ch2 Matlab矩陣的生成與運(yùn)算【】

1、1、直接輸入法將矩陣的元素用方括號(hào)括起來(lái)，按矩陣行的順序輸入各元素，同一行的各元素之間用空格或逗號(hào)分隔，不同行的元素之間用分號(hào)分隔。A=1,2,3;4,5,6;7,8,0A=1,2,3;4 5,6;7,8 0087654321A【例1-2】 試輸入復(fù)數(shù)矩陣需要防止的語(yǔ)句B=1+9*i,2+8*i,3+7*j; 4+6*j 5+5*i,6+4*i;7+3*i,8+2*i,iB=1 +9*i,2+8*i,3+7*j; 4+6*j 5+5*i,6+4*i;7+3*i,8+2*i,iiiiiiiiiiB28374655647382912、利用M文件建立矩陣對(duì)于比較大且比較復(fù)雜的矩陣，可以為它專門建立一

2、個(gè)M文件?！纠?-3】利用M文件建立mymat矩陣。(1) 啟動(dòng)有關(guān)編輯程序或MATLAB文本編輯器，并輸入待建矩陣.(2) 把輸入的內(nèi)容以純文本方式存盤(設(shè)文件名為)。(3) 運(yùn)行該M文件，就會(huì)自動(dòng)建立一個(gè)名為mymat的矩陣，可供以后使用。A=4 10 1 6 2;8 2 9 4 7; 7 5 7 1 5;0 3 4 5 4;23 13 13 0 3 3、利用MATLAB函數(shù)建立矩陣幾個(gè)產(chǎn)生特殊矩陣的函數(shù)：zeros、ones、 eye、rand、randn、pascal、 magic(n)、 vander(V)、 hilb(n) 、 toeplitz(x,y)、compan(P) 。這幾

3、個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式相似，下面以產(chǎn)生零矩陣的zeros函數(shù)為例進(jìn)行說(shuō)明。其調(diào)用格式是：zeros(m) 產(chǎn)生mm零矩陣zeros(m,n) 產(chǎn)生mn零矩陣。zeros(size(A) 產(chǎn)生與矩陣A同樣大小的零矩陣相關(guān)的函數(shù)有：length(A)給出行數(shù)和列數(shù)中的較大者，即length(A)=max(size(A)；ndims(A)給出A的維數(shù)?！纠?-4】 分別建立33、32和與矩陣A同樣大小的零矩陣。(1) 建立一個(gè)33零矩陣：zeros(3)(2) 建立一個(gè)32零矩陣：zeros(3,2)(3) 建立與矩陣A同樣大小零矩陣：zeros(size(A)此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,

4、n)，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成mn的二維矩陣?！纠?-5】 將4階魔方陣形變?yōu)?行8列的矩陣reshaps(magic(4),2,8)hilb(n)指令可以產(chǎn)生nn的 Hilbert 矩陣 11jiHij Hilbert矩陣Hilbert 矩陣的特性: 當(dāng)矩陣變大時(shí)，其矩陣會(huì)接近奇異即矩陣的行列式會(huì)接近于0，Hilbert矩陣常被用來(lái)評(píng)估各種逆矩陣計(jì)算方法的穩(wěn)定性?！纠?-6】 計(jì)算6階hilbert矩陣的行列式det(hilb(6)x1 = rand(10000, 1);x2 = randn(10000, 1);subplot(2,1,1); hist(x1, 40)

5、; title(均勻分布);subplot(2,1,2); hist(x2, 40); title(高斯分布);set(findobj(gcf, type, patch),EdgeColor, w); % 改邊線為白色 【例1-7】產(chǎn)生10000個(gè)均勻均勻與正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)矩陣指令rand 和 randn4、建立大矩陣大矩陣可由方括號(hào)中的小矩陣建立起來(lái)。A=1 2 3;4 5 6;7 8 0; 冒號(hào)表達(dá)式的一般格式：v=s1:s2:s3還可以用linspace函數(shù)產(chǎn)生行向量：linspace(a,b,n)linspace(a,b,n)與與a:(b-a)/(n-1):b等價(jià)等價(jià)C=A,

