空間幾何體的表面積和體積

1、主備主備:王朝遠(yuǎn)王朝遠(yuǎn) 審核：牟必繼審核：牟必繼1.3 1.3 柱體、柱體、錐體、臺(tái)體的錐體、臺(tái)體的表面積與體積表面積與體積春種一粒粟，秋收萬顆子春種一粒粟，秋收萬顆子 1 1、表面積：幾何體表面的面積、表面積：幾何體表面的面積 2 2、體積：幾何體所占空間的大小。、體積：幾何體所占空間的大小。表面積、全面積和側(cè)面積 表面積表面積：立體圖形的所能觸摸到的面積之和叫做它的表面積。（每個(gè)面的面積相加 ） 全面積全面積： 全面積是立體幾何里的概念，相對(duì)于截面積（“截面積”即切面的面積）來說的，就是表面積總和 側(cè)面積側(cè)面積：指立體圖形的各個(gè)側(cè)面的面積之和（除去底面）回憶復(fù)習(xí)有關(guān)概念回憶復(fù)習(xí)有關(guān)概念1、

2、直棱柱：、直棱柱：2、正棱柱：、正棱柱：3、正棱錐：、正棱錐：4、正棱臺(tái)：、正棱臺(tái)：側(cè)棱和底面?zhèn)壤夂偷酌娲怪贝怪钡睦庵兄崩庵睦庵兄崩庵酌媸钦噙呅蔚牡酌媸钦噙呅蔚闹敝崩庵姓庵庵姓庵酌媸钦噙呅?，底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心底面中心的棱錐的棱錐正棱錐正棱錐被平行于底面的平面所截，被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫正棱臺(tái)截面和底面之間的部分叫正棱臺(tái)作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺(tái)各一個(gè)，找作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺(tái)各一個(gè)，找出斜高出斜高CBAA1B1C1COBAPDC1D1A1ODBACB11、斜高的概念斜高的概念2、分別作出一個(gè)

3、圓柱、圓錐、圓臺(tái)，并找出旋轉(zhuǎn)軸、分別作出一個(gè)圓柱、圓錐、圓臺(tái)，并找出旋轉(zhuǎn)軸分別經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸作一個(gè)平面，觀察得到的軸截面是分別經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸作一個(gè)平面，觀察得到的軸截面是 什么形狀的圖形什么形狀的圖形.ABCDABCABCD直棱柱：設(shè)棱柱的高為直棱柱：設(shè)棱柱的高為h，底面多邊形的周長為，底面多邊形的周長為c，則則S直棱柱側(cè)直棱柱側(cè) .（類比矩形的面積）（類比矩形的面積）圓柱：如果圓柱的底面半徑為圓柱：如果圓柱的底面半徑為r，母線長為，母線長為l，那么，那么S圓柱側(cè)圓柱側(cè) .（類比矩形的面積）（類比矩形的面積）ch2rl知識(shí)點(diǎn)一：柱、錐、臺(tái)、球的表面積與側(cè)面積知識(shí)點(diǎn)一：柱、錐、臺(tái)、球的表面積與側(cè)面積(1

4、)柱體的側(cè)面積把直三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？chhcbaS )（直棱拄側(cè)直棱拄側(cè)habcabchh棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？h正棱柱的側(cè)面展開圖正棱柱的側(cè)面展開圖底側(cè)表面積SSS2思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線 展開，分別得到什么圖形展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖展開的圖形與原圖 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？rlr2 長長寬寬llSSr2 長長方方形形圓圓柱柱側(cè)側(cè) 圓柱的側(cè)面展開圖是矩形圓柱的側(cè)面展開圖是矩形2222()Srrlr rlO

5、Orl2 r 底側(cè)表面積SSS2正棱錐：設(shè)正棱錐底面正多邊形的周長正棱錐：設(shè)正棱錐底面正多邊形的周長為為c，斜高為，斜高為h，則，則S正棱錐側(cè)正棱錐側(cè) .（類比三角形的面積）（類比三角形的面積）圓錐：如果圓錐的底面半徑為圓錐：如果圓錐的底面半徑為r，母線長，母線長為為l，那么，那么S圓錐側(cè)圓錐側(cè) .（類比三角形的面積）（類比三角形的面積）rl(2)錐體的側(cè)面積錐體的側(cè)面積12ch把正三棱錐側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？hh12Sch正棱錐側(cè)棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？/h/h正三棱錐的側(cè)面展開圖正三棱錐的側(cè)面展開圖側(cè)

