的數(shù)量積求向量的夾角、向量的模；3.利用兩個(gè)向量的數(shù)量積證明兩個(gè)向量垂直復(fù)習(xí)備考要這樣做1.理解數(shù)量積的意義，掌握求數(shù)量積的各種方法；2.理解數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)；3.利用數(shù)量積解決向量的幾何問(wèn)題1 平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b|a|b|cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_0_.兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是a·b0，兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是a·b±

2、;|a|b|.2 平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積3 平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)(1)e·aa·e|a|cos ；(2)非零向量a，b，aba·b0；(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b|a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b|a|b|，a·aa2，|a|；(4)cos ；(5)|a·b|_|a|b|.4 平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律(1)a·bb·a(交換律)；(2)(a)·b(a·b)a·(b)(為實(shí)數(shù))；(3)(a

3、b)·ca·cb·c.5 平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，則|a|2x2y2或|a|.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點(diǎn)間的距離|AB|.(3)設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y20.難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角的余弦值有關(guān)，在運(yùn)用向量的數(shù)量積解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍2 a·b>0是兩個(gè)向

4、量a·b夾角為銳角的必要不充分條件因?yàn)槿鬭，b0，則a·b>0，而a，b夾角不是銳角；另外還要注意區(qū)分ABC中，、的夾角與角B的關(guān)系3 計(jì)算數(shù)量積時(shí)利用數(shù)量積的幾何意義是一種重要方法1 已知向量a和向量b的夾角為135°，|a|2，|b|3，則向量a和向量b的數(shù)量積a·b_.答案3解析a·b|a|b|cos 135°2×3×3.2 已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b與ab垂直，則實(shí)數(shù)的值為_答案解析由ab知a·b0.又3a2b與ab垂直，(3a2b)·(ab)3a22b23×

5、;222×320.3 已知a(2,3)，b(4,7)，則a在b方向上的投影為_答案解析設(shè)a和b的夾角為，|a|cos |a|.4 (2011·遼寧)已知向量a(2,1)，b(1，k)，a·(2ab)0，則k等于()A12 B6 C6 D12答案D解析由已知得a·(2ab)2a2a·b2(41)(2k)0，k12.5 (2012·陜西)設(shè)向量a(1，cos )與b(1,2cos )垂直，則cos 2等于 ()A. B. C0 D1答案C解析利用向量垂直及倍角公式求解a(1，cos )，b(1,2cos )ab，a·b12cos

6、20，cos2，cos 22cos21110.題型一平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算例1(1)在RtABC中，C90°，AC4，則·等于()A16 B8 C8 D16(2)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，滿足條件(8ab)·c30，則x等于()A6 B5 C4 D3思維啟迪：(1)由于C90°，因此選向量，為基底(2)先算出8ab，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出x.答案(1)D(2)C解析(1)·()·()·16.(2)a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3)又(8ab)·c30，

7、(6,3)·(3，x)183x30.x4.探究提高求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義本題從不同角度創(chuàng)造性地解題，充分利用了已知條件(2012·北京)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為_；·的最大值為_答案11解析方法一以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，則E(t,0)，t0,1，則(t，1)，(0，1)，所以·(t，1)·(0，1)1.因?yàn)?1,0)，所以·(t，1)

8、3;(1,0)t1，故·的最大值為1.方法二由圖知，無(wú)論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，在方向上的投影都是CB1，·|·11，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影最大即為DC1，(·)max|·11.題型二向量的夾角與向量的模例2已知|a|4，|b|3，(2a3b)·(2ab)61，(1)求a與b的夾角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面積思維啟迪：運(yùn)用數(shù)量積的定義和|a|.解(1)(2a3b)·(2ab)61，4|a|24a·b3|b|261.又|a|4，|b|3，644a·b2761，a·b6.co

