第22章《相似形》教學(xué)設(shè)計

1、合肥市第七十二中學(xué) 張多來第22章 相似形單元目標1、了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比，成比例線段。2、了解黃金分割比及黃金數(shù)。3、了解圖形的相似，掌握相似圖形的性質(zhì)以及相似多邊形的性質(zhì)。4、了解兩個三角形相似的概念，掌握兩個三角形相似的條件。5、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小。6、會利用相似解決生活中的實際問題。單元導(dǎo)讀本章重點難點：重點：相似三角形的性質(zhì)及判定。難點：相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用。22.1 比例線段(3課時)學(xué)習(xí)目標要求1、了解相似圖形、相似多邊形、相似比及比例線段等概念。2、了解比例線段的性質(zhì)。3、了解黃金分割比及黃金數(shù)。教材內(nèi)容點撥知識點1相似多邊形：從幾何

2、直觀上來說，兩個圖形如果形狀一致，而大小不同，則稱這兩個圖形相似，具體到多邊形，稱之為相似多邊形。從嚴謹定義上來說，如果兩個多邊形各邊成比例，各角相等，則稱這兩個多邊形為相似多邊形。知識點2比例線段：1、線段的比：如果用同一長度單位量得兩條線段a、b的長度分別為m，n，則mn就是線段a，b的比，記作abmn或，其中a叫做比例前項，b叫做比例后項。2、比例線段：四條線段，如果其中兩條線段的比與另外兩條線段的比相同，則稱這四條線段成比例線段，簡稱比例線段。例如線段a、b、c、d，如果，則稱線段a、b、c、d成比例線段，這里要注意，a、b、c、d必須按順序?qū)懗?，不能寫成或?、比例外項、比例內(nèi)項、第

3、四比例項、比例中項：若，則稱a、d為比例外項，b、c、為比例內(nèi)項，d為第四比例項，如果bc，則稱b為a、c的比例中項。知識點3比例性質(zhì)：1、基本性質(zhì)：如果，則根據(jù)等式的基本性質(zhì)，兩邊同時乘以bd得。2、合比性質(zhì)：如果，則根據(jù)等式的基本性質(zhì)，兩邊同時加上1或1得。3、等比性質(zhì)：如果（），則，運用這個性質(zhì)時，一定要注意的條件。知識點4黃金分割：把線段AB分成兩條線段AP、PB（APPB），如果AP是線段PB和AB的比例中項，則線段AP把線段AB黃金分割，點P叫做線段AB的黃金分割點。典型例題點撥例1、已知，且是、的比例中項，則 ，若是、的比例中項，則 。點撥：解此題要注意兩點，1、比例條件的常規(guī)使

4、用方法。2、比例中項的意義。解答：，可令，則，又是、的比例中項，；若是、的比例中項，則，即，。例2、已知，求：的值。點撥：注意到分子分母中的各項系數(shù)是一致的，可聯(lián)想到比例的等比性質(zhì)。解答：，由等比性質(zhì)可得。例3、已知，求。點撥：本題考查比例的基本性質(zhì)，易錯點是由化成比例式時錯成，解題關(guān)鍵是運用比例的基本性質(zhì)，本題還可以運用合比性質(zhì)求解。解答：由比例的基本性質(zhì)得，。例4、如圖，ABC中，CD平分ACB交AB于D，DEBC交AC于E點，若ADDB23，AC15，求DE的長。點撥：題中條件“CD平分ACB交AB于D”是至關(guān)重要的，聯(lián)想到“平行線、角平分線、等腰三角形”這三個關(guān)鍵詞之間的關(guān)系，可得出D

5、EC是一個等腰三角形，將所求DE長轉(zhuǎn)換為求EC長。解答：CD平分ACB交AB于D，DEBC交AC于E點，DEEC，又ADDB23，AEEC23，令A(yù)E2x，則EC3x，由AC15可得，解得，DEEC。例4、在比例尺為1：8000的安慶市城區(qū)地圖上，集賢南路的長度約為25 cm，它的實際長度約為（ ）。A320cm B320m C2000cm D2000m點撥：注意領(lǐng)會比例尺的含義，此處的尺不是尺子的意思，而是尺度的含義。解答：比例尺為1：8000，長度約為25 cm，即圖中1cm表示實際中的8000cm，實際長度應(yīng)為cm，即2000m，答案選D?？键c考題點撥1、中考導(dǎo)航（1）線段的比；（2）比

6、例線段及比例性質(zhì)；（3）黃金分割。2、經(jīng)典考題追蹤例1、（06遂寧）如果線段上一點P把線段分割為兩條線段PA、PB當(dāng)PA2=PB·AB,即PA0.618AB時,則稱點P是線段AB的黃金分割點,現(xiàn)已知線段AB=10,點P是線段AB的黃金分割點,如圖所示,那么線段PB的長約為（ ）。A、6.18 B、0.382 C、0.618 D、3.82點撥：根據(jù)黃金分割比約為0.618可知AP約為0.618×106.18，從而可知PB約為106.183.12。解答：D例2、（06河南）要拼出和圖1 中的菱形相似的較長對角線為88cm的大菱形（如圖2）需要圖1中的菱形的個數(shù)為_。點撥：由圖1