6、eye(size(A);ones(size(A),AA=A;1 2 3;1;2;3;4;【例1-8】使用小矩陣構(gòu)造大矩陣【例1-9】 用不同的步距生成 (0,p) 間向量V1=0:0.2:piV3=0:-1:piV2=0:piV4=pi:-1:0V5=0:0.2:pi,piV7=0:pi/100:piV6=linspace(0,pi,100)二、對(duì)矩陣元素的操作 矩陣A中，位于第i行、第j列的元素可表示為A(i,j) i與j即是此元素的下標(biāo)Subscript或索引Index MATLAB中所有矩陣的內(nèi)部表示法都是以列為主的一維向量 A(i,j)和A(i+(j-1)*m)是完全一樣的m為矩陣A的

7、列數(shù) 1、矩陣的索引或下標(biāo)我們可以使用一維或二維下標(biāo)來(lái)存取矩陣A=4 10 1 6 2;8 2 9 4 7; 7 5 7 1 5;0 3 4 5 4;23 13 13 0 3 2 、矩陣元素MATLAB允許用戶對(duì)一個(gè)矩陣的單個(gè)元素進(jìn)行賦值和操作。例如 A(3,2)=200也可以采用矩陣元素的序號(hào)來(lái)引用矩陣元素。矩陣元素按列編號(hào)，先第一列，再第二列，依次類推。以mn矩陣A為例，矩陣元素A(i,j)的序號(hào)為：(j-1) *m+i。其相互轉(zhuǎn)換關(guān)系也可利用sub2ind和ind2sub函數(shù)求得。(1) 利用冒號(hào)表達(dá)式獲得子矩陣 A(:,j)表示取A矩陣的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩陣第i行的全

8、部元素；A(i,j)表示取A矩陣第i行、第j列的元素。 A(i:i+m,:)表示取A矩陣第ii+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩陣第kk+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩陣第ii+m行內(nèi)，并在第kk+m列中的所有元素。 利用一般向量和end運(yùn)算符等來(lái)表示矩陣下標(biāo)，從而獲得子矩陣。end表示某一維的末尾元素下標(biāo)。 B1=A(1:2:end,:)B3=A(:,end:-1:1)B2=A(3,2,1,2:4)A(:,2,4)=ones(4,2) 4、利用空矩陣刪除矩陣的元素在MATLAB中，定義 為空矩陣。給變量X賦空矩陣的語(yǔ)句為X= ?！咀⒁狻縓= 與clear

9、 X不同，clear是將X從工作空間中刪除，而空矩陣那么存在于工作空間，只是維數(shù)為0。將某些元素從矩陣中刪除，采用將其置為空矩陣的方法就是一種有效的方法。【例2-2】A(2,3,:=fliplr(Aflipud(A)rot90(A) rot90(rot90(A) A=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12A1=diag(A)A2=diag(A,1)A3=diag(A,-1)B1=diag(A1,1)B2=diag(A3,1)6 選取對(duì)角元素7 選取上下三角元陣c1=tril(A)c2=tril(A,1)c3=tril(A,-1)d1=triu(A)d2=triu(A,1)D3=t

10、riu(A,-1) 1、直接創(chuàng)立稀疏矩陣?yán)豪篠=sparse(i,j,s,m,n)其中其中i 和和j 分別是矩陣非零元素的分別是矩陣非零元素的行和列指標(biāo)行和列指標(biāo)向量，向量，s 是非零元素值是非零元素值向量，向量，m，n 分別是矩陣的行數(shù)和分別是矩陣的行數(shù)和列數(shù)。列數(shù)。S2=sparse(1 2 2 3 4 4,3 1 3 4 2 3,. 5 3 3 1 4 3,4,4)稀疏矩陣的輸入與生成 2、從文件中創(chuàng)立稀疏矩陣?yán)涸O(shè)文本文件例：設(shè)文本文件 中有三列內(nèi)容，第一列是一些行下中有三列內(nèi)容，第一列是一些行下標(biāo)，第二列是列下標(biāo)，第三列是非零元素值。標(biāo)，第二列是列下標(biāo)，第三列是非零元素值。1 3

