DFT性質(zhì)及DFT應用的研究

1、DFT性質(zhì)及DFT應用的研究易長城生物醫(yī)學工程專業(yè)2014級本科指導老師：王燕 李霞摘要：為了掌握DFT正變換及反變換之間的計算關(guān)系；觀察和分析 DFS 應用中存在的混疊、泄漏、柵欄效應等問題和改善途徑、方法；了解 DFT 實部、虛部之對應關(guān)系；驗證 DFT 的若干性質(zhì)；學習 Matlab 中子程序的編寫和調(diào)用；運用matlab編程，研究DFT的性質(zhì)和以及可能在應用出現(xiàn)的問題；通過上述方法，實現(xiàn)了DFT函數(shù)的編程和調(diào)用，詳細探究了DFT的在時域和K域的能量守恒關(guān)系、復數(shù)序列的圓周相關(guān)定理，觀察了DFT在采樣頻率不夠時的混疊現(xiàn)象、沒加窗之前的泄露現(xiàn)象以及柵欄效應。關(guān)鍵詞： DFT matlab

2、時域 K域 Abstract：In order to understand the relationship between DFT positive transform and inverse transformation, we can observe and analyze the problems such as aliasing, leakage and fence effect in DFS application, and improve the way and method. We understand the correspondence between DFT real p

3、art and imaginary part. The use of matlab programming, research the nature of DFT and may be in the application of the problem; through the above method to achieve the DFT function programming and call, a detailed study of the DFT in the Time domain and K domain, the algebraic phenomenon of DFT in t

4、he case of insufficient sampling frequency, the leakage phenomenon and the fence effect before windowing are observed.Keywords：DFT matlab time domain K domain1.前言：了掌握DFT正變換及反變換之間的計算關(guān)系；觀察和分析 DFS 應用中存在的混疊、泄漏、柵欄效應等問題和改善途徑、方法；了解 DFT 實部、虛部之對應關(guān)系；驗證 DFT 的若干性質(zhì)；學習 Matlab 中子程序的編寫和調(diào)用。應用前景及研究現(xiàn)狀：MATLAB 的應用范圍非常廣，

5、包括信號和圖像處理、通訊、控制系統(tǒng)設(shè)計、測試和測量、財務(wù)建模和分析以及計算生物學等眾多應用領(lǐng)域。附加的工具箱（單獨提供的專用MATLAB函數(shù)集）擴展了MATLAB 環(huán)境，以解決這些應用領(lǐng)域內(nèi)特定類型的問題。2.理論和方法2.1理論DFT的定義離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，縮寫為DFT），是傅里葉變換在時域和頻域上都呈離散的形式，將信號的時域采樣變換為其DTFT的頻域采樣。在形式上，變換兩端（時域和頻域上）的序列是有限長的，而實際上這兩組序列都應當被認為是離散周期信號的主值序列。即使對有限長的離散信號作DFT，也應當將其看作其周期延拓的變換。公式如下Xk=

6、DFTxn=n=0N-1x(n)WNnk,0kN-1xn=IDFTXk=1Nk=0N-1X(k)WN-nk, 0nN-1在用 DFT 計算連續(xù)信號時可能出現(xiàn)，頻譜混疊；頻譜泄露；柵欄效應等問題。MATLABMATLAB是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術(shù)計算語言和交互式環(huán)境，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分。MATLAB是matrix&laboratory兩個詞的組合，意為矩陣工廠（矩陣實驗室）。它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境

7、中，為科學研究、工程設(shè)計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當今國際科學計算軟件的先進水平。2.2方法編寫一個對xn=sin(n)n(-1)n,n=0,1,2,.,31進行DFT正變換和逆變換的程序；序列 x(n)的N點DTFT的物理意義是對X(ejw)的在0，2上進行 N 點等間隔采樣。xn=R4(n) Xejw=DTFTxn=1-e-j4w1-e-jw,繪出相頻曲線和幅頻曲線，令w=2k/N，分別計算并圖示x(n)的8點、16點DFT；驗證能量守恒關(guān)系S1=n=0N-1x(n)

8、y*(n) 時域能量；S2=1Nk=0N-1XkY*k K域能量；其中x(n)=sin(n/8)+i*cos(2n) n=0,1,31 ym=DFTx(n) m=0,1,31混疊現(xiàn)象衰減正弦信號 x(t)=1+sin(7f0t)cos(2f0t), f0=120Hz, fs=200Hz,采樣點數(shù) N=64，繪出相頻曲線和幅頻曲線，觀察混疊現(xiàn)象；泄露現(xiàn)象x(t)= cos(2f 0 t),f 0 =60Hz,fs=200Hz,采樣點數(shù) N=64；哈明窗函數(shù)：w(n)=0.54-0.46cos(2n/N),n=0,1,2,N-1 分別圖示x(n)的頻譜，窗函數(shù)頻譜以及加窗后的頻譜(x(t)*w(n