6、面展開正五棱錐的側(cè)面展開圖正五棱錐的側(cè)面展開圖底側(cè)表面積SSS思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線 展開，分別得到什么圖形展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖展開的圖形與原圖 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？rl180lnl 扇扇lR 扇扇rllllnSS 扇扇扇扇圓圓錐錐側(cè)側(cè)213602圓錐的側(cè)面展開圖是扇形圓錐的側(cè)面展開圖是扇形r2lOr2()Srrlr rl 正棱臺(tái)：設(shè)正正棱臺(tái)：設(shè)正n棱臺(tái)的上底面、下底面棱臺(tái)的上底面、下底面周長分別為周長分別為c、c，斜高為，斜高為h，則正，則正n棱臺(tái)棱臺(tái)的側(cè)面積公式：的側(cè)面積公式：S正棱臺(tái)側(cè)正棱臺(tái)側(cè)

7、. 圓臺(tái)：如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分圓臺(tái)：如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為別為r、r，母線長為，母線長為l，則，則S圓臺(tái)側(cè)圓臺(tái)側(cè) l(rr)(3)臺(tái)體的側(cè)面積臺(tái)體的側(cè)面積注注：表面積側(cè)面積底面積：表面積側(cè)面積底面積1) 2cc h（把正三棱臺(tái)側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？（類比梯形的面積）（類比梯形的面積）hh1) 2Scc h正棱臺(tái)側(cè) （側(cè)面展開hh正四棱臺(tái)的側(cè)面展開圖正四棱臺(tái)的側(cè)面展開圖棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？下底上底側(cè)表面積SSSS 參照?qǐng)A柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺(tái)的參照?qǐng)A柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓

8、臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么側(cè)面展開圖是什么 r2lOrO r2 r圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)扇環(huán)22()Srrr lrl 思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線 展開，分別得到什么圖形展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖展開的圖形與原圖 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？1r2rllrrSS)21 （扇環(huán)扇環(huán)圓臺(tái)側(cè)圓臺(tái)側(cè) r2lOrO r2 r22()Srrr lrl xrxrxl rxr xr lS側(cè)側(cè)()()r lxr xrlrxr x()r lrl lOrO r圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什

9、么關(guān)系？之間有什么關(guān)系？lOOrrr上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大lOrr0上底縮小上底縮小2222 ()Srrlr r l 2()Srrlr r l 22()Srrrlrl 棱柱棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，h它們的側(cè)面展開圖還是它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形平面圖形，計(jì)算它們的計(jì)算它們的表面積就是計(jì)算它的各個(gè)側(cè)面面積和底面面積表面積就是計(jì)算它的各個(gè)側(cè)面面積和底面面積之和之和 例例1 已知棱長為已知棱長為a，各面均為等邊三角形的，各面均為等邊三角形的四面體四面體S-ABC，求它的表面積，求它的表面積 DBCAS 分析：四面體的展開圖是由四個(gè)全等的

10、正三角形分析：四面體的展開圖是由四個(gè)全等的正三角形組成組成因?yàn)橐驗(yàn)锽C=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面體因此，四面體S-ABC 的表面積的表面積交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)D解：先求解：先求 的面積，過點(diǎn)的面積，過點(diǎn)S作作 ，ABCBCSD 例2：一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長分別是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱臺(tái)的側(cè)面積. 分析：關(guān)鍵是求出斜高，注意圖中的直角梯形O1ODABCC1A1B1D1E例3：圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和4，高為 ，求其側(cè)面展開圖扇環(huán)所對(duì)的圓心角.32分析：抓住相似三角形中的相似比是解題的關(guān)鍵小結(jié)：1、抓住側(cè)面

11、展開圖的形狀，用好相應(yīng)的計(jì)算公式，注意逆向用公式； 2、圓臺(tái)問題恢復(fù)成圓錐圖形在圓錐中解決圓臺(tái)問題，注意相似比.答：1800練習(xí)1：一個(gè)正三棱柱的底面是邊長為5的正三角形，側(cè)棱長為4，則其側(cè)面積為 _;答：60練習(xí)2：正四棱錐底面邊長為6 ,高是4，中截面把棱錐截成一個(gè)小棱錐和一個(gè)棱臺(tái)，求棱臺(tái)的側(cè)面積79答：練習(xí)3： 圓臺(tái)的上、下底半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是1800，那么圓臺(tái)的側(cè)面積是多少？（結(jié)果中保留）小結(jié)：1、弄清楚柱、錐、臺(tái)的側(cè)面展開圖的形狀是關(guān)鍵； 2、對(duì)應(yīng)的面積公式)cc21hS（正正棱棱臺(tái)臺(tái)C=021chS三三棱棱錐錐C=CchchS 直直棱棱柱柱