11、 52 1 32 3 33 4 14 2 44 3 3利用利用load和和spconvert函數(shù)可以從函數(shù)可以從包含一系列下包含一系列下標(biāo)和非零元素的文本文件標(biāo)和非零元素的文本文件中輸入稀疏矩陣。中輸入稀疏矩陣。load S=spconvert(T) 3、稀疏帶狀矩陣的創(chuàng)立例：例：S=spdiags(B,d,m,n)其中其中m 和和n 分別是矩陣的行數(shù)和列數(shù)；分別是矩陣的行數(shù)和列數(shù)；d是長(zhǎng)度為是長(zhǎng)度為p的整數(shù)向量，它指定矩陣的整數(shù)向量，它指定矩陣S的對(duì)角線位置；的對(duì)角線位置；B是是全元素矩陣，用來(lái)給定全元素矩陣，用來(lái)給定S對(duì)角線位置上的元素，對(duì)角線位置上的元素，行數(shù)為行數(shù)為min(m,n)，列

12、數(shù)為，列數(shù)為p 。B=rand(4,2);S3=spdiags(B,0 1,4,4) 4、滿矩陣與稀疏矩陣之間的轉(zhuǎn)化例：例：S=sparse(A)A=full(S)A=0 0 5 0; 3 0 3 0 ; 0 0 0 1; 0 4 3 0S=sparse(A)whos1. 數(shù)學(xué)運(yùn)算2. 邏輯運(yùn)算三、 Matlab根本運(yùn)算3. 比較運(yùn)算4. 位運(yùn)算符5. 集合運(yùn)算符一、數(shù)學(xué)運(yùn)算MATLAB的根本算術(shù)運(yùn)算有：(加)、(減)、*(乘)、/(右除)、(左除)、(乘方)、共軛轉(zhuǎn)置正號(hào)+,負(fù)號(hào)-【注意】運(yùn)算是在矩陣意義下進(jìn)行的，單個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)運(yùn)算只是一種特例。2. 點(diǎn)運(yùn)算點(diǎn)運(yùn)算符有.*、./、.和.。兩矩

13、陣進(jìn)行點(diǎn)運(yùn)算是指它們的對(duì)應(yīng)元素進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，要求兩矩陣的維參數(shù)相同。 1. 根本算術(shù)運(yùn)算1.轉(zhuǎn)置.,冪次.共軛轉(zhuǎn)置,矩陣冪次2.正號(hào)+,負(fù)號(hào)-3.乘法.*,元素右除./,元素左除.,矩陣乘法*,矩陣右除/,矩陣左除4.加法+,減法-5.冒號(hào):例如： x = 1:2:5 等數(shù)學(xué)運(yùn)算符之優(yōu)先級(jí):同一類的運(yùn)算符均具有相同的優(yōu)先度(Priority),因此在計(jì)算上，是由左至右依次完成矩陣的數(shù)學(xué)運(yùn)算矩陣的數(shù)學(xué)運(yùn)算 矩陣的加減與一般標(biāo)量Scalar的加減類似 相加或相減的矩陣必需具有相同的維度 A = 12 34 56 20;B = 1 3 2 4;C = A + BC1= A-B 例1: 加減法運(yùn)算矩陣

14、與純量可以直接進(jìn)行加減，MATLAB 會(huì)直接將加減應(yīng)用到每一個(gè)元素 A=1 2 3 2 1 + 5矩陣的加減法運(yùn)算矩陣的乘法與除法標(biāo)量對(duì)矩陣的乘或除，可比照一般寫法 A = 1 2 3; 4 4 2; C = A/3 B = 2*A欲進(jìn)行矩陣相乘，必需確認(rèn)第一個(gè)矩陣的列數(shù) Column Dimension 必需等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)Row Dimension 例2:矩陣的乘法A = 1; 2; B = 3, 4, 5; C = A*B 矩陣除法假設(shè)A為非奇異方陣，那么X=A-1B假設(shè)A為非奇異方陣，那么X=BA-1矩陣左除：AX = B，求 XMATLAB 求解：X=AB最小二乘解矩陣右除：XA

