六年級奧數(shù)分數(shù)應用題之工程問題

1、分數(shù)應用題之工程問題第四講教學目標 工程問題是分數(shù)應用題中最重要的一大類，因為處理這類問題的解題技巧獨特且應用廣泛，所以工程問題往往受出題者青睞，在各種數(shù)學競賽和小升初考試中，工程問題和需要使用工程問題算術方法的類工程問題也經(jīng)常出現(xiàn)。1. 工程問題的基本數(shù)量關系與一般解法；2. 工程問題中的常見解題方法；3. 工程問題算術方法在其他類型式題中的使用。經(jīng)典精講工程問題，究其本質是運用分數(shù)應用題的量率對應關系，即用對應分率表示工作總量與工作效率，這種方法可以稱作是一種“工程習慣”，這一類問題稱之為“工程問題”。1. 解題關鍵是把“一項工程”看成一個單位，運用公式：工作效率×工作時間=工作

2、總量，表示出各個工程隊（人員）或其組合在統(tǒng)一標準和單位下的工作效率。2. 利用常見的數(shù)學思想方法，如代換法、比例法、列表法、方程法等。拋開“工作總量”，和“時間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關系，轉化出與所求相關的工作效率，最后利用先前的假設“把整個工程看成一個單位”，求得問題答案，一般情況下，工程問題求的是時間。有的情況下，工程問題并不表現(xiàn)為兩個工程隊在“修路筑橋、開挖河渠”，甚至會表現(xiàn)為“行程問題”、“經(jīng)濟價格問題”等等，工程問題不僅指一種題型，更是一種解題方法?；绢}型【例1】 一項工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要天，如果由乙單獨做需要天完成，求如果甲、乙、丙合作，完

3、成這項工程需要多少天？【分析】 將整個工程的工作量看作“1”個單位，那么甲、乙每天完成總量的，乙、丙每天完成總量的，乙單獨做每天能完成總量的，所以三人合作的話，12天能完成?！纠?】 一項工程，甲單獨做天完成，乙單獨做天完成。甲、乙合作了幾天后，乙因事請假，甲繼續(xù)做，從開工到完成任務共用了天。乙請假多少天? 【分析】 （法一）甲一共干了天，完成了，還有，是乙做的，乙干了了（天），休息了（天），請假天數(shù)為：（天）。（法二）假設乙沒有請假，則兩人合作天，應完成，超過單位“1”的，則乙請假（天）。【拓展】一項工程，甲隊單獨干天可以完成，甲隊做了天后，由于另有任務，剩下的工作由乙隊單獨做天完成問：乙隊

4、單獨完成這項工作需多少天？【分析】甲的工作效率：，甲的工作量：， 乙的工作量：，乙的工作效率：， 所以乙單獨完成這項工作需天。【例3】 搬運一個倉庫的貨物，甲需小時，乙需小時，丙需小時。有同樣的倉庫和，甲在倉庫，乙在倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫甲搬運，中途又轉向幫乙搬運，最后同時搬完兩個倉庫的貨物。丙幫助甲、乙各搬運了幾小時？【分析】 （1）甲、乙、丙搬完兩個倉庫共用了：小時。（2）丙幫助甲搬運了小時。（3）丙幫乙搬運了小時?！就卣埂考住⒁?、丙三隊要完成，兩項工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果讓甲、乙、丙三隊單獨做，完成工程所需時間分別是天，天，天.現(xiàn)在讓甲隊做工程，乙隊做工程，為了

5、同時完成這兩項工程，丙隊先與乙隊合做工程若干天，然后再與甲隊合做工程若干天.問丙隊與乙隊合做了多少天？【分析】三隊合做完成二項工程所用的天數(shù)天， 丙幫乙隊做的天數(shù)：天。技巧與方法一、 代換法【例4】 一池水，甲、乙兩管同時開，5小時灌滿，乙、丙兩管同時開，4小時灌滿?，F(xiàn)在先開乙管6小時，還需甲、丙兩管同時開2小時。乙單獨開幾小時可以灌滿？【分析】 根據(jù)“現(xiàn)在先開乙管6小時，還需甲、丙兩管同時開2小時灌滿”，我們可以把乙管的6小時分成3個2小時，第一個2小時和甲同時開，第二個2小時和丙同時開、第三個2小時單獨開。這樣就變成了甲、乙同時開2小時，乙、丙同時開2小時，乙獨開2小時，正好灌滿一池水。可

6、以計算出乙單獨灌水的工作量為，所以乙的工作效率為，所以整池水由乙管單獨灌水，則需要（小時）?！眷柟獭恳豁椆こ?，甲獨做天完成，甲天的工作量，乙要天完成。兩隊合做天后由乙隊獨做，還要幾天才能完成？【分析】（法一）兩隊合做天，看做甲先做兩天，乙再做2天，然后再將剩下的工程完成，那么乙做的部分相當于甲做的4天，所以乙做了天，除去與甲合作的2天，以還要做天。（法二）甲的工作效率為，所以乙的工作效率為。兩隊合作2天后乙隊獨做還要天才能完成?！纠?】 一份文件，如果甲抄10小時，乙抄10小時可以抄完；如果甲抄8小時，乙抄13小時也可以抄完?，F(xiàn)在甲先抄2小時，剩下的甲乙合作，還需要幾小時才能完成？【分析】 由