12、S圓柱側(cè)= 2rlS圓錐側(cè)= rlS圓臺(tái)側(cè)=（r1+r2)lr1=0r1=r2思考：怎樣求斜棱柱的側(cè)面積？ 1）側(cè)面展開圖是平行四邊形 2）S斜棱柱側(cè)=直截面周長側(cè)棱長 3） S側(cè)側(cè)=所有側(cè)面面積之和所有側(cè)面面積之和幾何體占有空間部分的大小叫幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積做它的體積體積體積的概念與公理的概念與公理:知識(shí)點(diǎn)二：柱、錐、臺(tái)、球的體積知識(shí)點(diǎn)二：柱、錐、臺(tái)、球的體積公理公理1、長方體的體積等于它的長、寬、高的積。、長方體的體積等于它的長、寬、高的積。V長方體長方體= abc推論推論1 、長方體的體積等于它的底面積、長方體的體積等于它的底面積s和高和高h(yuǎn)的積。的積。V長方體長方體=

13、 sh推論推論2 、正方體的體積等于它的棱長、正方體的體積等于它的棱長a 的立方。的立方。V正方體正方體= a3公理公理2 2、夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行、夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。PQ祖暅原理祖暅原理定理定理1： 柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積的底面積 s 和高和高 h 的積。的積。V柱體柱體= sh一：一：柱體的體積柱體的體積推論推論 ： 底面半徑為底面半

14、徑為r，高為高為h圓柱的體積是圓柱的體積是V圓柱圓柱= r2h二二:錐體體積錐體體積如圖：三棱柱如圖：三棱柱ADAD1 1C C1 1-BDC,-BDC,底面積為底面積為S S, ,高為高為h h. . ABD C D1C1CDA BCD1ADCC1D1A答答:可分成可分成 棱錐棱錐A-D1DC, 棱錐棱錐A-D1C1C, 棱錐棱錐A-BCD. 問：（問：（1 1）從）從A A點(diǎn)出發(fā)棱柱能點(diǎn)出發(fā)棱柱能分割分割成幾個(gè)三棱錐？成幾個(gè)三棱錐？ 定理定理如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面 積是，高是，那么它的體積是：積是，高是，那么它的體積是：推論：如果圓錐的底面半徑是推

15、論：如果圓錐的底面半徑是，高是，高是， 那么它的體積是：那么它的體積是：hSS錐體錐體 3131圓錐圓錐 Shss/ss/hx三三.臺(tái)體的體積臺(tái)體的體積V V臺(tái)體臺(tái)體= =1 1h(s+ss+s)h(s+ss+s)3 3上下底面積分別是上下底面積分別是s/,s,高是高是h，則，則（包括圓臺(tái)）（包括圓臺(tái)）四四.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？hSSSSV)(31S為底面面積，為底面面積，h為柱體高為柱體高ShV 0SS分別為上、下分別為上、下底面底面面積，面積，h 為臺(tái)體高為臺(tái)體高ShV31SS S為底面面積，為底面面積，h為錐體高為錐體高上底

16、擴(kuò)大上底擴(kuò)大上底縮小上底縮小(1)(1)長方體的體積長方體的體積V V長方體長方體abcabc . .( (其中其中a a、b b、c c為長、寬、高，為長、寬、高，S S為底面積，為底面積，h h為高為高) )(2)(2)柱體柱體( (圓柱和棱柱圓柱和棱柱) )的體積的體積V V柱體柱體_._.其中，其中，V V圓柱圓柱_( (其中其中r r為底面半徑為底面半徑) )Sh知識(shí)點(diǎn)二柱、錐、臺(tái)、球的體積知識(shí)點(diǎn)二柱、錐、臺(tái)、球的體積(3)(3)錐體錐體( (圓錐和棱錐圓錐和棱錐) )的體積的體積V V錐體錐體 . .其中其中V V圓圓錐錐 ， r r為底面半徑為底面半徑13Sh r2h13Shr2

17、h(4)(4)臺(tái)體的體積公式臺(tái)體的體積公式V V臺(tái)臺(tái) 注：注：h h為臺(tái)體的高，為臺(tái)體的高，S S 和和S S分別為上下兩個(gè)底分別為上下兩個(gè)底面的面積面的面積其中其中V V圓臺(tái)圓臺(tái) 注：注：h h為臺(tái)體的高，為臺(tái)體的高，r r 、r r分別為上、下兩底的分別為上、下兩底的半徑半徑1 1h(s+ss+s)h(s+ss+s)3 3h(r2rrr2)1 13 3例從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去例從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去4 4個(gè)三棱錐后，得個(gè)三棱錐后，得到一個(gè)正三棱錐到一個(gè)正三棱錐A ABCDBCD，求它的體積是正方體體積，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？的幾分之幾？1求空間幾何體的體積除利用公式