7、知一個小菱形的一條對角線的長度為8cm，所以小菱形和大菱形的相似比為111，所以共需小菱形11×11121個。解答：121個。易錯點點撥易錯點1、概念理解不清：易錯點導(dǎo)析：相似多邊形必須各邊對應(yīng)成比例，且各角相等，而不是只要各角相等或各邊對應(yīng)成比例即可。例：下列說法正確的是（ ）A 兩個矩形相似 B 兩個梯形相似 C 兩個正方形相似 D 兩個平行四邊形相似錯解：A錯解點撥：相似多邊形必須各邊對應(yīng)成比例，且各角相等。正解：C易錯點2、考慮問題不全面：易錯點導(dǎo)析：有很多開放題結(jié)果不唯一，可以有很多種種不同的結(jié)果，考慮問題應(yīng)該全面，而不能只考慮其中一種情況。例：已知線段3，4，6與是成比例

8、線段，則。錯解：錯解點撥：本題是一道開放題，結(jié)果不唯一，可以有、，所以x應(yīng)有3種不同的結(jié)果，而不僅僅只有一種。正解：、或。拓展與創(chuàng)新1、已知，則 。點撥：仿照等比性質(zhì)的證明方法，令，則可得關(guān)于a，b，c的一個以k為字母系數(shù)的三元一次方程組，解這個方程組即可得a，b，c（用字母系數(shù)k表示），進而可得。解答：設(shè)，則，解得，1037。2、若，則為（ ）。A B CD點撥：由利用比例基本性質(zhì)可得關(guān)于x，y的一個關(guān)系式，從而可得的值。解答：，解得，選A。3、已知：，則_，_。點撥：本題主要考查比例的等比性質(zhì)，利用等比性質(zhì)可直接求解。解答：，且，。4、雨后初晴，一學(xué)生在運動場上玩耍，從他前面2m遠一塊小積

9、水處，他看到旗桿頂端的倒影，如果旗桿底端到積水處的距離為40m，該生的眼部高度是1.5m，那么旗桿的高度是_m。點撥：如圖所示，由關(guān)線的直線傳播性，可得AEBDEC，從而有，即，解之即可得旗桿高度。解答：30m。學(xué)習(xí)方法點撥1、 對于相似圖形及相似多邊形的理解，可在生活中尋找實例，加強幾何直觀上的理解，也可利用多媒體信息技術(shù)，在電腦上做出相應(yīng)的圖形，幫助形成相似的概念。2、對于比例性質(zhì)的學(xué)習(xí)，應(yīng)加強利用比例性質(zhì)解決問題的訓(xùn)練，以形成應(yīng)用比例性質(zhì)的能力。3、在生活中深入理解黃金分割點和黃金分割比的意義，領(lǐng)會黃金分割的美感。隨堂演練1、下列說法：所有的等腰三角形都相似；所有的等邊三角形都相似；所有

10、等腰直角三角形都相似；所有的直角三角形都相似。其中正確的是 (把你認為正確的說法的序號都填上)。2、量得兩條線段，的長度分別為8，32，則= 。3、如圖，點C是AB的中點，點D在BC上，AB=24，BD=5，ADCB （1）ACCB ；ACAB ； （2）；。4、若x是8和4的比例中項，則x的值為（ ）AB CD以上答案均不對5、已知，則，。6、若，則；若，則= 。7、已知，則k等于（ ）A1B CD 8、已知A、B兩地的實際距離AB5千米，畫在地圖上的距離2，則這張地圖的比例尺是（ ）。 A、 25 B、 125000 C、 250001 D、 12500009、 已知點C是線段AB的黃金分

11、割點，且ACCB，則下列等式中成立的是（ ）AAB2=AC·CBBCB2=AC·AB CAC2=CB·ABDAC2=2BC·AB10、把長為7cm的線段進行黃金分割，則分成的較短的線段長為（ ）AB CD11、已知 。12、將數(shù)48分成三部分，且三數(shù)之比為2:4:6，則最小數(shù)是（ ）A8B16 C24D413、兩個相似三角形的相似比系數(shù)為，如果它們的周長之差4cm，那么這兩個相似三角形的周長分別是 。14、三線段、中，的一半的長等于的四分之一長，也等于的六分之一長，那么這三條線段的和與的比等于（ ）A B C D 15、若，則 16、如果，那么 17、已

12、知三個數(shù)1，2，請你再添上一個（只填一個）數(shù)，使它們能構(gòu)成一個比例式，則這個數(shù)是_。18、已知：如圖，在中，且（1）求的長；（2）求證：。隨堂演練答案1、2、143、（1）11，12；（2）125，724，1974、C。5、， 6、， 7、C 8、D 9、C 10、B 11、0 12、A 13、8cm和4cm 14、C 15、2或3 16、 17、或18、（1）設(shè)，則由得，即（2）證明：， ，即。22.2 相似三角形的判定（3課時）學(xué)習(xí)目標要求1、掌握相似三角形的概念。2、掌握兩個三角形相似的條件。3、能用兩個三角形相似的條件解決問題。教材內(nèi)容點撥知識點1相似三角形：1、兩個三角形，如果各邊對