9、s .又0，.(2)可先平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積|ab|2(ab)2|a|22a·b|b|2422×(6)3213，|ab|.(3)與的夾角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC×4×3×3.探究提高(1)在數(shù)量積的基本運(yùn)算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對(duì)|a|要引起足夠重視，它是求距離常用的公式(2)要注意向量運(yùn)算律與實(shí)數(shù)運(yùn)算律的區(qū)別和聯(lián)系在向量的運(yùn)算中，靈活運(yùn)用運(yùn)算律，達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的 (1)已知向量a、b滿足|a|1，|b|4，且a·b2，則a與b的夾角為()A. B. C. D.(2)已知向量a

10、(1，)，b(1,0)，則|a2b|等于()A1 B. C2 D4答案(1)C(2)C解析(1)cosa，b，a，b.(2)|a2b|2a24a·b4b244×144，|a2b|2.題型三向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用例3已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0<<<)(1)求證：ab與ab互相垂直；(2)若kab與akb的模相等，求.(其中k為非零實(shí)數(shù))思維啟迪：(1)證明兩向量互相垂直，轉(zhuǎn)化為計(jì)算這兩個(gè)向量的數(shù)量積問(wèn)題，數(shù)量積為零即得證(2)由模相等，列等式、化簡(jiǎn)(1)證明(ab)·(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)

11、(cos2sin2)0，ab與ab互相垂直(2)解kab(kcos cos ，ksin sin )，akb(cos kcos ，sin ksin )，|kab|，|akb|.|kab|akb|，2kcos()2kcos()又k0，cos()0.0<<<，0<<，.探究提高(1)當(dāng)向量a與b是坐標(biāo)形式給出時(shí)，若證明ab，則只需證明a·b0x1x2y1y20.(2)當(dāng)向量a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把a(bǔ)，b用已知的不共線向量作為基底來(lái)表示且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進(jìn)行運(yùn)算證明a·b0.(3)數(shù)量積的運(yùn)算中，a·b0ab中，是對(duì)非零向

12、量而言的，若a0，雖然有a·b0，但不能說(shuō)ab. 已知平面向量a(，1)，b.(1)證明：ab；(2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使ca(t23)b，dkatb，且cd，試求函數(shù)關(guān)系式kf(t)(1)證明a·b×1×0，ab.(2)解ca(t23)b，dkatb，且cd，c·da(t23)b·(katb)ka2t(t23)b2tk(t23)a·b0，又a2|a|24，b2|b|21，a·b0，c·d4kt33t0，kf(t) (t0)三審圖形抓特點(diǎn)典例：(4分)如圖所示，把兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在

13、一起，若xy，則x_，y_.審題路線圖圖形有一副三角板構(gòu)成(注意一副三角板的特點(diǎn))令|AB|1，|AC|1(一副三角板的兩斜邊等長(zhǎng))|DE|BC|(非等腰三角板的特點(diǎn))|BD|DE|sin 60°×(注意ABD45°90°135°)在上的投影即為xx|AB|BD|cos 45°1×1在上的投影即為yy|BD|·sin 45°×.解析方法一結(jié)合圖形特點(diǎn)，設(shè)向量，為單位向量，由xy知，x，y分別為在，上的投影又|BC|DE|，|·sin 60°.在上的投影x1cos 45

14、6;1×1，在上的投影ysin 45°.方法二xy，又，xy，(x1)y.又，·(x1)2.設(shè)|1，則由題意|.又BED60°，|.顯然與的夾角為45°.由·(x1)2，得×1×cos 45°(x1)×12.x1.同理，在(x1)y兩邊取數(shù)量積可得y.答案1溫馨提醒突破本題的關(guān)鍵是，要抓住圖形的特點(diǎn)(圖形由一副三角板構(gòu)成)根據(jù)圖形的特點(diǎn)，利用向量分解的幾何意義，求解方便快捷方法二是原試題所給答案，較方法一略顯繁雜方法與技巧1 計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，和

15、圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用2 求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算3 利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問(wèn)題常用的方法與技巧失誤與防范1 (1)0與實(shí)數(shù)0的區(qū)別：0a00，a(a)00，a·000；(2)0的方向是任意的，并非沒有方向，0與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系2 a·b0不能推出a0或b0，因?yàn)閍·b0時(shí)，有可能ab.3 a·ba·c(a0)不能推出bc，即消去律不成立A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1