7、題意可知：甲，乙合作的效率為：；乙單獨的工作效率為，所以甲單獨的效率。甲先抄2小時，剩下的甲乙合作，還需要小時?！纠?】 一項工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8天可完成。如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？【分析】 本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖：從圖中可以直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替換題中“甲工作5天”這一條件，通過此替換可知乙單獨做這一工程需20+4=24（天）完成，即乙的工作效率是。又因為乙工作4天的工作量和甲工作5天

8、的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的，甲、乙合作這一工程需用的時間為 (天)?！就卣埂恳患ぷ骷紫茸鲂r，乙接著做小時可以完成甲先做小時，乙接著做小時也可以完成如果甲做小時后由乙接著做，還需要多少小時完成？【分析】設甲與乙的工作效率分別為和， ， 所以這件工作的工作量：， 乙還需要：小時?！纠?】 某工廠的一個生產(chǎn)小組，生產(chǎn)一批零件，當每個工人在自己原崗位工作時，10小時可完成這項工作。如果交換工人和的工作崗位，其他工人生產(chǎn)效率不變時，就會晚1小時完成；如果交換工人和的工作崗位，其他工人生產(chǎn)效率不變時，就會提前1小時完成；問：如果同時交換工人和，和的工作崗位，其他工人生產(chǎn)效率不變，多久可以完成

9、這項工作？【分析】 最初的效率為 ，交換工人和后效率減少，交換工人和后效率增加，同時交換工人和，和后效率變?yōu)?，所需時間為：?！纠?】 一項工程，甲、乙、丙3人合作需13天完成，如果丙隊休息2天，乙就要多做4天，或者甲、乙合作多做1天。這項工程由甲單獨做，需要多少天完成？【分析】 丙2天的工作量等于乙4天的工作量，或等于甲、乙合作1天的工作量。假設乙的工作效率為1，那么丙的工作效率是2，甲的工作效率是4-1=3，甲、乙、丙的工效比是，甲的工效是，甲單獨做要天完成。二、 比例法【例9】 打印一份書稿，甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天才能完成。如果甲、乙合做2天，剩下的由乙獨做，那

10、么剛好在規(guī)定時間內完成。甲、乙兩合做需幾天完成？【分析】 根據(jù)“甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天才能完成。如果甲、乙合做2天，剩下的由乙獨做，那么剛好在規(guī)定時間內完成?！笨芍鬃?天的工作量等于乙做3天的工作量。完成這項工作甲、乙所用的時間比是，同時也說明甲、乙單獨做，乙用的時間比甲多3+2=5天。乙獨做的天數(shù)是：（天），甲獨做要15-5=10（天），甲乙合做需（天）。注：注意工程問題里也經(jīng)常用到比例，是因為工程問題的基本數(shù)量關系是乘法關系。其實這一點是與工程習慣無關的?！纠?0】 甲、乙兩輛清潔車執(zhí)行東、西城間的公路清掃任務甲車單獨清掃需10小時，乙車單獨清掃需15小時，兩

11、車同時從東、西城相向開出，相遇時甲車比乙車多清掃12千米問：東、西兩城相距多少千米？【分析】 （法一）先求出甲、乙相遇的時間：小時。甲清掃全長的，乙清掃了全部的。東西兩城相距千米。（法二）因為時間相等，路程比等于速度比，這樣相遇時甲、乙清掃的路程比是，甲行了全程的，乙行了全程的，全程就是千米。三、 列表法【例11】 放滿一個水池，如果同時打開1，2，3號閥門，則20分鐘可以完成；如果同時打開2，3，4閥門，則21分鐘可以完成；如果同時打開1，3，4號閥門，則28分鐘可以完成；如果同時打開1，2，4號閥門，則30分鐘可以完成。問：如果同時打開1，2，3，4號閥門，那么多少分可以完成？【分析】 根

12、據(jù)條件，列表如下：1號2號3號4號工作效率××××由表中可知，每個閥門都出現(xiàn)了三次，所以：（天）?！就卣埂磕彻こ倘绻傻谝?、二、三小隊合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小隊合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小隊合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小隊合干需要42天才能完成。那么這五個小隊一起合干需要多少天才能完成這項工程？【分析】首先將各個小隊之間的組合列成表：一隊二隊三隊四隊五隊工作效率××××××××如表：一隊、三隊在表中出現(xiàn)次，二隊、四隊、五隊、各出現(xiàn)