13、應(yīng)成比例，各角對應(yīng)相等，則這兩個三角形相似。2、各邊對應(yīng)成比例，各角對應(yīng)相等是指三組對應(yīng)角分別相等，三組對應(yīng)邊分別成比例。3、ABC與ABC相似記作“ABCABC”，書寫時同三角形全等一樣，要注意對應(yīng)字母放在對應(yīng)位置，例如，ABC與DEF中，A點與E點對應(yīng)，B點與D點對應(yīng)，C點與F點對應(yīng)，則應(yīng)記作ABCEDF。4、相似三角形的定義揭示了相似三角形的本質(zhì)特性，即如果兩個三角形相似，則各邊對應(yīng)成比例，各角對應(yīng)相等，相似三角形的定義即是性質(zhì)，又是判定。5、全等三角形是相似比為1的相似三角形。知識點2相似三角形判定方法：相似三角形的判定方法按照全等三角形的判定方法可記為“AA”、“SAS”、“SSS”

14、和“HL”，只是這里對邊要求是對應(yīng)成比例，對角的要求是對應(yīng)角相等。1、“AA”：如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等；那么這兩個三角形相似?？珊唵蔚恼f成：兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似。2、“SAS”：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例,并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，可簡單的說成：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似。3、“SSS”：如果一個三角形的三條邊為另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似，可以簡單的說成：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似。4、“HL”：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)

15、成比例，那么這兩個直角三外形相似。典型例題點撥例1、已知:如圖，ABC中,ADDB，12，求證:ABCEAD。點撥：題中提供了兩個條件，一個是關(guān)于邊的，一個是關(guān)于角的，而關(guān)于邊的條件可轉(zhuǎn)換為角之間的關(guān)系，從而可得兩個角之間的關(guān)系，聯(lián)系到要求證的結(jié)論，可聯(lián)想到用“AA”來證。解答：ADDB，3B，又12，4B2，BAC，4BAC，在ABC和EAD中， 3B 4BAC ABCEAD。例2、已知：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP3PC，Q是CD的中點，ADQ與QCP是否相似？為什么？點撥：根據(jù)條件“BP3PC ，Q是CD的中點”可知，結(jié)合CD90°，可用“SAS”求證。解答

16、：BP3PC ，Q是CD的中點，又四邊形ABCD是正方形，CD90°，在ADQ與QCP中， CD ADQQCP。例3、如圖，點C、D在線段AB上，PCD是等邊三角形。（1）當(dāng)AC、CD、DB滿足怎樣的關(guān)系時，ACPPDB？（2）當(dāng)ACPPDB時，求APB的度數(shù)。解答：（1）ACPPDB120°，當(dāng)，即，也就是CD2AC·DB時，ACPPDB。（2）ACPPDB。ADPB，APBAPCCPDDPBAPCACPDPCDCPD120°。123例4、（2006年福建省南平市）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E是AD邊上的動點，從點A沿AD向D運動，以BE為邊，

17、在BE的上方作正方形BEFG，連接CG。請?zhí)骄浚海?）線段AE與CG是否相等？請說明理由：（2）若設(shè)，當(dāng)取何值時，最大？（3）連接BH，當(dāng)點E運動到AD的何位置時，BEHBAE？點撥：本題主要考察對全等三角形和相似三角形的理解與應(yīng)用，根據(jù)條件注意到ABEDEH，并由此得到，從而得到關(guān)于x、y的一個條件式，進而得到y(tǒng)與x的一個函數(shù)，這是解決第（2）小題的關(guān)鍵；在第（3）小題中，則要從果溯源，要使BEHBAE，則必須，由此得到關(guān)于x的一個方程，解這個方程即可。解答：（1）AECG，四邊形ABCD、EBGF都是正方形，12，且ABAC、BEBG，ABECBG，AECG（全等三角形的對應(yīng)邊相等）。（2

18、）在ABE和DEH中，DA90°，1390°AEB，ABEDEH，即，得，當(dāng)時，。（3）若BEHBAE，則，即，解得，當(dāng)E點運動到中點時，BEHBAE?？键c考題點撥1、中考導(dǎo)航中考中對相似三角形的考察往往結(jié)合其他內(nèi)容例如平行線、平行四邊形來進行，要熟練掌握相似三角形的四種判定方法，特別是“AA”。2、經(jīng)典考題追蹤例1、（06天門）點E是 ABCD的邊BC延長線上的一點，AE與CD相交于G，則圖中相似三角形共有（ ）。A、2對 B、3對 C、4對 D、5對點撥：將BCG、ADG、ABC、ACD分別標為、，則有和、和、和、和、和五對相似三角形。解答：選D。1234例2、（06蘇