16、 (2012·遼寧)已知向量a(1，1)，b(2，x)，若a·b1，則x等于()A1 B C. D1答案D解析a·b(1，1)·(2，x)2x1x1.2 (2012·重慶)設(shè)x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，則|ab|等于()A. B. C2 D10答案B解析a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，由ac得a·c0，即2x40，x2.由bc，得1×(4)2y0，y2.a(2,1)，b(1，2)ab(3，1)，|ab|.3 已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c滿足(ca)b，c(ab

17、)，則c等于()A. B.C. D.答案D解析設(shè)c(x，y)，則ca(x1，y2)，又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)·(3，1)3xy0.聯(lián)立解得x，y.4 在ABC中，AB3，AC2，BC，則·等于()A B C. D.答案D解析由于·|·|·cosBAC(|2|2|2)×(9410).二、填空題(每小題5分，共15分)5 (2012·課標(biāo)全國(guó))已知向量a，b夾角為45°，且|a|1，|2ab|，則|b|_.答案3解析a，b的夾角為45°，|a|1，a·b|a|&

18、#183;|b|cos 45°|b|，|2ab|244×|b|b|210，|b|3.6 (2012·浙江)在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM3，BC10，則·_.答案16解析如圖所示，·()·()22|2|292516.7 已知a(2，1)，b(，3)，若a與b的夾角為鈍角，則的取值范圍是_答案(，6)解析由a·b<0，即23<0，解得<，由ab得：6，即6.因此<，且6.三、解答題(共22分)8 (10分)已知a(1,2)，b(2，n) (n>1)，a與b的夾角是45°.(1)求b；(

19、2)若c與b同向，且a與ca垂直，求c.解(1)a·b2n2，|a|，|b|，cos 45°，3n216n120，n6或n(舍)，b(2,6)(2)由(1)知，a·b10，|a|25.又c與b同向，故可設(shè)cb (>0)，(ca)·a0，b·a|a|20，cb(1,3)9 (12分)設(shè)兩個(gè)向量e1、e2滿足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夾角為60°，若向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解e1·e2|e1|·|e2|·cos 60°2×1

20、5;1，(2te17e2)·(e1te2)2te7te(2t27)e1·e28t7t2t272t215t7.由已知得2t215t7<0，解得7<t<.當(dāng)向量2te17e2與向量e1te2反向時(shí)，設(shè)2te17e2(e1te2)，<0，則2t27t或t(舍)故t的取值范圍為(7，)(，)B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 (2012·湖南)在ABC中，AB2，AC3，·1，則BC等于()A. B. C2 D.答案A解析·1，且AB2，1|cos(B)，|cos B1.在ABC

21、中，|AC|2|AB|2|BC|22|AB|BC|cos B，即94|BC|22×(1)|BC|.2 已知|a|6，|b|3，a·b12，則向量a在向量b方向上的投影是()A4 B4 C2 D2答案A解析a·b為向量b的模與向量a在向量b方向上的投影的乘積，得a·b|b|a|·cosa，b，即123|a|·cosa，b，|a|·cosa，b4.3 (2012·江西)在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則等于 ()A2 B4 C5 D10答案D解析，|222·2.，|222&#

22、183;2.|2|2(22)2·()2222·222.又2162，2，代入上式整理得|2|210|2，故所求值為10.二、填空題(每小題5分，共15分)4 (2012·安徽)設(shè)向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，則|a|_.答案解析利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解ac(1,2m)(2，m)(3,3m)(ac)b，(ac)·b(3,3m)·(m1,1)6m30，m.a(1，1)，|a|.5 (2012·江蘇)如圖，在矩形ABCD中，AB，BC2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若·，則·的值是_答案解析方法一坐標(biāo)法以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(xiàn)(x,2)故(，0)，(x,2)，(，1)，(x，2)，·(，0)·(x,2)