15、 = B，求 XMATLAB求解：X=B/A最小二乘解注：假設(shè)A為非奇異方陣，那么A-1在Matlab中為inv(A)矩陣的次方運(yùn)算矩陣的次方運(yùn)算，可由“來(lái)達(dá)成，但矩陣必需是方陣，其次方運(yùn)算才有意義 A = magic(3);B = A2例3：復(fù)數(shù)矩陣z，其“共軛轉(zhuǎn)置矩陣(Conjugate Transpose)可表示成矩陣z 轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置矩陣i = sqrt(-1);% 單位虛數(shù)單位虛數(shù)z = 1+i, 2; 3, 1+2i;w = z % 共軛轉(zhuǎn)置共軛轉(zhuǎn)置(注意注意z后面的單引號(hào)后面的單引號(hào)) 例4: 矩陣共軛轉(zhuǎn)置i = sqrt(-1);% 單位虛數(shù)單位虛數(shù)z = 1+i, 2; 3,

16、 1+2i;w = z.% 單純轉(zhuǎn)置單純轉(zhuǎn)置(注意注意z后面的句點(diǎn)及單引號(hào)后面的句點(diǎn)及單引號(hào))想得到任何矩陣z的轉(zhuǎn)置Transpose，那么可表示成矩陣矩陣z.例5:矩陣的轉(zhuǎn)置假設(shè)z為實(shí)數(shù)，那么z和z.的結(jié)果是一樣的2、點(diǎn)運(yùn)算矩陣對(duì)應(yīng)元素的直接運(yùn)算 例如A =1 2 3；4 5 6；7 8 0B = A.ABAC* .ijijijbac 087654321AAAB. 3MATLAB數(shù)組運(yùn)算函數(shù)1. 規(guī)那么：設(shè)X=(xij)mn，那么 f (X)=(f (xij)mnsin cos tan cot sec csc asin acos atan acot asec acsc2. 常用數(shù)學(xué)函數(shù)三角與

17、反三角與反三角函數(shù)三角函數(shù)exp log log10 sqrt pow2ceil fix floor round rem signabs angle conj imag real指數(shù)與對(duì)數(shù)指數(shù)與對(duì)數(shù)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)取整函數(shù)取整函數(shù)cart2sph cart2pol pol2cart sph2pol 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)轉(zhuǎn)換注：假設(shè)要對(duì)函數(shù)進(jìn)行矩陣運(yùn)算，方法為：funm(X,f)size(A) %矩陣的大小inv(A) %矩陣的逆det(A) %矩陣的行列式rank(A) %矩陣的秩rref(A) %矩陣列的極大無(wú)關(guān)組orth(A) %矩陣化為正交陣trace(A) %矩陣的跡chol(A) %三角分解

18、,A=L*LTlu(A) %A對(duì)稱，A=L*U U,S,V=svd(A) %A=U*S*Vqr(A) %A=q*r(q正交陣正交陣,r三角陣三角陣norm(A,1|2|p|inf|fro) %矩陣的模cond(A) %矩陣的條件數(shù)eig(A) %A*x= *xV,D=eig(A) %A*V=V*Deig(A,B) %A*x= *B*xV,D=eig(A,B) %A*V=B*V*D例：設(shè)A=pascal(4),B=magic(4)，并使用以下函數(shù)進(jìn)行計(jì)算向量的p-norm一個(gè)向量a的p-norm可以定義為 11ip,aa/ppipp=2 時(shí)，此即為向量時(shí)，此即為向量 a 的長(zhǎng)度，或稱歐氏長(zhǎng)度的長(zhǎng)

19、度，或稱歐氏長(zhǎng)度Euclidean Length 欲求一向量的p-norm，可使用norm指令norm(x,p)a = 3 4;x = norm(a, 1) % x = 7y = norm(a, 2) % y = 5z = norm(a, inf) iia)norm(a,1ia)norm(a,imaxinf 注意： 矩陣A的p-norm可以定義如下：ppxpxAxAmax例9: normMatrixnorm 指令亦可用于計(jì)算矩陣的 p-normA = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9;norm(A, 2)Cholesky分解是將一個(gè)對(duì)稱的正定矩陣分解為一個(gè)上三角矩陣和其轉(zhuǎn)置的乘積。X=p