19、州）如圖，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，E、F分別是AB、BC的中點，EF與BD相交于點M。(1)求證：EDMFBM；(2)若DB9，求BM。點撥：由條件“AB2CD，E是AB的中點”可得BECD，從而可知四邊形DEBC是平行四邊形，由此可證（1），在（1）中結(jié)論成立的前提下，利用相似三角形“對應(yīng)邊成比例”的性質(zhì)，可求BM。解答：（1）AB2CD，且E是AB的中點，BECD，又BECD，四邊形DEBC是平行四邊形，DEBC，12，34，EDMFBM；（2）EDMFBM，（相似三角形的對應(yīng)邊對應(yīng)成比例），F(xiàn)是CD的中點，令BMx，則DM2x，BD3x9，x3，BM3。例3、（06年錦州

20、）點D是ABC中AB邊上的一點，過點D作直線(不與直線AB重合)截ABC，使截得的三角形與ABC相似，滿足這樣條件的直線最多有_條。點撥：要使所截得的三角形與ABC相似，則所截三角形的三個內(nèi)角與ABC的三個角對應(yīng)相等，如果所截三角形與ABC以A為公共角，則以有一個角已經(jīng)相等，只要另一個角對應(yīng)相等即可，由此有1B、2C或3B、ADFC兩種情況；如果所截三角形與ABC以B為公共角，則同理也有兩種情況，所以經(jīng)過D點共有4種不同直線可截三角形與ABC相似。解答：4。易錯點點撥易錯點1、相似三角形識別不準確。易錯點導(dǎo)析：兩個相似三角形中對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例，然而不對應(yīng)的角和不對應(yīng)的邊之間并沒有特

21、別的關(guān)系，在應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)時要特別注意邊、角的對應(yīng)，不能隨便得出角相等，邊成比例。例1、如圖，ABC是等邊三角形，AB3cm，分別延長BC、CB至E、D，使得CE2cm，EACD，求BD的長。錯解：BD2cm。錯解點撥：由題中條件可知ABDECA，其中A點與E點對應(yīng)，D點與A點對應(yīng)，B點與C點對應(yīng)，而不是。解答：ABC是等邊三角形，ABCACB，ABDACE，又EACD，ABDECA，即，解得BD4.5cm。例2、如圖，在ABC中，BAC90°，D是BC中點，AEAD交CB延長線于點E，則BAE相似于_。錯解：DAC。錯解點撥：由題中條件可知EABDAC，容易使人設(shè)想AEB與A

22、CD相似，但是E與C不一定相等，AEB與ACD不一定相似，實際上，由于E是AEB與CEA的公共角，應(yīng)該有AEBCEA。正解：CEA。易錯點2、考慮問題不全面，思維不謹慎。例：如圖，RtABC中，AD是斜邊BC上的高，則與ABD相似的三角形有幾個？分別是哪幾個？錯解：ADC。錯解點撥：通過圖形觀察，容易得到ABDCAD，但是還有ABDCBA應(yīng)引起我們的注意。正解：與ABD相似的三角形有2個，分別是CAD和CBA。易錯點3、考慮問題時思維無序，方法混亂。例：如圖，平行四邊形ABCD中，C是BC延長線上一點，AG與BD交于點E，與DC交于點F，則圖中相似三角形（不包括全等）共有（ ）。A3對 B4對

23、 C5對 D6對錯解：B錯解點撥：在做這類題時，如果不按照一定的方法，思維很容易混亂，造成少解或重復(fù)計數(shù)，可以先去掉BD，考慮較簡單的情況（如圖所示），此時有CFGDFA、CFGBAG、BAGDFA三對，添加了BD后，又增加了ADEGBE和ABEFDE兩對，所以共有5對。正解：5。拓展與創(chuàng)新1、將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺放成如圖所示的樣子，假設(shè)圖中的所有點、線都在同一平面內(nèi)，回答下列問題：(1)圖中共有 個三角形。(2)圖中有相似(不包括全等)三角形嗎？如果有，就把它們一一寫出來。點撥：（1）中三角形的個數(shù)可以按照單個三角形和復(fù)合三角形兩類來分開數(shù)；（2）中注意到DAE45°，

24、有ADEBAE、ADEDAC兩對。解答：（1）圖中有ABD、ADE、AEC、ABE、ADC、ABC、AFG共7個三角形。（2）圖中共有兩對相似三角形，分別是ADEBAE、ADEDAC。2、如圖，在直角坐標系中有兩點A(4，0)、B(0，2)，如果點C在x軸上(C與A不重合)，當(dāng)點C的坐標為 或 時，使得由點B、O、C組成的三角形與AOB相似(至少寫出兩個滿足條件的點的坐標)。點撥：要使BOCAOB，因為O是公共角，根據(jù)“SAS”，只要即可，由此可得，解得OC1，C點的橫坐標可為±1。解答：（1，0）、（-1，0）3、如圖，在正方形ABCD中，M為AB上一點，BPCM于P，N在BC上且

