2018人教B版必修5解三角形單元試題

1、第一章檢測試題(時(shí)間:90分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分)1.在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,若a=,A=,b=,則B等于(A)(A) (B)(C)或(D)或解析:因?yàn)閍=,A=,b=,所以由正弦定理可得sin B=,因?yàn)锽(0,),a>b,所以A>B,所以B=.故選A.2.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,asin B=sin C,cos C=,ABC的面積為4,則c等于(D)(A)3(B)4(C)5(D)6解析:由asin B=sin C,cos C=,得ab=c,sin C=.所以absin C=

2、5;c×=4,解得c=6.故選D.3.在ABC中,AB=5,BC=6,AC=8,則ABC的形狀是(C)(A)銳角三角形(B)直角三角形(C)鈍角三角形(D)非鈍角三角形解析:因?yàn)?2+62-82=-3<0,即AB2+BC2-AC2<0.所以cosABC=<0.即ABC為鈍角,所以ABC是鈍角三角形.4.老師要求同學(xué)們作一個(gè)三角形,使它的三條高分別為,1,則(D)(A)同學(xué)們作不出符合要求的三角形(B)能作出一個(gè)銳角三角形(C)能作出一個(gè)直角三角形(D)能作出一個(gè)鈍角三角形解析:它的三條高分別為,1,設(shè)三角形的面積為S,設(shè)三條高線對應(yīng)的邊長分別為2k,k,k(k>

3、;0),最大邊對應(yīng)的角為,由余弦定理可得=4+1-4cos ,解之得cos =-<0,因此為鈍角,故三角形為鈍角三角形.5.ABC中,a、b、c分別為A、B、C的對邊,若a、b、c成等差數(shù)列,B=30°,ABC的面積為,那么b等于(B)(A) (B)1+(C) (D)2+解析:因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以2b=a+c.平方得a2+c2=4b2-2ac.由S=acsin 30°=ac=,得ac=6.所以a2+c2=4b2-12.得cos B=,解得b=1+.6.在ABC中,A=60°,b=1,SABC=,則的值為(C)(A) (B) (C) (D)2解析:由

4、SABC=bcsin A=,得bc=4,所以c=4.所以a=.所以=.7.在ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若(a2+c2-b2)·tan B=ac,則B的值為(D)(A) (B)(C)或 (D)或解析:因?yàn)?a2+c2-b2)tan B=ac,所以·tan B=,即cos B·tan B=sin B=.因?yàn)?<B<,所以B的值為或.8.在ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則sin A等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:如圖,設(shè)BC邊上的高為AD,因?yàn)锽=,所以BAD=.所以BD=AD,又AD=BC,所以DC=2AD,所以sinB

5、AC=sin(BAD+DAC)=sin 45°cosDAC+cos 45°sinDAC=×+×=.故選D.9.如圖,為測量塔高AB,選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)C,D,在C,D兩點(diǎn)處測得塔頂A的仰角分別為45°,30°,又測得CBD=30°,CD=50米,則塔高AB等于(A)(A)50米 (B)25米(C)25米 (D)50米解析:設(shè)AB=a米,則由題意知BC=a米,BD=a米,因?yàn)镃BD=30°,CD=50米,所以2 500=a2+3a2-2a·a·,所以a=50.故選A.10.在ABC中

6、,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sin =,若ABC的面積為,且sin2A+sin2B=sin2C,則c的值為(D)(A)2 (B)3 (C)2 (D)4解析:因?yàn)閏os C=1-2sin2=1-2×=-.所以sin C=,因?yàn)镾ABC=absin C=,所以ab=6.又因?yàn)閟in2A+sin2B=sin2C,則a2+b2=c2.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,可得c2=16,所以c=4.故選D.二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分)11.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,則A=. 