18、法求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，外，還常用分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算問它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算問題的常用方法題的常用方法幾何體的體積小結(jié)幾何體的體積小結(jié)2計(jì)算柱體、錐體、臺(tái)體的體積關(guān)鍵計(jì)算柱體、錐體、臺(tái)體的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題知識(shí)探究（一）知識(shí)探究（一）:球的體積球的體積思考思考1:1:從球的結(jié)構(gòu)特征分析，球的大小從球的結(jié)構(gòu)特征分析，

19、球的大小由哪個(gè)量所確定？由哪個(gè)量所確定？思考思考2:2:底面半徑和高都為底面半徑和高都為R R的圓柱和圓錐的圓柱和圓錐的體積分別是什么？的體積分別是什么？3VR柱313VR錐思考思考3 3: :如圖，對(duì)一個(gè)半徑為如圖，對(duì)一個(gè)半徑為R R的半球，其的半球，其體積與上述圓柱和圓錐的體積有何大小體積與上述圓柱和圓錐的體積有何大小關(guān)系？關(guān)系？323VR球思考思考4:4:根據(jù)上述圓柱、圓錐的體積，你根據(jù)上述圓柱、圓錐的體積，你猜想半球的體積是什么？猜想半球的體積是什么？RROORR球的體積：球的體積：一個(gè)半徑和高都等于一個(gè)半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個(gè)的圓柱，挖去一個(gè)以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的

20、圓錐以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個(gè)半徑為后，所得的幾何體的體積與一個(gè)半徑為R的的半球的體積相等。半球的體積相等。探究球球1 1V =V =2 23 32 2= = R R3 33 3球球4 4V =V = R R3 3RROORR22221 1 RR-RR- RRRR3 3知識(shí)探究（二）知識(shí)探究（二）:球的表面積球的表面積思考思考1:1:半徑為半徑為r r的圓面積公式是什么？它的圓面積公式是什么？它是怎樣得出來的？是怎樣得出來的？a1a2a3ana42Sr圓第一步：分割第一步：分割O O球面被分割成球面被分割成n n個(gè)網(wǎng)格，個(gè)網(wǎng)格， 表面積分別為：表面積分別

21、為：nSSSS.321，則球的表面積則球的表面積：nSSSSS.321則球的體積為：則球的體積為：設(shè)設(shè)“小錐體小錐體”的體積的體積為：為：iViVnVVVVV.321iSO OO O第二步：求近似和第二步：求近似和O Oih由第一步得由第一步得：nVVVVV.321nnhShShShSV31313131332211.iiihSV31iSiV第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積RSVii31 如果網(wǎng)格分的越細(xì)如果網(wǎng)格分的越細(xì), ,則則: :RSRSRSRSVni3131313132.RSSSSSRni313132).( 由由 得得: :334RV 球的體積球的體積: :2 24 4R

22、 RS S iSiVih的值就趨向于球的半徑的值就趨向于球的半徑R RRihiSO OiV“小錐體小錐體”就越接近小棱錐。就越接近小棱錐。例例1(2009年高考上海卷年高考上海卷)若球若球O1、O2表面積之比為表面積之比為4，則它們的半徑之比，則它們的半徑之比_.(1)(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼娜羟虻谋砻娣e變?yōu)樵瓉淼? 2倍倍, ,則半徑變?yōu)閯t半徑變?yōu)樵瓉淼脑瓉淼腳倍。倍。(2)(2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼娜羟虬霃阶優(yōu)樵瓉淼? 2倍，則表面積變?yōu)楸?，則表面積變?yōu)樵瓉淼脑瓉淼腳倍。倍。(3)(3)若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:21:2，則其體積之比，則其體積之比是是_。(4)(4)若兩球

23、體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比，則其表面積之比是是_。例例2 2：2422:134: 1例例3.3.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為a,a,它的各個(gè)它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球頂點(diǎn)都在球O O的球面上，問球的球面上，問球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可知

24、，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中變題變題1.1.如果球如果球O O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有S=S=。變題變題2.2.如果球如果球O O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有S=S=。2a2 2 a 關(guān)鍵關(guān)鍵：找正方體的棱長找正方體的棱長a a與球半徑與球半徑R R之間的關(guān)系之間的關(guān)系OABCO 例例4：已知過球面上三點(diǎn)：已知過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距離等于球半徑的一半，且離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的體積，表面積體積，表面積解：如圖，設(shè)球解：如圖，設(shè)球O半徑為半徑為R，截面截面 O的半徑為的半徑為r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例例5、有三個(gè)球、有三個(gè)球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一一球切于正方體的各側(cè)棱球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的一球過正方體的各頂點(diǎn)各頂點(diǎn),求這三個(gè)球的體積之比求這三個(gè)球的體積之比.作軸