25、BNBM，連結(jié)PD。求證：DPNP。點撥：要證DPNP，只要能證明BPNCPD即可，可考慮證明BPNCPD，利用RtBPMRtCPB，得比例式，等量代換后得，再完成PCDPBN的證明，即可得證。證明：BPCM于P，BPMCPB90°，又CBM90°，PBMBCP90°CBP，RtBPMRtCPB，BCCD，PCDPBN90°BCP，BPNCPD，DPCNBP，DPNCPB90°，DPNP。學(xué)習(xí)方法點撥注意相似三角形的對應(yīng)頂點及對應(yīng)邊，即兩個相似三角形是通過什么樣的變換對應(yīng)在一起的，在學(xué)習(xí)的初始階段，可以制作一些模型，幫助形成相應(yīng)的幾何直觀。隨堂

26、演練1、如圖，D是的邊AB上一點，若，則，若，則。 第（1）題 第（2）題 第（3）題 第（4）題2、如圖，cm，則cm。3、如圖，在中，AC是BC、DC的比例中項，則_。4、如圖，在四邊形ABCD中，cm，cm，cm，cm，則CD的長為_cm。5、如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個三角形：，其中-中與相似的是 。第（5）題6、在ABC中，AB8，AC6，點D在AC上，且AD2，若要在AB上找一點E，使ADE與原三角形相似，那么AE 。7、如圖，BD、CE是的高，圖中相似三角形有_對。8、如圖，ABCDEF，則圖中相似三角形的對數(shù)為（ ）A、 1對B、 2對 C、 3對D、 4對9、如圖，D、E分別是

27、AB、AC上兩點，CD與BE相交于點O，下列條件中不能使ABE和ACD相似的是（ ）A. BC B. ADCAEB C. BECD，ABAC D. ADACAEAB第（7）題 第（8）題 第（9）題10、如圖，D是ABC的邊AB上一點，在條件（1）ACDB，（2）AC2AD·AB，（3）AB邊上與點C距離相等的點D有兩個，（4）BACB中，一定使ABCACD的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.411、如圖，E是平行四邊形ABCD邊BC延長線上的一點，連接AE交CD于點F，則圖中共有相似三角形（ ）。A1對 B2對 C3對 D4對第（10）題 第（11）題 第（13）題12、有一個

28、銳角相等的兩個直角三角形的關(guān)系是（ ）A全等 B相似 C既不全等與也不相似 D無法確定13、已知：ACB為等腰直角三角形，ACB=90° 延長BA至E，延長AB至F，ECF=135°，求證：EACCBF。14、如圖，在中，；在中，試判斷這兩個三角形是否相似。第（14）題 第（15）題 第（16）題 15、如圖，在梯形ABCD中，求AB的長。16、已知：如圖所示，D在ABC上，且DEBC交AC于E，F(xiàn)在AD上，且，求證：AEFACD。17、如圖，下列每個圖形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它們用字母表示出來，并簡要說明識別的根據(jù)。隨堂演練答案1、B，ACB2、1.5cm

29、3、BAC4、13.5cm5、6、或7、6對8、C。9、C10、B11、C12、B13、ABC為等腰直角三角形，CABCBA45°，EACE45°，又ECF45°，EF45°，ACEF，同理BCFE，EACCBF。14、AE47°，且，ABCEFD。15、在梯形ABCD中，OABOCD，解得AB4.5。16、DEBC，AEDACB，又，A是公共角，AEFACD。17、（1）ADEABC，“AA”（2）AEDABC，“AA”（3）CDECAB，“AA”（4）ABECDE“SAS”（5）不存在相似三角形。22.3 相似三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標要求1、掌

30、握相似三角形的性質(zhì)。2、能應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)解決問題。教材內(nèi)容點撥知識點：相似三角形性質(zhì)1、相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。2、相似三角形周長的比等于相似比。3、相似三角形面積的比等于相似比的平方。典型例題點撥例1、兩個相似三角形對應(yīng)中線的比是，大三角形的面積是小三角形面積的_倍。點撥：根據(jù)相似三角形對應(yīng)中線之比可得相似比，近而得出這兩個三角形的面積比。解答：兩個相似三角形對應(yīng)中線的比是，這兩個相似三角形的相似比為，大三角形的面積是小三角形面積的倍。例2、ABC中，AB12 cm，BC18 cm，AC24 cm，若ABCABC，且ABC的周長為81 cm，求

31、ABC各邊的長。點撥：此題根據(jù)相似三角形性質(zhì)2：相似三角形周長的比等于相似比，可知相似比為，由此根據(jù)ABC各邊長可求出ABC的各邊長。解答：ABC中，AB12 cm，BC18 cm，AC24 cm，ABC周長為54cm，ABC與ABC的相似比為，。例3、為了測量校園水平地面上一棵不可攀的樹的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組做了如下的探索：根據(jù)科學(xué)中光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計如下圖所示的測量方案：把一面很小的鏡子放在離樹底（B）8.4米的點E處，然后沿著直線BE后退到點D，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A，再用皮尺量得DE2.4米，觀察者目高CD1.6米，則樹（AB）的高度約為_米（精確到0