7、解析:由正弦定理=得=,所以sin B=,又b<c,所以B<C,所以B=45°,A=180°-60°-45°=75°.答案:75°12.某艦艇在A處測得一遇險(xiǎn)漁船在北偏東45°距離A處10海里的C處,此時(shí)得知,該漁船正沿南偏東75°方向以每小時(shí)9海里的速度向一小島靠近,艦艇時(shí)速為21海里,求艦艇追上漁船的最短時(shí)間(單位:小時(shí)). 解析:設(shè)艦艇t小時(shí)后在B處追上漁船,則由題意可知AC=10,BC=9t,AB=21t,ACB=120°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·

8、;BC·cos ACB,即441t2=100+81t2+90t,解得t=或t=-(舍去),所以艦艇追上漁船的時(shí)間為小時(shí).答案:13.在ABC中,已知b=50,c=150,B=30°,則邊長a=. 解析:由b2=a2+c2-2ac·cos B得:(50)2=a2+1502-150a,解得a=50或a=100.答案:50或10014.ABC中,ac=12,SABC=3,R=2(R為ABC外接圓的半徑),則b=. 解析:SABC=ac·sin B=3,則sin B=.由正弦定理=2R,得:b=2R·sin B=2.答案:215.在

9、ABC中,若B=60°,2b=a+c,則ABC的形狀是 . 解析:由正弦定理,得:2sin B=sin A+sin C,因?yàn)锽=60°,所以A+C=120°,A=120°-C,則2sin 60°=sin(120°-C)+sin C,即:sin C+cos C=1,故sin(C+30°)=1,所以C=60°.故為等邊三角形.答案:等邊三角形三、解答題(本大題共6小題,共75分)16.(本小題滿分12分)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2bsin A.(1)求B的大小;(2)若

10、a=3,c=5,求ABC的面積及b.解:(1)因?yàn)閍=2bsin A,由正弦定理得sin A=2sin Bsin A,由于sin A0,故有sin B=,又因?yàn)锽是銳角,所以B=30°.(2)依題意得,SABC=acsin 30°=×3×5×=,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B可得b2=(3)2+52-2×3×5×cos 30°=27+25-45=7,所以b=.17.(本小題滿分12分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=3,·=-6,SABC=3,求A和a.解:

11、因?yàn)?#183;=-6,所以bccos A=-6.又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1. 又0<A<,所以A=.又b=3,所以c=2.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-2×3×2×（-）=29,所以a=.18.(本小題滿分12分)已知(a2+bc)x2+2x+1=0是關(guān)于x的二次方程,其中a、b、c是ABC的三邊,(1)若A為鈍角,試判斷方程的根的情況;(2)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,求A.解:(1)因?yàn)锳為鈍角,所以cos A=<0,即b2+c2<a2.此時(shí)=4(b2+c2)-4(a2+b

12、c)·1=4(b2+c2-a2-bc).又b>0,c>0,所以<0,此時(shí)方程無實(shí)根.(2)由已知得=0,即b2+c2-a2-bc=0.所以b2+c2-a2=bc.由余弦定理得,cos A=,又A(0,),所以A=.19.(本小題滿分12分)如圖,要測量河對岸A,B兩點(diǎn)之間的距離,選取相距 km的C,D兩點(diǎn),并測得ACB=75°,BCD=ADB=45°,ADC=30°,請利用所測數(shù)據(jù)計(jì)算A,B之間的距離.解:在ACD中,ACD=75°+45°=120°,所以CAD=30°,由正弦定理得=,解得AD=

13、3,在BCD中,CDB=45°+30°=75°,所以CBD=60°,由正弦定理得=,解得BD=,在ABD中,由余弦定理得AB=.20.(本小題滿分13分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cos CAD的值;(2)若cos BAD=-,sin CBA=,求BC的長.解:(1)在ADC中,由余弦定理,得cos CAD=.故由題設(shè)知,cos CAD=.(2)設(shè)BAC=,則=BAD-CAD.因?yàn)閏os CAD=,cos BAD=-,所以sin CAD=,sin BAD=.于是sin =sin(BAD-CAD)=sin BADcos CAD-cos BADsin CAD=×-（-）×=.在ABC中,由正弦定理,=.故BC=3.21.(本小題滿分14分)如圖,在平面四邊形ABCD中,DAAB,DE=1,EC=,EA=2,ADC=,BEC=.(1)求sinCED的值;(2)求BE的長.解:如題圖,設(shè)CED=.(1)在CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CD&#