2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷(2)(一試+二試_附詳細(xì)解答)

1、2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷(2)第一試(考試時間：80分鐘 滿分：120分)姓名：_考試號：_得分：_一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）1. 函數(shù)的值域是_2. 設(shè)a, b, c為RTACB的三邊長, 點(m, n)在直線ax+by+c=0上. 則m2+n2的最小值是_3. 若，且為正整數(shù)，則4. 擲6次骰子, 令第次得到的數(shù)為, 若存在正整數(shù)使得的概率，其中是互質(zhì)的正整數(shù). 則= .5. 已知點在曲線y=ex上，點在曲線y=lnx上，則的最小值是_6. 已知多項式f (x)滿足：, 則_7. 四面體OABC中, 已知AOB=450,AOC=BOC=300, 則二面角AO

2、CB的平面角的余弦值是 _8. 設(shè)向量滿足對任意和0, ,恒成立. 則實數(shù)a的取值范圍是_.二、解答題（本大題共3小題，第9題16分，第10、11題20分，共56分）9設(shè)數(shù)列滿足,.求證：當(dāng)時,. (其中表示不超過的最大整數(shù))10. 過點作動直線交橢圓于兩個不同的點，過作橢圓的切線，兩條切線的交點為， 求點的軌跡方程； 設(shè)O為坐標(biāo)原點，當(dāng)四邊形的面積為4時，求直線的方程.11. 若、，且滿足，求的最大值。2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷(2)答案1.解：令sinx+cosx=t, 則t=,2sinxcosx=t21,關(guān)于t+1在和上均遞增,所以,或, 即值域.2. 解：因(m2+n2)c2=(

3、m2+n2)(a2+b2)=(ma)2+(nb)2+(mb)2+(na)2(ma)2+(nb)2+2mnab=(ma+nb)2=c2, 所以m2+n21, 等號成立僅當(dāng)mb=na且am+bn+c=0,解得(m, n)=(), 所以m2+n2最小值是1.3. 解：由知可能為1,3, 11, 33, 從而解得4.解:當(dāng)時，概率為;當(dāng)時,，概率為； 當(dāng)時，概率為； 當(dāng)時，概率為； 當(dāng)時， ，概率為；當(dāng)時，概率為；故,即,從而.5. 解：因曲線y=ex與y=lnx關(guān)于直線y=x對稱所求的最小值為曲線y=ex上的點到直線y=x最小距離的兩倍,設(shè)P(x, ex)為y=ex上任意點, 則P到直線y=x的距離

4、,因,所以,即min=.6.解: 解：用代替原式中的得：解二元一次方程組得，所以：，則CAOB（分析得為一次多項式，可直接求解析式）7. 解:不妨設(shè)ACOCBC,ACB=,AOC=BOC=,AOB=.因=即，兩端除以并注意到, 即得,將=450,=300代入得, 所以,.8.解:令則,因,所以,對任意恒成立或或?qū)θ我夂愠闪⒒?9. 證明：對于任何正整數(shù)，由遞推知由知數(shù)列遞減.又對任意,即有,從而.于是，當(dāng)時，；當(dāng)時，由遞減得.故所以，.10. 解（1）依題意設(shè)直線方程為，與橢圓聯(lián)立得 ，由得 設(shè)，則過橢圓的切線分別為和 ，并且由及得，同理，故點的軌跡方程為（在橢圓外） （2），O到PQ的距離為，M到PQ的距離為， 四邊形的面