32、.1米）。點撥：注意到光線的反射定律：入射角等于反射角，可知CDEABE。解答：CDEABE，CD1.6，DE2.4，BE8.4，AB5.6米。例4、例、已知：如圖ABC中，ABC2C，BD平分ABC，(1)求證：ABDACB；(2)求ABD與ACB的周長的比，ABD與ACB的面積的比。點撥：根據(jù)題中提供的兩個與角相關(guān)的條件，要證明兩個三角形相似，可聯(lián)想到“AA”，證明兩個三角形相似后，條件“”的作用在于提供了相似三角形的相似比，由此可求相似三角形的周長比和面積比。解答：（1）BD平分ABC，ABDCBDABC，ABC2C，ABDC，A是公共角，ABDACB。（2）ABDACB，且，ABD與A

33、CB的相似比為，ABD與ACB的周長的比為，ABD與ACB的面積的比為。例、如圖，ABC的底邊BCa，高ADh，矩形EFGH內(nèi)接于ABC，其中E，F(xiàn)分別在邊AC，AB上，G，H都在BC上，且EF2FG，求矩形EFGH的周長。點撥：由題目條件中EF=2FG得要想求出矩形的周長，必須求出EF與高AD=h的關(guān)系，由EFBC得AFEABC，則EF與高h即可聯(lián)系上。此題還可以進一步求出矩形的面積，若對題目再加一個條件：ABAC，那么還可以證出FG2=BG·CH，通過這些聯(lián)想，就會對題目的內(nèi)在聯(lián)系有更深的理解，也會提高自己的數(shù)學(xué)解題能力。 解答：設(shè)FGx，EF2FG，EF2x，EF/BC ，AF

34、EABC，又ADBC，設(shè)AD交EF于M，則AMEF，即(AD-DM)/AD2x/a(h-x)/h2x/a解之，得x矩形EFGH的周長為6x。考點考題點撥1、中考導(dǎo)航會應(yīng)用相似三角形性質(zhì)解決生活中的實際問題，有利用所學(xué)內(nèi)容解決身邊的問題的意識，例如會利用自己的步長和身高求出一棵大樹或大廈的高度。2、經(jīng)典考題追蹤例1、（06遂寧）已知ABC的三邊長分別為20cm,50cm,60cm,現(xiàn)要利用長度分別為30cm和60cm的細木條各一根,做一個三角形木架與ABC相似,要求以其中一根為一邊,將另一根截成兩段(允許有余料)作為另外兩邊,那么另外兩邊的長度(單位: cm)分別為（ ） A、10,25 B、1

35、0,36或12,36 C、12,36 D、10,25或12,36點撥：本題看起來有很多種情況，比較復(fù)雜，但可以用整體觀點來考察，由于這兩個三角形相似，它們的周長之比等于相似比，ABC與所作三角形的相似比大于1，即所作三角形應(yīng)該比ABC小，在選擇作邊的木料時，只有選長為30cm的細木料，而將長為60cm的細木料分成兩段，而且由于ABC與所作三角形的相似比大于1，ABC中只有長為50cm或60cm的邊與30cm長的邊對應(yīng)，即相似比分別為或2，解得答案有兩種。解答：ABC的三邊長分別為20cm,50cm,60cm，ABC的周長為130cm，而兩根細木料的長度分別為30cm和60cm，和最大只有90c

36、m，所作三角形應(yīng)比ABC小，只能選長為30cm的木料為所作三角形的一邊，且其只能與ABC中的長為50cm或60cm的邊相對應(yīng)，即ABC與所作三角形的相似比應(yīng)為或2，當(dāng)相似比為時，解得所作三角形的兩邊分別為12和36cm，當(dāng)相似比為2時，解得所作三角形的兩邊分別為10cm和25cm，這兩種情況下，所作三角形的兩邊長之和都小于60cm，答案有兩種情況，分別為10cm,25 cm或12 cm,36 cm，選D。G例2、（06廣西柳州）如圖，一天早上，小張正向著教學(xué)樓AB走去，他發(fā)現(xiàn)教學(xué)樓后面有一水塔DC，可過了一會抬頭一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是納悶，經(jīng)過了解，教學(xué)樓、水塔的高分別是20m和

37、30m，它們之間的距離為30m，小張身高為1.6m，小張要想看到水塔，他與教學(xué)樓之間的距離至少應(yīng)有多少米？點撥：光線是沿直線傳播的，之所以看不見水塔，是因為小張的眼睛、教學(xué)樓頂、水塔頂位于一條直線上，EFGAFBDFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求BG。解答：由圖可知，EFGAFBDFC，即，BCFCFB6.25FG30，解得FG4.8m，F(xiàn)B60m，小張要想看到水塔，他與教學(xué)樓之間的距離至少應(yīng)有60m。例3、（06海南）如圖7，在同一時刻，小明測得他的影長為1米，距他不遠處的一棵檳榔樹的影長為5米，已知小明的身高為1.5米，則這棵檳榔樹的高是 米。點撥：同一時刻，光線是一組平行線，ABCDEF，