9、)即為加窗后函數(shù))柵欄效應內(nèi)容1的x(n)取07記為x(n)，并補零至L點，L分別為16,32,64；計算并顯示x(n)的頻譜X(k),與x(n)的頻譜X(k)比較，觀察補零的效果。驗證圓周相關(guān)定理若Rxx=XkY*k;則有rxy=n=0N-1xny*n-mNRN(m),其中x(n),y(n)均為復數(shù)序列。3結(jié)果n=0:1:31;k=0:1:31;N=32;xn=sin(n).*n.*(-1).n;subplot(3,2,1);plot(xn);title('ԭͼ');subplot(3,2,2);stem(xn);title(

10、9;ԭͼ');WN=exp(-j*2*pi/N);nk1=n'*k;WNnk=WN.nk1;Xk=xn*WNnk;subplot(3,2,3);plot(abs(Xk);title('DFT');subplot(3,2,4);stem(abs(Xk);title('DFT');nk2=n'*k;WNnk=WN.(-nk2);xn1=(Xk*WNnk)/N;subplot(3,2,5);plot(real(xn1);title('IDFT')subplot(3,2,6);stem(

11、real(xn1);title('IDFT')圖 1N1=1024;x1=(0:2*pi/1024:2*pi);X1=(1-exp(-1i*4*x1)./(1-exp(-1i*x1);N2=8;for i=1:N2; X2(i)=X1(i*N1/N2); x2(i)=2*pi*i/N2;endN3=16;for i=1:N3; X3(i)=X1(i*N1/N3); x3(i)=2*pi*i/N3;endsubplot(3,2,1),plot(x1,abs(X1),title('X1µÄ·ùƵÇ

12、50;Ïߣ¬N=1024');subplot(3,2,2),plot(x1,angle(X1),title('X1µÄÏàƵÇúÏߣ¬N=1024');subplot(3,2,3),stem(x2,abs(X2),title('X2µÄ·ùƵÇúÏߣ¬N=8');sub

13、plot(3,2,4),stem(x2,angle(X2),title('X2µÄÏàƵÇúÏߣ¬N=8');subplot(3,2,5),stem(x3,abs(X3),title('X3µÄ·ùƵÇúÏߣ¬N=16');subplot(3,2,6),stem(x3,angle(X3),title('X3&#

14、181;ÄÏàƵÇúÏߣ¬N=16'); 圖 2clc;clear all;n=0:1:31;xn=sin(n/8)+j*cos(2*n);yn=dft(xn,32);yn1=conj(yn);for n=0:1:31 s1=sum(xn.*yn1);endXk=dft(xn,32);yn=Xk;圖 3Yk=dft(yn,32);Yk1=conj(Yk);for k=0:1:31; s2=sum(Xk.*Yk1)/32;endclc,clear all;fs=200;f0=

15、120;N=64;Ts=1/fs;n=1:N;xt=(1+sin(7*pi*f0*n*Ts).*cos(2*pi*f0*n*Ts);Xk=dft(xt,64);subplot(2,2,1);plot(abs(Xk);title('·ùƵ')subplot(2,2,2);stem(abs(Xk);title('·ùƵ')subplot(2,2,3);plot(angle(Xk);title('ÏàƵ')subplot(2,2

16、,4);stem(angle(Xk);title('ÏàƵ')圖 4clc,clear all;N=64;fs=200;f0=60;Ts=1/fs;n=1:N;x=cos(2*pi*f0*n*Ts); Xk=dft(x,64);subplot(3,2,1)plot(abs(Xk);title('Ô­º¯ÊýµÄƵÆ×') subplot(3,2,2);stem(abs(Xk);title('&

17、#212;­º¯ÊýµÄƵÆ×') n=0:(N-1);wn=0.54-0.46*cos(2*pi*n/N); Wn=dft(wn,64);subplot(3,2,3);plot(abs(Wn);title('´°º¯ÊýµÄƵÆ×')subplot(3,2,4);stem(abs(Wn);title('´°&#

18、186;¯ÊýµÄƵÆ×')x2=wn.*x;X2=dft(x2,64);subplot(3,2,5);plot(abs(X2);title('¼Ó´°ºóµÄƵÆ×')subplot(3,2,6);stem(abs(X2);title('¼Ó´°ºóµÄÆ

19、81;Æ×')圖 5clc,clear all;n=0:7;N=8;xn1=sin(n).*n.*(-1).n;Xn1=dft(xn1,8);subplot(4,1,1);stem(abs(Xn1);title('N=8');n=0:15;N=16;xn2=sin(n).*n.*(-1).n;Xn2=dft(xn2,16);subplot(4,1,2);stem(abs(Xn2);title('N=16');n=0:31;N=32;xn3=sin(n).*n.*(-1).n;Xn3=dft(xn3,32);subplot(4,1,3);stem(abs(Xn3);title('N=32');n=0:63;N=64;xn4=sin(n).*n.*(-1).n;Xn4=dft(xn4,64);subplot(4,1,4);stem(abs(Xn4);title('N=64');圖 6clc,clear all;x=1+1i,1-1i,2+1i,2-1i,3+1i,3-1i,4+1i,4-1i;y=1-1i