13、次，如果第二、四、五小隊的組合計算兩次，那么各種組隊的工作效率和中各個小隊都被計算了次。所以五個小隊的工作效率之和為：，五個小隊一起合干需要天。【例12】 一項工程，如果由甲、乙、丙共同工作，45天可以完成，需付工程款2700元；如果由甲、乙、丁共同工作，40天可以完成，需付工程款2800元；如果由乙、丙、丁共同工作，36天可以完成，需付工程款2880元；如果由甲、丙、丁共同工作，30天可以完成，需付工程款2700元，現(xiàn)決定將工程承包給某一工程隊，確保工程要100天以內完成，且支付的工程款盡量的少，那么應該將工程交給哪一個工程隊，支付的工程款是多少元？【分析】 甲、乙、丙、丁的工效和是：； 甲

14、的工效是：；乙的工效是：； 丙的工效是：；丁的工效是：。確保工程要100天以內完成，只能選擇丙隊或丁隊，然后比較支付的工程款。甲、乙、丙每天需要的工程款元；甲、乙、丁每天需要的工程款；乙、丙、丁每天需要的工程款元；甲、丙、丁每天需要的工程款元。甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的總和為元。甲、乙、丙、丁每天需要的工程款分別是元，元，元，元。如果由丙隊獨自完成整項工程，那么需要支付元，由丁隊來完成，需要支付元。相比較，工程應該交給丙隊。鞏固精練1. 一項工程，甲單獨完成需天，乙單獨完成需天若甲先做若干天后乙接著做，共用天完成，問甲做了幾天?【分析】甲工作效率，乙工作效率，假設甲工作了天，乙工作了天，

15、那么有 ，解得：。2. 抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當甲、乙每天工作效率和的。如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨抄需要多少天都能完成？【分析】 3人合抄只需8天就完成了，三人的合作工作效率為；甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和，說明甲的工作效率等于乙、丙合作工作效率，且都是三人合作效率的一半，即；丙的工作效率相當甲、乙每天工作效率和的，即甲、乙合作工作效率為丙的5倍，甲=乙+丙，甲+乙=5丙，則乙的工作效率是丙的2倍，那么，乙的工作效率=×=，所以，乙一人單獨抄需要24天才能完成。3. 有甲、乙兩項工作，張單獨完

16、成甲工作要10天，單獨完成乙工作要15天；李單獨完成甲工作要 8天，單獨完成乙工作要20天。如果每項工作都可以由兩人合作，那么這兩項工作都完成最少需要多少天？【分析】 很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高。因此讓李先做甲，張先做乙。設乙的工作量為“1”個單位，張每天完成，李每天完成份。8天，李就能完成甲工作。此時張還余下乙工作。由張、李合作需要天；所以完成所有工作需要（天）。4. 一件工程，甲隊獨做12天可以完成，甲隊做3天后乙隊做2天恰可完成一半，現(xiàn)在甲乙兩隊合做若干天后，由乙隊單獨完成,做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時間相等，則共用多少天？【分析】 甲隊做6天完成一半，甲隊做3天乙隊

17、做2天也完成一半，,所以甲隊做3天相當于乙隊做2天。即甲的工作效率是乙的，從而乙獨做天完成。所說兩段所用時間相等,每段時間應是天，因此共用3×2=6天。 競技跳水比賽主要包括跳臺和跳板，比賽時運動員要完成規(guī)定和自選動作，最后以兩種動作的總分決定名次。年北京奧運會設男、女個人米跳臺和米跳板，以及男、女雙人米跳臺和米跳板共個項目。比賽在北京奧林匹克公園的國家游泳中心舉行。跳水池面積為米米，池深·米。    跳水的男子個人和雙人項目各需完成個動作，女子個人和雙人項目各需完成個動作。跳板比賽中，女子包括個不同組別無難度系數(shù)限制的動作，男子則包

18、括個無難度系數(shù)限制的動作，其中個動作來自不同的組別，另個動作從個組別中任選。跳臺的女子比賽含個不同組別的無難度系數(shù)限制的動作，男子比賽包括個不同組別的無難度系數(shù)限制的動作。    奧運會跳水比賽先進行預賽，然后選出名成績最好的運動員參加決賽。決賽時，必須重復預賽時的全部動作，最后以決賽成績總分多者為優(yōu)勝。雙人比賽沒有預賽，直接進行決賽，決賽有對選手參加。農(nóng)夫看到獵人的羅網(wǎng)里有一只老鷹，而那只老鷹的翅膀受傷了，正在羅網(wǎng)里傷心地哭泣。農(nóng)夫見狀動了惻隱之心，便對獵人說：“老哥，把這只老鷹賣給我吧，我很喜歡它。”獵人同意了農(nóng)夫的請求。農(nóng)夫把老鷹帶回家，為它洗凈了傷口，包扎好后，還給它喂了一些糧食。老鷹在農(nóng)夫的精心照顧下，傷口好得很快。農(nóng)夫從地里回來，發(fā)現(xiàn)老鷹已不知什么時候從他家里飛走了。農(nóng)夫很后悔，自言自語地說：“真沒良心，我救了它一命，現(xiàn)在連謝謝都沒說就飛走了，我以后再也不做好事了?！蹦硞€冬日，農(nóng)夫正靠著墻根