20、ascal(5)R=chol(X)C=R*RLU分解是將原正方 (square) 矩陣分解成一個(gè)上三角形矩陣或是排列(permuted) 的上三角形矩陣和一個(gè) 下三角形矩陣，這樣的分解法又稱為三角分解。命令格式為：L,U=lu(A)L,U,P=lu(A)例如：B=1 3 2; -2 -6 1; 2 5 7L,U=lu(B)L*UL,U,P=lu(B)P*L*UQR分解法是將矩陣分解成一個(gè)正規(guī)正交矩陣與上三角形矩陣，矩陣A不必為正方矩陣。 A=1 3 2 5; -2 -6 1 6; 2 5 7 2Q,R=qr(A)Q*QQ*R奇異值分解 (sigular value decomposition,

21、SVD) 是另一種正交矩陣分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的計(jì)算時(shí)間。U,S,V=svd(A)，其中U和V代表二個(gè)相互正交矩陣，而S代表一對(duì)角矩陣。 和QR分解法相同者， 原矩陣A不必為正方矩陣。A=1,2;3,1S,V,D=svd(A)矩陣的比較運(yùn)算, =, , 5aba=b關(guān)系運(yùn)算符的用法:關(guān)系運(yùn)算符的用法A=1 2 3; 4 5 6;7 8,0b=A5A(b)3、同維矩陣間比較；返回0-1矩陣2、矩陣與一數(shù)比較返回0-1矩陣?yán)?:給出矩陣A中大與5的元素值例3: 接上例,設(shè)B=magic(3)B=magic(3);BAfind指令 : 可傳回非零元素索引,

22、顯示一維索引或下標(biāo) 元素索引元素索引index=find(A5) 可以將關(guān)系運(yùn)算符返回的0-1矩陣,來(lái)進(jìn)行矩陣的索Indexing求出在A矩陣中，滿足AijBij的元素 x = 0 1 2; 0 0 3 index = find(x) x(index) x(index)那么是非零元素所形成的向量那么是非零元素所形成的向量 要找出滿足某條件的二維索引或下標(biāo)2維索引idx1,idx2=find(x5) idx1和idx2分別是符合條件之矩陣元素的列索引(Row Index)及行索引(Column Index)例:如何找出介于7和11的元素?x = magic(5)x(find(7x&x11

23、) 【例2.4 】產(chǎn)生5階隨機(jī)方陣A，其元素為10,90區(qū)間的隨機(jī)整數(shù)，然后判斷A的元素是否能被3整除并取出這些元素。 (1) 生成5階隨機(jī)方陣A。A=fix(90-10+1)*rand(5)+10)(2) 判斷A的元素是否可以被3整除。P=rem(A,3)=0(3) 取出A中能被3整除的元素。A1=A(P)矩陣的邏輯運(yùn)算矩陣的邏輯運(yùn)算MATLAB提供了4種邏輯運(yùn)算符：邏輯變量&(與)、|(或)、(非)和xor。對(duì) double 變量來(lái)說(shuō)，非 0 表示邏輯 1設(shè)A與B為兩個(gè)命題邏輯運(yùn)算相應(yīng)元素間的運(yùn)算n與運(yùn)算n或運(yùn)算n非運(yùn)算n異或運(yùn)算 A&BA|BAXor(A,B)數(shù)值為1那么

24、為True,數(shù)值為0那么為False當(dāng)所有向量元素為真(非零),那么all指令傳回1，否那么為0。當(dāng)任一向量元素為真(非零)，那么any指令傳回1，否那么為0。 相關(guān)的指令有all及any:a = 0 1 2 3 result1 = all(a)retult2 = any(a)result3 = any(a0) 范例all 及 any 指令也可以接受矩陣輸入，此時(shí)他們會(huì)對(duì)每一個(gè)行向量進(jìn)行運(yùn)算 【例】在0,3區(qū)間，求y=sin(x)的值：要求消去負(fù)半波方法方法1：x=0:pi/100:3*pi; y=sin(x);y1=(x2*pi).*y; %消去負(fù)半波消去負(fù)半波q=(xpi/3&x7