38、由此可求出DE。解答：同一時刻，光線是一組平行線，ABCDEF，即，解得DE7.5米。易錯點點撥易錯點1、審題不嚴，粗心大意，把握細節(jié)的能力不強。易錯點導(dǎo)析：在處理問題時，粗心大意，對一些關(guān)鍵詞語沒有仔細體會，表現(xiàn)為細節(jié)上的失誤，而這一旦形成習(xí)慣后，將對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形成巨大的障礙。例1、若把各邊分別擴大為原來的5倍，得到，下面結(jié)論不可能成立的是（ ）A B與的相似比為C與的各對應(yīng)角相等 D與的相似比為錯解：B錯解點撥：對擴大為和擴大了這兩句話理解不清，擴大為原來的5倍意即擴大到原來的5倍，而擴大了5倍則意即擴大到原來的6倍。正解：B拓展與創(chuàng)新1、如圖，分別取等邊三角形ABC各邊的中點D、E、F，得

39、DEF。若ABC的邊長為a。（1）DEF與ABC相似嗎？如果相似，相似比是多少？（2）分別求出這兩個三角形的面積。點撥：D、E、F分別為等邊三角形ABC各邊的中點，DE、EF、DF都是ABC的中位線，DE、EF、DF分別平行且等于ABC三邊的一半，根據(jù)相似三角形性質(zhì)：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似，可知DEF與ABC相似，且相似比為12，在求出ABC的面積后，根據(jù)相似三角形性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求DEF的面積。解答：（1）D、E、F是等邊三角形ABC各邊的中點，DE、EF、DF都是ABC的中位線，DEF與ABC相似，且相似比為12。GBC（2）ABC的邊長為a，ABC的面

40、積為，DEF的面積為。2、如示意圖，小華家（點A處）和公路（）之間豎立著一塊35m長且平行于公F路的巨型廣告牌（DE），廣告牌擋住了小華的視線，請在圖中畫出視點A的盲區(qū)，并將盲區(qū)內(nèi)的那段公路記為BC，一輛以60km/h勻速行駛的汽車經(jīng)過公路BC段的時間是3s，已知廣告牌和公路的距離是40m，求小華家到公路的距離（精確到1m）。點撥：所謂視點A的盲區(qū)，即在視點A處看不到的公路區(qū)域，如圖所示，在視點A處看不到公路區(qū)域為BC段，由于光線的直線傳播性，BC和DE與光線組成的兩個三角形相似，通過相似三角形性質(zhì)可求出點A到公路的距離。解答：由圖可知ABCADE，又一輛以60km/h勻速行駛的汽車經(jīng)過公路B

41、C段的時間是3s，BC50m，DE35m，GF40m，解得AF93m，小華家到公路的距離AGAFFG133m。學(xué)習(xí)方法點撥通過制作幾何模型，加強對相似三角形性質(zhì)的理解，特別是相似三角形的第一個性質(zhì)的理解。加強對相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用訓(xùn)練，從而加深對相似三角形性質(zhì)的認識。要學(xué)會在生活中應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)，提高利用相似三角形性質(zhì)解決實際問題的能力。隨堂演練1、如果兩個三角形的相似比為1，那么這兩個三角形_。 2、如圖，已知ADEABC，且ADEB，則對應(yīng)角為_，對應(yīng)邊為_ 。3、若ABC與ABC相似，一組對應(yīng)邊的長為AB3 cm，AB4 cm，那么ABC與ABC的相似比是_。4、已知ABCABC，

42、A和A，B和B分別是對應(yīng)點，若AB=5 cm，AB=8 cm，AC=4 cm，BC=6 cm，則ABC與ABC的相似比為_，AC_，BC_。5、如圖，已知DEBC，ADEABC，則_。6、若ABC的三條邊長的比為356，與其相似的另一個ABC的最小邊長為12 cm，那么ABC的最大邊長是_。7、已知ABC的三條邊長分別為3 cm,4 cm,5 cm,ABCABC，那么ABC的形狀是_，又知ABC的最大邊長為20 cm，那么ABC的面積為_。8、如果RtABCRtABC，CC90°，AB3，BC2，AB12，則AC_。9、下列命題錯誤的是（ ）A.兩個全等的三角形一定相似B.兩個直角三

43、角形一定相似C.兩個相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例D.相似的兩個三角形不一定全等10、把ABC的各邊分別擴大為原來的3倍，得到ABC，下列結(jié)論不能成立的是（ ）A.ABCABC B.ABC與ABC的各對應(yīng)角相等C.ABC與ABC的相似比為 D.ABC與ABC的相似比為11、若ABCABC，A55°,B100°，那么C的度數(shù)是（ ）A.55°B.100° C.25°D.不能確定12、如果ABCABC，BC3，BC=1.8，則ABC與ABC的相似比為( ) A.53B.32 C.23D.3513、若ABCABC，AB2，BC3，AB1，則BC