25、*pi/3&x=0).*y; %消去負(fù)半波消去負(fù)半波p=sin(pi/3);y2=(y=p)*p+(y=a&t=a&t=z)轉(zhuǎn)置： 無(wú)論是中文或英文，每一個(gè)字符都會(huì)占用兩個(gè)字節(jié)(2Bytes)，故字符串變量t總共由35個(gè)字符構(gòu)成，占用的內(nèi)存總計(jì)為70個(gè)字節(jié)(70bytes) 字符的儲(chǔ)存 whos 指令: 檢視字符串變量t所占用儲(chǔ)存空間(whos變量) MATLAB 是以兩個(gè)字節(jié)來(lái)儲(chǔ)存一個(gè)字符，所以也可以支持中文碼，而且中文的ASCII內(nèi)碼都會(huì)大于數(shù)字128 由于 MATLAB 將字符串以其相對(duì)應(yīng)之 ASCII 內(nèi)碼即數(shù)字形式儲(chǔ)存成一列向量，故假設(shè)對(duì)此字符串直接進(jìn)行數(shù)值運(yùn)

26、算，MATLAB 會(huì)先將此字符串轉(zhuǎn)成數(shù)值，再進(jìn)行一般數(shù)值向量的運(yùn)算 z=安徽工業(yè)大學(xué)安徽工業(yè)大學(xué) whos zz=z+1char(z) eval 指令: 直接“執(zhí)行某一特定字符串，其效果就如同直接在 MATLAB 指令窗口內(nèi)輸入此一特定字符串 eval 指令特別適用于在for-loop內(nèi)自動(dòng)產(chǎn)生有規(guī)律的變量名稱,例如：clear all % 去除所有變量去除所有變量for i = 3:6eval( x,int2str(i),. =magic(,int2str(i),);); end whos x* x3,x4,x5,x6 都是在for-loop中產(chǎn)生的變量，分別代表維度為33、44、55、66

27、的魔方陣 class 或 ischar 指令: 判斷某一個(gè)變量是否為字符串 chinese=今日事，今日畢今日事，今日畢out1=class(chinese)%out1的值是的值是“char，代表，代表chinese是字符串變是字符串變量量x = chinese+1;out2 = ischar(x) %out2的值是的值是0，代表，代表x不是一個(gè)字符串變量不是一個(gè)字符串變量 第一種方法是使用二維字符數(shù)組Two Dimensional Character Arrays必須先確認(rèn)每個(gè)字符串即每一行的長(zhǎng)度一樣，否那么就必須在短字符串結(jié)尾補(bǔ)上空格符departments=ee ;cs ;econ %注

28、意空格符的使用 departments=char(ee,cs,econ) %注意注意“()及及“,的使用的使用 從二維字符數(shù)組抽取出字符串時(shí)，切記要使用 deblank 指令來(lái)移除尾部的空格符 departments = char(ee,cs,econ) dept1 = departments(1,:) % (1,:)代表第一行的元素代表第一行的元素 dept2 = deblank(dept1) % 使用使用 deblank 指令來(lái)移除尾部的空格符指令來(lái)移除尾部的空格符 len1 = length(dept1) % 顯示變量顯示變量 dept1 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度=4 len2 = length(dept2) % 顯示變量顯示變量 dept2 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度=2 str1 = today; str2 = tomorrow; str3 = today; out1 = strcmp(str1, str2) % 比較兩字符串比較兩字符串 str1 和和 str2 = 0out2 = strcmp(str1, str3) % 比較兩字符串比較兩字符串 str1 和和 str3 = 1 strcmp(s1,s2): 比較串比較串s1和和s2,相等返回相等返回1,否那么為否那么為0strncmp(s1,s2): 用于比較用于比較s1,s