44、等于( ) A.1.5B.3 C.2D.114、如圖，ADEACB，AEDB，那么下列比例式成立的是( ) A. B.C. D.15、ABC的三邊長分別為、2，ABC的兩邊長分別為1和，如果ABCABC，那么ABC的第三邊的長應(yīng)等于( ) A.B.2 C.D.216、若ABCDEF,它們的周長分別為6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是（ ）A.3AB4DE B.4AC3DEC.3A4D D.4（AB+BC+AC）3（DE+EF+DF）17、已知ABC中，AB15 cm，BC20 cm，AC30 cm，另一個與它相似的ABC的最長邊為40 cm，求ABC的其余兩邊的長。18、已知：ABC三

45、邊的比為123，ABCABC，且ABC的最大邊長為15 cm，求ABC的周長。19、古代一位數(shù)學(xué)家想出了一種測量金字塔高度的方法：如圖，為了測量金字塔的高度OB，先豎一根已知長度的木棒，比較棒子的影長與金字塔的影長AB，即可近似地算出金字塔的高度OB。如果，你能求出金字塔的高度嗎？ 20、如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選點B和C，使，然后再選點E，使，確定BC與AE的交點為D，測得米，米，米，你能求出兩岸之間AB的大致距離嗎？ 21、如圖，已知ABCD，AD、BC相交于E，F(xiàn)為EC上一點，且EAF=C。求證：AF2=FE·FB。22、如圖

46、，為了求出海島上的山峰AB的高度，在D和F處樹立標桿DC和FE，標桿的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面內(nèi)，從標桿DC退后123步的G處，可看到山峰A和標桿頂端C在一直線上，從標桿FE退后127步的H處，可看到山峰A和標桿頂端E在一直線上求山峰的高度AB及它和標桿CD的水平距離BD各是多少？ 隨堂演練答案1、全等2、對應(yīng)角：ADE與B、AED與C、A與A，對應(yīng)邊：AE與AC、AD與AB、DE與BC。3、434、85，6.4，3.755、6、24cm7、直角三角形，96cm28、9、B 10、C 11、C 12、D 13、A 14、A 15、C 16、D1

47、7、ABC中最長邊為AC30 cm，ABC的最長邊為40 cm，ABC與ABC 的相似比為43，即，解得AB20cm，BCcm。18、ABC三邊的比為123，ABCABC，ABC的三邊之比為123，又ABC的最大邊長為15 cm，ABC的三邊分別為5cm、10cm，ABC的周長為30cm。19、OABOAB，即，解得OB137。20、ABDECD，即，解得AB100米。21、證明：ABCD，EAF=C，EAF=B，EAFABF，即AF2EF·BF。22、由圖可知GCDGAB、HEFHAB，DCFE，即，解得步，解得AB7530步。22.4 位似圖形學(xué)習(xí)目標要求1、掌握位似形與位似變換

48、的概念。2、理解位似與相似之間的關(guān)系，并利用相似形的性質(zhì)解決位似形的問題。3、會按照要求畫出位似形。4、了解圖形在坐標系中的位似變換。教材內(nèi)容點撥知識點1位似三角形與為似多邊形：如果兩個三角形不僅是相似三角形，而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么兩個三角形叫做位似三角形，它們的相似比又稱為位似比，這個點叫做位似中心。同樣，如果兩個多邊形不僅是相似多邊形，而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么兩個多邊形叫做位似多邊形，它們的相似比又稱為位似比，這個點叫做位似中心。利用多邊形的位似可以將一個三角形或多邊形縮小或放大。知識點2位似變換與位似圖形：若兩個幾何圖形F與F相似，而且對應(yīng)點連線

49、交于同一點O，則稱F與F關(guān)于點O位似，O叫做位似中心。 把一個幾何圖形變換成與之位似的圖形,叫做位似變換。知識點3位似多邊形的畫法：1、連接位似中心與多邊形各頂點；2、延長各連線，使得延長線與連線之比為位似比；3、按順序連接所得各點。典型例題點撥DCBA例1、如圖所示的是幻燈機的工作情況，幻燈片與屏幕平行，光源到幻燈片的距離是40厘米，幻燈片到屏幕的距離是2米，幻燈片中的圖象的高度是10厘米，請你算出屏幕上的圖象的高度是多少？點撥：利用位似形的性質(zhì)可得比例式，從而求得CD的長。解答：幻燈片上圖像與屏幕上的投影成位似形，解得。例2、在如圖的方格紙中（每個小方格的邊長都是1個單位）有一點O和ABC，請以點O為位似中心，把ABC縮小為原來的一半（不改變方向），得到ABC。點撥：按照位似圖形的畫法畫出ABC，注意“不改變方向”。解答：例3、如圖，畫一個三角形，使它與已知相似，且原三角形與所畫三角形的相似比為2：1。點撥：全面利用所學(xué)知識解題，注意方法的多樣性，嘗試從不同角度考慮。解答：解答一、如圖1（位似圖形法）任取一點O；連結(jié)